九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版24

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2016-2017學(xué)年甘肅省張掖市高臺縣南華中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　?。? A．x2+2x﹣3 B．x2+3=0 C．（x2+3）2=9 D． 2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5時，此方程可變形為（　?。? A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 3．如圖所示的兩個圓盤中，指針落在每一個數(shù)上的機會均等，那么兩個指針同時落在偶數(shù)上的概率是（　?。? A． B． C． D． 4．下列給出的條件中，能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　　） A．AB∥CD，AD=BC B．∠B=∠C；∠A=∠D C．AB=AD，CB=CD D．AB=CD，AD=BC 5．下列識別圖形不正確的是（　?。? A．有一個角是直角的平行四邊形是矩形 B．有三個角是直角的四邊形是矩形 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 6．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，與△EBD相似的三角形是（　?。? A．△ABC B．△ADE C．△DAB D．△BDC 7．如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BA延長線上的一點，CE交AD于點F，下列各式中錯誤的是（　　） A． B． C． D． 8．若x=﹣2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一個根，則a的值為（　　） A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣4 9．一種藥品經(jīng)兩次降價，由每盒50元調(diào)至40.5元，平均每次降價的百分率是（　　） A．5% B．10% C．15% D．20% 10．如圖，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影長為CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，點P到CD的距離是3m，則點P到AB的距離是（　?。? A． m B． m C． m D． m 　 二、填空題 11．觀察方程（x﹣1）（x+2）=0的解是　　． 12．方程（x+8）（x﹣1）=﹣5化成一般形式是　?。? 13．如果C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則有比例線段　?。? 14．方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是　?。? 15．兩對角線分別是6cm和8cm的菱形面積是　　cm2，周長是　　cm． 16．在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，DE=4，則BC=　?。? 17．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍　　． 18．若正方形的對角線長為2cm，則它的面積是　　cm2． 19．為了估算湖里有多少條魚，從湖里捕上100條做上標(biāo)記，然后放回湖里，經(jīng)過一段時間待標(biāo)記的魚全混合于魚群中后，第二次捕得200條，發(fā)現(xiàn)其中帶標(biāo)記的魚25條，我們可以估算湖里有魚　　條． 20．如圖，在一塊長為22米、寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米．若設(shè)道路寬為x米，則根據(jù)題意可列出方程為　?。? 　 三、尺規(guī)作圖題（不寫作法，保留作圖痕跡，8分） 21．如果四邊形ABCD的四個頂點坐標(biāo)分別是A（2，1），B（4，3），C（6，2），D（3，﹣1）．試將此四邊形縮小為原來的． 　 四、解答題 22．解方程． （1）（x﹣1）2=4； （2）x2+3x﹣4=0； （3）4x（2x+1）=3（2x+1）； （4）2x2+5x﹣3=0． 　 五、解答題． 23．在一個布口袋里裝有紅色、黑色、藍(lán)色和白色的小球各1個，如果閉上眼睛隨機地從布袋中取出一個球，記下顏色，放回布袋攪勻，再閉上眼睛隨機的再從布袋中取出一個球． 求：（1）連續(xù)兩次恰好都取出紅色球的概率； （2）連續(xù)兩次恰好取出一紅、一黑的概率． 24．如圖，平行四邊形ABCD，E、F兩點在對角線BD上，且BE=DF，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A． 求證：四邊形AECF是平行四邊形． 25．如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F，試說明：△ABF∽△EAD． 26．為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)作為點A，再在河的這一邊選定點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．此時如果測得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求兩岸間的大致距離AB． 27．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，過點E作EF∥AB，交BC于點F． （1）求證：四邊形DBFE是平行四邊形； （2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形DBFE是菱形？為什么？ 28．某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？ 　  2016-2017學(xué)年甘肅省張掖市高臺縣南華中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+2x﹣3 B．x2+3=0 C．（x2+3）2=9 D． 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解． 一元二次方程必須滿足三個條件： （1）是整式方程； （2）含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2； （3）二次項系數(shù)不為0． 以上三個條件必須同時成立，據(jù)此即可作出判斷． 【解答】解：A、不是方程，錯誤； B、符合一元二次方程的定義，正確； C、原式可化為x4+6x2=0，是一元四次方程，錯誤； D、是分式方程，錯誤． 故選B． 【點評】在做此類判斷題時，要特別注意二次項系數(shù)a≠0這一條件． 　 2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5時，此方程可變形為（　　） A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 【考點】解一元二次方程-配方法． 【專題】配方法． 【分析】配方法的一般步驟： （1）把常數(shù)項移到等號的右邊； （2）把二次項的系數(shù)化為1； （3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方． 選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)． 【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故選D． 【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用． 　 3．如圖所示的兩個圓盤中，指針落在每一個數(shù)上的機會均等，那么兩個指針同時落在偶數(shù)上的概率是（　?。? A． B． C． D． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】列舉出所有情況，看兩個指針同時落在偶數(shù)上的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可． 【解答】解：列表得： （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） ∴一共有25種情況，兩個指針同時落在偶數(shù)上的有6種情況， ∴兩個指針同時落在偶數(shù)上的概率是． 故選C． 【點評】列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 4．下列給出的條件中，能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。? A．AB∥CD，AD=BC B．∠B=∠C；∠A=∠D C．AB=AD，CB=CD D．AB=CD，AD=BC 【考點】平行四邊形的判定． 【分析】直接利用平行四邊形的判定定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用． 【解答】解：A、∵AB∥CD，AD=BC， ∴四邊形ABCD是平行四邊形或梯形；故本選項錯誤； B、由∠B=∠C，∠A=∠D，不能四邊形ABCD是平行四邊形；故本選項錯誤； C、由AB=AD，CB=CD，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形； 故本選項錯誤； D、∵AB=CD，AD=BC， ∴四邊形ABCD是平行四邊形；故本選項正確． 故選D． 【點評】此題考查了平行四邊形的判定．注意掌握舉反例的解題方法是關(guān)鍵． 　 5．下列識別圖形不正確的是（　?。? A．有一個角是直角的平行四邊形是矩形 B．有三個角是直角的四邊形是矩形 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 【考點】矩形的判定． 【專題】證明題． 【分析】矩形的判定定理有： （1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形． （2）有三個角是直角的四邊形是矩形． （3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，據(jù)此判定． 【解答】解：A、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，正確； B、有三個角是直角的四邊形是矩形，正確； C、對角線相等的四邊形不一定是矩形，對角線相等的平行四邊形才是矩形，錯誤； D、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，正確． 故選C． 【點評】本題主要考查的是矩形的判定定理． （1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形． （2）有三個角是直角的四邊形是矩形． （3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，據(jù)此判定． 　 6．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，與△EBD相似的三角形是（　?。? A．△ABC B．△ADE C．△DAB D．△BDC 【考點】相似三角形的判定． 【專題】證明題． 【分析】由于∠A=36，AB=AC，易求∠ABC=∠C=72，而BD是角平分線，易求∠ABD=∠CBD=36，又DE∥BC，那么有∠EDB=∠CBD=36，即∠A=∠BDE，∠ABD=∠DBE，從而可證△ABD∽△DBE． 【解答】解：如右圖所示， ∵∠A=36，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=72， 又∵BD是∠ABC的平分線， ∴∠ABD=∠CBD=36， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠CBD=36， 即∠A=∠BDE，∠ABD=∠DBE， ∴△ABD∽△DBE， 故選C． 【點評】本題考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵是求出相關(guān)角的度數(shù)． 　 7．如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BA延長線上的一點，CE交AD于點F，下列各式中錯誤的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求解． 【解答】解：∵AD∥BC ∴ ∵CD∥BE ∴△CDF∽△EBC ∴， ∴ ∵AD∥BC ∴△AEF∽△EBC ∴ ∴D錯誤． 故選D． 【點評】此題主要考查了平行四邊形、相似三角形的性質(zhì)． 　 8．若x=﹣2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一個根，則a的值為（　　） A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣4 【考點】一元二次方程的解． 【專題】計算題． 【分析】將x=﹣2代入關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0，再解關(guān)于a的一元二次方程即可． 【解答】解：∵x=﹣2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一個根， ∴4+5a+a2=0， ∴（a+1）（a+4）=0， 解得a1=﹣1，a2=﹣4， 故選：B． 【點評】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，解題關(guān)鍵是把x的值代入，再解關(guān)于a的方程即可． 　 9．一種藥品經(jīng)兩次降價，由每盒50元調(diào)至40.5元，平均每次降價的百分率是（　?。? A．5% B．10% C．15% D．20% 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】增長率問題． 【分析】降低后的價格=降低前的價格（1﹣降低率），如果設(shè)平均每次降價x，則第一次降低后的價格是50（1﹣x），那么第二次后的價格是50（1﹣x）2，即可列出方程求解． 【解答】解：設(shè)平均每次降價的百分率是x， 根據(jù)題意得50（1﹣x）2=40.5 解得：x1=1.9（不合題意舍去），x2=0.1， ∴x=0.1． 故選B． 【點評】本題考查求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為：a（1x）2=b（當(dāng)增長時中間的“”號選“+”，當(dāng)降低時中間的“”號選“﹣”） 　 10．如圖，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影長為CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，點P到CD的距離是3m，則點P到AB的距離是（　　） A． m B． m C． m D． m 【考點】平行線分線段成比例；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由平行得到兩三角形相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比求解． 【解答】解：設(shè)點P到AB的距離是xm ∵AB∥CD ∴△ABP∽△CDP ∴ ∴x= 故選C． 【點評】此題主要考查相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比． 　 二、填空題 11．觀察方程（x﹣1）（x+2）=0的解是　1或﹣2　． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計算題． 【分析】本方程的左邊為兩個一次因式相乘，右邊為0，所以得方程x﹣1=0或x+2=0，直接解答即可． 【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）=0 ∴x﹣1=0或x+2=0 ∴x1=1，x2=﹣2 【點評】因式分解法解一元二次方程時，應(yīng)使方程的左邊為兩個一次因式相乘，右邊為0，再分別使各一次因式等于0即可求解． 　 12．方程（x+8）（x﹣1）=﹣5化成一般形式是　x2+7x﹣3=0?。? 【考點】一元二次方程的一般形式． 【分析】把方程左邊的因式相乘，再把右邊的常數(shù)項移到左邊，合并同類項即可． 【解答】解：x2﹣x+8x﹣8+5=0， x2+7x﹣3=0， 故答案為：x2+7x﹣3=0． 【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，去括號的過程中要注意符號的變化，不要漏乘，移項時要注意符號的變化． 　 13．如果C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則有比例線段?。ㄐ问讲晃ㄒ唬。? 【考點】黃金分割． 【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比． 【解答】解：C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC， 根據(jù)線段黃金分割的定義， 則有比例線段． 【點評】理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵． 　 14．方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是　y1=﹣，y2=?。? 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】因式分解． 【分析】解一元二次方程的關(guān)鍵是把二次方程化為兩個一次方程，解這兩個一次方程即可求得． 【解答】解：∵（2y+1）（2y﹣3）=0， ∴2y+1=0或2y﹣3=0， 解得y1=，y2=． 【點評】解此題要掌握降次的思想，把高次的降為低次的，把多元的降為低元的，這是解復(fù)雜問題的一個原則． 　 15．兩對角線分別是6cm和8cm的菱形面積是　24　cm2，周長是　20　cm． 【考點】菱形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半求得其面積，利用勾股定理求得其邊長，從而不難求得其周長． 【解答】解：菱形面積是682=24cm2； ∵菱形的對角線互相垂直平分， 根據(jù)勾股定理可得，邊長為5cm， 則周長是20cm． 故答案為24，20． 【點評】主要考查菱形的性質(zhì)及勾股定理的綜合運用． 　 16．在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，DE=4，則BC=　8?。? 【考點】三角形中位線定理． 【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，由D、E分別是AB、AC的中點可知，DE是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線定理解答即可． 【解答】解：如圖所示， ∵D、E分別是AB、AC的中點， ∴DE是△ABC的中位線， ∴BC=2DE， ∵DE=4， ∴BC=2DE=24=8． 故答案為：8． 【點評】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半． 　 17．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x﹣m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍　m＞﹣?。? 【考點】根的判別式． 【分析】若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式△=b2﹣4ac＞0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍． 【解答】解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，a=1，b=﹣3，c=﹣m ∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣41（﹣m）＞0， 解得m＞﹣， 故答案為：m＞﹣． 【點評】考查了根的判別式，總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實數(shù)根． 　 18．若正方形的對角線長為2cm，則它的面積是　2　cm2． 【考點】正方形的性質(zhì)． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，對角線平分、相等、垂直且平分每一組對角求解即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AO=BO=AC=1cm，∠AOB=90， 由勾股定理得，AB=cm， S正=（）2=2cm2． 故答案為2． 【點評】考查正方形的性質(zhì)，對角線平分、相等、垂直且平分每一組對角． 　 19．為了估算湖里有多少條魚，從湖里捕上100條做上標(biāo)記，然后放回湖里，經(jīng)過一段時間待標(biāo)記的魚全混合于魚群中后，第二次捕得200條，發(fā)現(xiàn)其中帶標(biāo)記的魚25條，我們可以估算湖里有魚　800　條． 【考點】用樣本估計總體． 【專題】應(yīng)用題；壓軸題． 【分析】第二次捕得200條所占總體的比例=標(biāo)記的魚25條所占有標(biāo)記的總數(shù)的比例，據(jù)此直接解答． 【解答】解：設(shè)湖里有魚x條，則，解可得x=800． 故答案為：800． 【點評】本題考查的是通過樣本去估計總體，只需將樣本“成比例地放大”為總體即可． 　 20．如圖，在一塊長為22米、寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米．若設(shè)道路寬為x米，則根據(jù)題意可列出方程為?。?2﹣x）（17﹣x）=300?。? 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程． 【解答】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意有 （22﹣x）（17﹣x）=300， 故答案為：（22﹣x）（17﹣x）=300． 【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，把中間修建的兩條道路分別平移到矩形地面的最上邊和最左邊是做本題的關(guān)鍵． 　 三、尺規(guī)作圖題（不寫作法，保留作圖痕跡，8分） 21．如果四邊形ABCD的四個頂點坐標(biāo)分別是A（2，1），B（4，3），C（6，2），D（3，﹣1）．試將此四邊形縮小為原來的． 【考點】作圖-位似變換． 【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)分別得出對應(yīng)點位置，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：如圖所示：四邊形A′B′C′D′即為所求． 【點評】此題主要考查了位似變換，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵． 　 四、解答題 22．解方程． （1）（x﹣1）2=4； （2）x2+3x﹣4=0； （3）4x（2x+1）=3（2x+1）； （4）2x2+5x﹣3=0． 【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】（1）直接開平方法求解可得； （2）因式分解法求解可得； （3）因式分解法求解可得； （4）十字相乘法因式分解可得． 【解答】解：（1）x﹣1=2，即x﹣1=2或x﹣1=﹣2， 解得：x1=﹣1，x2=3； （2）因式分解可得：（x﹣1）（x+4）=0， ∴x﹣1=0或x+4=0， 解得：x1=﹣4，x2=1； （3）4x（2x+1）﹣3（2x+1）=0， （2x+1）（4x﹣3）=0， ∴2x+1=0或4x﹣3=0， 解得：x=﹣或x=； （4）因式分解可得（x+3）（2x﹣1）=0， ∴x+3=或2x﹣1=0， 解得：x=或x=﹣3． 【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，根據(jù)不同的方程選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵． 　 五、解答題． 23．在一個布口袋里裝有紅色、黑色、藍(lán)色和白色的小球各1個，如果閉上眼睛隨機地從布袋中取出一個球，記下顏色，放回布袋攪勻，再閉上眼睛隨機的再從布袋中取出一個球． 求：（1）連續(xù)兩次恰好都取出紅色球的概率； （2）連續(xù)兩次恰好取出一紅、一黑的概率． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】（1）首先根據(jù)題意畫樹狀圖，然后根據(jù)樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與連續(xù)兩次恰好都取出紅色球的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可求得答案； （2）根據(jù)（1）中的樹狀圖求得連續(xù)兩次恰好取出一紅、一黑的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）畫樹狀圖得： ∴一共有16種等可能的結(jié)果，連續(xù)兩次恰好都取出紅色球的有1種情況， ∴連續(xù)兩次恰好都取出紅色球的概率為：； （2）∵連續(xù)兩次恰好取出一紅、一黑的有2種情況， ∴連續(xù)兩次恰好取出一紅、一黑的概率為： =． 【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．注意列表法與樹狀圖法可以不重不漏的表示出所有等可能的結(jié)果，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 24．如圖，平行四邊形ABCD，E、F兩點在對角線BD上，且BE=DF，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A． 求證：四邊形AECF是平行四邊形． 【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)兩條對角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形AECF是平行四邊形． 【解答】證明：連接AC交BD于點O， ∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴OA=OC，OB=OD． ∵BE=DF，∴OE=OF． ∴四邊形AECF為平行四邊形． 【點評】平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認(rèn)真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法． 　 25．如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F，試說明：△ABF∽△EAD． 【考點】相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可解． 【解答】證明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，（2分） ∴∠BAF=∠AED．（4分） ∵BF⊥AE， ∴∠AFB=90． ∴∠AFB=∠D=90．（5分） ∴△ABF∽△EAD．（6分） 【點評】考查相似三角形的判定定理，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)的角． 　 26．（2008?沐川縣一模）為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)作為點A，再在河的這一邊選定點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．此時如果測得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求兩岸間的大致距離AB． 【考點】相似三角形的應(yīng)用． 【專題】應(yīng)用題． 【分析】由兩角對應(yīng)相等可得△BAD∽△CED，利用對應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB． 【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90， ∴△ABD∽△ECD， ∴，， 解得=（米）． 答：兩岸間的大致距離為100米． 【點評】考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識點為：兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊成比例． 　 27．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，過點E作EF∥AB，交BC于點F． （1）求證：四邊形DBFE是平行四邊形； （2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形DBFE是菱形？為什么？ 【考點】三角形中位線定理；平行四邊形的判定；菱形的判定． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC，然后根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明； （2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明． 【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE∥BC， 又∵EF∥AB， ∴四邊形DBFE是平行四邊形； （2）解：當(dāng)AB=BC時，四邊形DBFE是菱形． 理由如下：∵D是AB的中點， ∴BD=AB， ∵DE是△ABC的中位線， ∴DE=BC， ∵AB=BC， ∴BD=DE， 又∵四邊形DBFE是平行四邊形， ∴四邊形DBFE是菱形． 【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及菱形與平行四邊形的關(guān)系，熟記性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵． 　 28．某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？ 【考點】一元二次方程的應(yīng)用． 【專題】銷售問題；壓軸題． 【分析】設(shè)每千克水果應(yīng)漲價x元，得出日銷售量將減少20x千克，再由盈利額=每千克盈利日銷售量，依題意得方程求解即可． 【解答】解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價x元， 依題意得方程：（500﹣20x）（10+x）=6000， 整理，得x2﹣15x+50=0， 解這個方程，得x1=5，x2=10． 要使顧客得到實惠，應(yīng)取x=5． 答：每千克水果應(yīng)漲價5元． 【點評】解答此題的關(guān)鍵是熟知此題的等量關(guān)系是：盈利額=每千克盈利日銷售量．