九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版2 (12)

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2015-2016學(xué)年重慶市江津區(qū)三校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分） 1．下列交通標(biāo)志既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．方程x2=1的解是（　?。? A．x=1 B．x1=﹣1，x2=1 C．x1=0，x2=1 D．x=﹣1 3．下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（　　） A．y=mx2+1（m≠0） B．y=ax2+bx+c C．y=（x﹣2）2﹣x2 D．y=3x﹣1 4．拋物線y=（x+1）2﹣2的對稱軸是（　?。? A．直線x=1 B．直線x=3 C．直線x=﹣1 D．直線x=﹣3 5．如圖，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得OA與OC重合，得到△OCD，則旋轉(zhuǎn)的角度是（　?。? A．150 B．120 C．90 D．60 6．下列所給的方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（　　） A．x2+x=0 B．5x2﹣4x﹣1=0 C．3x2﹣4x+1=0 D．4x2﹣5x+2=0 7．已知關(guān)于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一個根為x=3，則實(shí)數(shù)k的值為（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 8．九年級（1）班的全體同學(xué)，在新年來臨之際，在賀卡上寫上自己的心愿和祝福贈送給其他同學(xué)各一張，全班共互贈了5112張，設(shè)全班有x名同學(xué)，那么根據(jù)題意列出的方程是（　　） A．x（x+1）=5112 B．x（x﹣1）=5112 C．x（x+1）=51122 D．x（x﹣1）=51122 9．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 10．將正方體骰子（相對面上的點(diǎn)數(shù)分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖1．在圖2中，將骰子向右翻滾90，然后在桌面上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是（　?。? A．6 B．5 C．3 D．2 11．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為x=2．下列結(jié)論中正確的是（　?。? A．a(chǎn)bc＞0 B．5a+c＞0 C．4a﹣b=0 D．9a+3b+c＜0 12．如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段BO′，下列結(jié)論： ①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到； ②點(diǎn)O與O′的距離為4； ③∠AOB=150； ④四邊形AO BO′的面積為6+3； ⑤S△AOC+S△AOB=6+． 其中正確的結(jié)論是（　?。? A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 　 二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分） 13．若關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2x﹣m2+1=0的一個根為0，則m的值　?。? 14．拋物線y=﹣x2+（b+1）x﹣3的頂點(diǎn)在y軸上，則b的值為　?。? 15．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是　?。? 16．如圖，把矩形OABC放在直角坐標(biāo)系中，OC在x軸上，OA在y軸上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到矩形ODEF，則E的坐標(biāo)為　?。? 17．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則不等式ax2+bx+c＜0的解集是　?。? 18．如圖，平行于x軸的直線AC分別交拋物線y1=x2（x≥0）與y2=（x≥0）于B、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作y軸的平行線交y1于點(diǎn)D，直線DE∥AC，交y2于點(diǎn)E，則=　　． 　 三、解答題（本大題2個小題，共14分） 19．如圖，方格紙中的每個小方格都是正方形，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系 （1）以原點(diǎn)O為對稱中心，畫出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的△A1B1C1，并寫出A1的坐標(biāo)． （2）將原來的△ABC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△A2B2C2，試在圖上畫出△A2B2C2的圖形． 20．已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且，求方程ax2+bx+c=0的根． 　 四、解答題（本大題4個小題，共10分） 21．解方程： （1）（x﹣2）2=2﹣x （2）（3x﹣2）2=（4﹣x）2． 22．先化簡，再求值：（a﹣1﹣），其中a是方程x2+x﹣3=0的解． 23．在“母親節(jié)”期間，某校部分團(tuán)員參加社會公益活動，準(zhǔn)備購進(jìn)一批許愿瓶進(jìn)行銷售，并將所得利潤捐給慈善機(jī)構(gòu)．根據(jù)市場調(diào)查，這種許愿瓶一段時(shí)間內(nèi)的銷售量y（個）與銷售單價(jià)x（元/個）之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示： （1）試判斷y與x 之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式； （2）若許愿瓶的進(jìn)價(jià)為6元/個，按照上述市場調(diào)查的銷售規(guī)律，求銷售利潤w（元）與銷售單價(jià)x（元/個）之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）在（2）的前提下，若許愿瓶的進(jìn)貨成本不超過900元，要想獲得最大的利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價(jià)，并求出此時(shí)的最大利潤． 24．操作：如圖①，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個60角： （1）角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN．探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明． （2）若角的兩邊分別交AB、CA的延長線于M、N兩點(diǎn)，連接MN．在圖②中畫出圖形，再直接寫出線段BM、MN、NC之間的關(guān)系． 　 五、解答題（本大題2個小題，共24分） 25．小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個問題： 定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 求函數(shù)y=x2﹣3x﹣2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 小明是這樣思考的：由函數(shù)y=x2﹣3x﹣2可知，a1=1，b1=﹣3，c1=﹣2，根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 請參考小明的方法解決下面問題： （1）直接寫出函數(shù)y=x2﹣3x﹣2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”； （2）若函數(shù)y=﹣x2+mx﹣3與y=x2﹣3nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的值； （3）已知函數(shù)y=﹣（x+1）（x﹣4）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，試證明經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=﹣（x+1）（x﹣4）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 26．已知，如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB． （1）求拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值； （3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 　  2015-2016學(xué)年重慶市江津區(qū)三校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分） 1．下列交通標(biāo)志既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤； B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故錯誤； C、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故錯誤； D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故正確． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合． 　 2．方程x2=1的解是（　?。? A．x=1 B．x1=﹣1，x2=1 C．x1=0，x2=1 D．x=﹣1 【考點(diǎn)】解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】直接利用開平方法解方程得出即可． 【解答】解：x2=1 解得：x1=1，x2=﹣1． 故選：B． 【點(diǎn)評】此題主要考查了直接開平方法解方程，正確開平方是解題關(guān)鍵． 　 3．下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（　?。? A．y=mx2+1（m≠0） B．y=ax2+bx+c C．y=（x﹣2）2﹣x2 D．y=3x﹣1 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義． 【分析】根據(jù)形如y=ax2+bx+c （a是不等于零的常數(shù)）是二次函數(shù)，可得答案． 【解答】解：A、是二次函數(shù)，故A正確； B、當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)，故B錯誤； C、化簡，得y=﹣2x+4是一次函數(shù)，故C錯誤； D、y=3x﹣1是一次函數(shù)，故D錯誤； 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的定義，利用了二次函數(shù)的定義，注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)的系數(shù)不能等于零． 　 4．拋物線y=（x+1）2﹣2的對稱軸是（　　） A．直線x=1 B．直線x=3 C．直線x=﹣1 D．直線x=﹣3 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】由拋物線的頂點(diǎn)式可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得到拋物線的對稱軸． 【解答】解：∵拋物線y=（x+1）2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）， ∴拋物線的對稱軸是x=﹣1． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸，屬于基本題，應(yīng)熟練掌握． 　 5．如圖，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得OA與OC重合，得到△OCD，則旋轉(zhuǎn)的角度是（　?。? A．150 B．120 C．90 D．60 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】∠AOC就是旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可求解． 【解答】解：旋轉(zhuǎn)角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60+90=150． 故選A． 【點(diǎn)評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確理解旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵． 　 6．下列所給的方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（　?。? A．x2+x=0 B．5x2﹣4x﹣1=0 C．3x2﹣4x+1=0 D．4x2﹣5x+2=0 【考點(diǎn)】根的判別式． 【分析】分別計(jì)算出判別式△=b2﹣4ac的值，然后根據(jù)△的意義分別判斷即可． 【解答】解：A、△=12﹣410=1＞0，所以方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； B、△=（﹣4）2﹣45（﹣1）=36＞0，所以方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； C、△=（﹣4）2﹣431=4＞0，所以方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； D、△=（﹣5）2﹣442=﹣7＜0，所以方程沒有實(shí)數(shù)根． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根． 　 7．已知關(guān)于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一個根為x=3，則實(shí)數(shù)k的值為（　?。? A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【考點(diǎn)】一元二次方程的解． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立． 【解答】解：因?yàn)閤=3是原方程的根，所以將x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1． 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義． 　 8．九年級（1）班的全體同學(xué)，在新年來臨之際，在賀卡上寫上自己的心愿和祝福贈送給其他同學(xué)各一張，全班共互贈了5112張，設(shè)全班有x名同學(xué)，那么根據(jù)題意列出的方程是（　　） A．x（x+1）=5112 B．x（x﹣1）=5112 C．x（x+1）=51122 D．x（x﹣1）=51122 【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程． 【分析】設(shè)全班有x名同學(xué)，根據(jù)全班互贈賀卡，每人向本班其他同學(xué)各贈送一張，全班共相互贈送了5112張可列出方程． 【解答】解：∵全班有x名同學(xué)， ∴每名同學(xué)要送出賀卡（x﹣1）張； 又∵是互送賀卡， ∴總共送的張數(shù)應(yīng)該是x（x﹣1）=5112． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解題意后，類比數(shù)線段來做，互贈張數(shù)就像總線段條數(shù)，人數(shù)類似線段端點(diǎn)數(shù)． 　 9．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的圖象大致是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】可先根據(jù)一次函數(shù)的圖象判斷k的符號，再判斷二次函數(shù)圖象與實(shí)際是否相符，判斷正誤． 【解答】解：A、由一次函數(shù)y=kx+k的圖象可得：k＞0，此時(shí)二次函數(shù)y=kx2﹣kx的圖象應(yīng)該開口向上，錯誤； B、由一次函數(shù)y=kx+k圖象可知，k＞0，此時(shí)二次函數(shù)y=kx2﹣kx的圖象頂點(diǎn)應(yīng)在y軸的負(fù)半軸，錯誤； C、由一次函數(shù)y=kx+k可知，y隨x增大而減小時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸，錯誤； D、正確． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查的是一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)． 　 10．將正方體骰子（相對面上的點(diǎn)數(shù)分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖1．在圖2中，將骰子向右翻滾90，然后在桌面上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類． 【專題】壓軸題． 【分析】先向右翻滾，然后再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)叫做一次變換，那么連續(xù)3次變換是一個循環(huán)．本題先要找出3次變換是一個循環(huán)，然后再求10被3整除后余數(shù)是1，從而確定第1次變換的第1步變換． 【解答】解：根據(jù)題意可知連續(xù)3次變換是一循環(huán)．所以103=3…1．所以是第1次變換后的圖形． 故選B． 【點(diǎn)評】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的． 　 11．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為x=2．下列結(jié)論中正確的是（　?。? A．a(chǎn)bc＞0 B．5a+c＞0 C．4a﹣b=0 D．9a+3b+c＜0 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】由拋物線的對稱軸x=﹣=2可得4a+b=0；由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸可得c＞0，由拋物線的對稱軸x=﹣=2＞0可得ab＜0，則abc＜0；由圖可知由于拋物線與x軸的左交點(diǎn)在﹣2到﹣1之間，根據(jù)拋物線的軸對稱性可得拋物線與x軸的右交點(diǎn)在5到6之間，因而當(dāng)x=3時(shí)，y=9a+3b+c＞0，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=a﹣b+c＞0，結(jié)合4a+b=0可得5a+c＞0． 【解答】解：由拋物線的對稱軸x=﹣=2可得4a+b=0，故C錯誤； 由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸可得c＞0， 由拋物線的對稱軸x=﹣=2＞0可得ab＜0，則abc＜0，故A錯誤； 由于拋物線與x軸的左交點(diǎn)在﹣2到﹣1之間，根據(jù)拋物線的軸對稱性可得： 拋物線與x軸的右交點(diǎn)在5到6之間， 因而當(dāng)x=3時(shí)，y=9a+3b+c＞0，故D錯誤； 當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=a﹣b+c＞0， 由4a+b=0即b=﹣4a可得，a﹣（﹣4a）+c＞0，則5a+c＞0，故B正確． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵． 　 12．如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段BO′，下列結(jié)論： ①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到； ②點(diǎn)O與O′的距離為4； ③∠AOB=150； ④四邊形AO BO′的面積為6+3； ⑤S△AOC+S△AOB=6+． 其中正確的結(jié)論是（　?。? A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【考點(diǎn)】幾何變換綜合題． 【分析】證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60，所以△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到，故結(jié)論①正確； 由△OBO′是等邊三角形，可知結(jié)論②正確； 在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故△AOO′是直角三角形；進(jìn)而求得∠AOB=150，故結(jié)論③正確； S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故結(jié)論④錯誤； 如圖②，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn)．利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將S△AOC+S△AOB轉(zhuǎn)化為S△COO″+S△AOO″，計(jì)算可得結(jié)論⑤正確． 【解答】解：由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60， ∴∠1=∠3， 又∵OB=O′B，AB=BC， 在△BO′A和△BOC中， ， ∴△BO′A≌△BOC（SAS）， 又∵∠OBO′=60， ∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到， 故結(jié)論①正確； 如圖①，連接OO′， ∵OB=O′B，且∠OBO′=60， ∴△OBO′是等邊三角形， ∴OO′=OB=4． 故結(jié)論②正確； ∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5． 在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)， ∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90， ∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90+60=150， 故結(jié)論③正確； S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=34+42=6+4， 故結(jié)論④錯誤； 如圖②所示，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn)． 易知△AOO″是邊長為3的等邊三角形，△COO″是邊長為3、4、5的直角三角形， 則S△AOC+S△AOB=S四邊形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=34+32=6+， 故結(jié)論⑤正確． 綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③⑤． 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換中等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)．利用勾股定理的逆定理，判定勾股數(shù)3、4、5所構(gòu)成的三角形是直角三角形，這是本題的要點(diǎn)．在判定結(jié)論⑤時(shí)，將△AOB向不同方向旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)了結(jié)論①﹣結(jié)論④解題思路的拓展應(yīng)用． 　 二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分） 13．若關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+2x﹣m2+1=0的一個根為0，則m的值　1?。? 【考點(diǎn)】一元二次方程的解；一元二次方程的定義． 【分析】把x=0代入已知方程得到關(guān)于m的一元二次方程，通過解方程求得m的值；注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零，即m+1≠0． 【解答】解：把x=0代入（m+1）x2+2x﹣m2+1=0，得 ﹣m2+1=0， 解得m=1或m=﹣1． 又m+1≠0． 則m≠﹣1． 故m=1． 故答案是：1． 【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解定義和一元二次方程的定義．注意：本題中所求得的m的值必須滿足：m+1≠0這一條件． 　 14．拋物線y=﹣x2+（b+1）x﹣3的頂點(diǎn)在y軸上，則b的值為　﹣1?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題． 【分析】由拋物線的頂點(diǎn)在y軸上可得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，即﹣=0，就可求出b的值． 【解答】解：由題可得：﹣ =0， 解得b=﹣1． 故答案為﹣1． 【點(diǎn)評】本題考查的是y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，），應(yīng)熟練掌握． 　 15．（2015?泗洪縣校級模擬）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是　k≥﹣1且k≠0　． 【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】先根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式列出關(guān)于k的不等式組，求出k的取值范圍即可． 【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個實(shí)數(shù)根， ∴， 解得k≥﹣1且k≠0． 故答案為：k≥﹣1且k≠0． 【點(diǎn)評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵． 　 16．如圖，把矩形OABC放在直角坐標(biāo)系中，OC在x軸上，OA在y軸上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到矩形ODEF，則E的坐標(biāo)為?。?，2）?。? 【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)． 【分析】據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得OD=OA，OF=OC，再根據(jù)點(diǎn)E在第一象限寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可． 【解答】解：∵矩形OABC繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到矩形ODEF， ∴OD=OA=4，OF=OC=2， 又∵點(diǎn)E在第一象限， ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）． 故答案為：（4，2）． 【點(diǎn)評】題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，熟記旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵． 　 17．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則不等式ax2+bx+c＜0的解集是　﹣1＜x＜3?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）． 【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的圖象即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵由函數(shù)圖象可知，當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，函數(shù)圖象在x軸的下方， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3． 故答案為：﹣1＜x＜3． 【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)與不等式式，能利用數(shù)形結(jié)合求不等式的解集是解答此題的關(guān)鍵． 　 18．如圖，平行于x軸的直線AC分別交拋物線y1=x2（x≥0）與y2=（x≥0）于B、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作y軸的平行線交y1于點(diǎn)D，直線DE∥AC，交y2于點(diǎn)E，則=　5﹣?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【分析】設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a），利用兩個函數(shù)解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后求出BC的長度，再根據(jù)CD∥y軸，利用y1的解析式求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用y2求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得到DE的長度，然后求出比值即可得解． 【解答】解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a），（a＞0）， 則x2=a，解得x=， ∴點(diǎn)B（，a），=a， 則x=， ∴點(diǎn)C（，a）， ∴BC=﹣． ∵CD∥y軸， ∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，為， ∴y1=（）2=5a， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，5a）． ∵DE∥AC， ∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5a， ∴=5a， ∴x=5， ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，5a）， ∴DE=5﹣， ∴==5﹣． 故答案是：5﹣． 【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)平行與x軸的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，平行于y軸的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求出用點(diǎn)A的縱坐標(biāo)表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（本大題2個小題，共14分） 19．如圖，方格紙中的每個小方格都是正方形，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系 （1）以原點(diǎn)O為對稱中心，畫出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的△A1B1C1，并寫出A1的坐標(biāo)． （2）將原來的△ABC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到△A2B2C2，試在圖上畫出△A2B2C2的圖形． 【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【專題】作圖題． 【分析】（1）連接AO并延長至A1，使A1O=AO，連接BO并延長至B1，使B1O=BO，連接CO并延長至C1，使C1O=CO，然后順次連接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1；再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)即可； （2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換先找出點(diǎn)A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可． 【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求三角形， 點(diǎn)A1的坐標(biāo)是A1（6，﹣1）； （2）△A2B2C2即為所求作的三角形． 【點(diǎn)評】本題考查了利用關(guān)于原點(diǎn)對稱作圖與利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)位置是解題的關(guān)鍵． 　 20．已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且，求方程ax2+bx+c=0的根． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-公式法；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根． 【專題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)已知等式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值，代入方程計(jì)算即可求出解． 【解答】解：∵ +|b+1|+（c+3）2=0， ∴a=1，b=﹣1，c=﹣3， 原方程為x2﹣x﹣3=0， 這里a=1，b=﹣1，c=﹣3， ∴x=． 【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 　 四、解答題（本大題4個小題，共10分） 21．解方程： （1）（x﹣2）2=2﹣x （2）（3x﹣2）2=（4﹣x）2． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計(jì)算題；一元二次方程及應(yīng)用． 【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （2）方程開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出解即可． 【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣2）2+（x﹣2）=0， 分解因式得：（x﹣2）（x﹣2+1）=0， 解得：x1=2，x2=1； （2）開方得：3x﹣2=4﹣x或3x﹣2=x﹣4， 解得：x1=1.5，x2=﹣1． 【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及直接開平方法，熟練掌握各種解法是解本題的關(guān)鍵． 　 22．先化簡，再求值：（a﹣1﹣），其中a是方程x2+x﹣3=0的解． 【考點(diǎn)】分式的化簡求值；一元二次方程的解． 【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再根據(jù)a是方程x2+x﹣3=0的解得出a2+a=3，再代入原式進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：原式= =? = = ∵a是方程x2+x﹣3=0的解， ∴a2+a﹣3=0，即a2+a=3， ∴原式=． 【點(diǎn)評】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵． 　 23．在“母親節(jié)”期間，某校部分團(tuán)員參加社會公益活動，準(zhǔn)備購進(jìn)一批許愿瓶進(jìn)行銷售，并將所得利潤捐給慈善機(jī)構(gòu)．根據(jù)市場調(diào)查，這種許愿瓶一段時(shí)間內(nèi)的銷售量y（個）與銷售單價(jià)x（元/個）之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示： （1）試判斷y與x 之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式； （2）若許愿瓶的進(jìn)價(jià)為6元/個，按照上述市場調(diào)查的銷售規(guī)律，求銷售利潤w（元）與銷售單價(jià)x（元/個）之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）在（2）的前提下，若許愿瓶的進(jìn)貨成本不超過900元，要想獲得最大的利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價(jià)，并求出此時(shí)的最大利潤． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）觀察可得該函數(shù)圖象是一次函數(shù)，設(shè)出一次函數(shù)解析式，把其中兩點(diǎn)代入即可求得該函數(shù)解析式，進(jìn)而把其余兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入看縱坐標(biāo)是否與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同； （2）銷售利潤=每個許愿瓶的利潤銷售量； （3）根據(jù)進(jìn)貨成本可得自變量的取值，結(jié)合二次函數(shù)的關(guān)系式即可求得相應(yīng)的最大利潤． 【解答】解：（1）y是x的一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b圖象過點(diǎn)（10，300），（12，240）， ， 解得． 故y與x 之間的函數(shù)關(guān)系為：y=﹣30x+600， 當(dāng)x=14時(shí)，y=180；當(dāng)x=16時(shí)，y=120， 即點(diǎn)（14，180），（16，120）均在函數(shù)y=﹣30x+600的圖象上． ∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣30x+600； （2）w=（x﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600 即w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w=﹣30x2+780x﹣3600； （3）由題意得6（﹣30x+600）≤900，解得x≥15． w=﹣30x2+780x﹣3600圖象對稱軸為x=﹣=13， ∵a=﹣30＜0， ∴拋物線開口向下，當(dāng)x≥15時(shí)，w隨x增大而減小， ∴當(dāng)x=15時(shí)，w最大=1350． 即以15元/個的價(jià)格銷售這批許愿瓶可獲得最大利潤1350元． 【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；注意結(jié)合自變量的取值求得二次函數(shù)的最值問題． 　 24．操作：如圖①，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個60角： （1）角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN．探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明． （2）若角的兩邊分別交AB、CA的延長線于M、N兩點(diǎn)，連接MN．在圖②中畫出圖形，再直接寫出線段BM、MN、NC之間的關(guān)系． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）延長NC到E，使CE=BM，連接DE，先證△CDE≌△BDM，再證△DMN≌△DEN； （2）在CA上截取CE=BM，連接DE，先證△MBD≌△ECD，再證△NMD≌△NED； 【解答】解：（1）MN=BM+CN． 如圖1，延長NC到E，使CE=BM，連接DE， ∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120， ∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60+30=90， ∴∠DCE=180﹣∠ACD=180﹣∠ABD=90， 在△CDE和△BDM中， ， ∴△CDE≌△BDM（SAS）， ∴∠CDE=∠BDM，DE=DM， ∴∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120﹣60=60， 在△DMN和△DEN中， ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN=NE=CE+CN=BM+CN． （2）MN=CN﹣BM． 如圖2，在CA上截取CE=BM，連接DE， 在△MBD和△ECD中， ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴DM=DE，∠MDB=∠EDC， ∵∠MDN=∠MDB+∠BDN=∠CDE+∠BDN=60， ∴∠EDN=60=∠MDN， 在△NMD和△NED中， ， ∴△NMD≌△NED（SAS）， ∴NE=MN， ∴MN=CN﹣CE=CN﹣BM． 【點(diǎn)評】本題主要考查了等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．對于線段和差等式的證明，截長補(bǔ)短是關(guān)鍵． 　 五、解答題（本大題2個小題，共24分） 25．小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個問題： 定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 求函數(shù)y=x2﹣3x﹣2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 小明是這樣思考的：由函數(shù)y=x2﹣3x﹣2可知，a1=1，b1=﹣3，c1=﹣2，根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 請參考小明的方法解決下面問題： （1）直接寫出函數(shù)y=x2﹣3x﹣2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”； （2）若函數(shù)y=﹣x2+mx﹣3與y=x2﹣3nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的值； （3）已知函數(shù)y=﹣（x+1）（x﹣4）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，試證明經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=﹣（x+1）（x﹣4）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2=﹣1，b2=﹣3，c2=﹣2，從而求出函數(shù)y=x2﹣3x﹣2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”； （2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)函數(shù)的定義意得，從而得到m=﹣15，n=3，進(jìn)而求出求的值； （3）根據(jù)題意得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），得到A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2），從而求出兩個函數(shù)解析式，進(jìn)而得到兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 【解答】解：（1）在y=x2﹣3x﹣2中，a1=1，b1=﹣3，c1=﹣2， ∵a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0， ∴a2=﹣1，b2=﹣3，c2=﹣2， 可得函數(shù)y=x2﹣3x﹣2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y=﹣x2﹣3x+2； （2）根據(jù)題意得， ∴m=﹣15，n=3． ∴（m+n）2015=[（﹣15）+3]2015=﹣1， （3）題意得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），得到A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2）， 又y=﹣（x+1）（x﹣4）即y=﹣x2+x+2，經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)為 y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2， ∵a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0， ∴兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，熟悉待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，明確確旋轉(zhuǎn)函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵． 　 26．已知，如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB． （1）求拋物線的解析式； （2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值； （3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)OC=3OB，B（1，0），求出C點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣3），把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y=ax2+2ax+c，求出a點(diǎn)坐標(biāo)即可求出函數(shù)解析式； （2）圖，過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M，N．設(shè)M（m，﹣m﹣3）則D（m，m2+2m﹣3），然后求出DM的表達(dá)式，把S四邊形ABCD分解為S△ABC+S△ACD，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值； （3）①過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形．平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC=PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形． 【解答】解：（1）∵OC=3OB，B（1，0）， ∴C（0，﹣3）． 把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y=ax2+2ax+c，得a=1，c=﹣3， ∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2+2x﹣3． （2）由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直線AC的解析式為y=﹣x﹣3， 如圖1，過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M，N． 設(shè)M（m，﹣m﹣3）則D（m，m2+2m﹣3）， DM=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+， ∴﹣1＜0， ∴當(dāng)x=時(shí)，DM有最大值， ∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=43+3DM，此時(shí)四邊形ABCD面積有最大值為6+=． （3）存在． 討論：①如圖2，過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1， 此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形． ∵C（0，﹣3），令﹣3=x2+2x﹣3 ∴x1=2，x2=﹣2． ∴P1（﹣2，﹣3）． ②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC=PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形， ∵C（0，﹣3）， ∴可令P（x，3），3=x2+2x﹣3，得x2+2x﹣6=0 解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣， 此時(shí)存在點(diǎn)P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3）， 綜上所述，存在3個點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是： P1（﹣2，﹣3），P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3）． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)求最值，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)題意作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵，在解答（3）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．