九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版2 (9)

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山西省離石區(qū)、古縣、高縣三地八校聯(lián)考2016-2017學(xué)年九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1．下列各式運算正確的是（　?。? A． B． C． D． 2．如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，這里所運用的幾何原理是（　?。? A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點之間線段最短 C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短 3．下圖圖形中，是中心對稱的圖形是（　?。? A． B． C． D． 4．如圖，在銳角△ABC中，AB=6，∠BAC=45，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是（　　） A． B．6 C． D．3 5．如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上．下列結(jié)論：①CE=CF；②∠AEB=75；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正確的個數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 6．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x=2，下列結(jié)論： ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④當(dāng)x＞﹣1時，y的值隨x值的增大而增大． 其中正確的結(jié)論有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 7．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm．動點E從點B出發(fā)，沿著線路BC→CD→DA運動，在BC段的平均速度是1cm/s，在CD段的平均速度是2cm/s，在DA段的平均速度是4cm/s，到點A停止．設(shè)△ABE的面積為y（cm2），則y與點E的運動時間t（s）的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（　?。? A． B． C．D． 8．下列調(diào)查中，適合用普查方式的是（　?。? A．了解2016年最新一批炮彈的殺傷半徑 B．了解陽泉電視臺《XX》欄目的收視率 C．了解黃河的魚的種類 D．了解某班學(xué)生對“山西精神”的知曉率 9．如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點，點P從點B沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止，點Q從點B沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/s．若P，Q同時開始運動，設(shè)運動時間為t（s），△BPQ的面積為y（cm2）．已知y與t的函數(shù)圖象如圖2，則下列結(jié)論錯誤的是（　　） A．AE=6cm B．sin∠EBC= C．當(dāng)0＜t≤10時，y=t2 D．當(dāng)t=12s時，△PBQ是等腰三角形 10．已知M（a，b）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點，其中a是從l，2，3，4三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從l，2，3，4，5五個數(shù)中任取的一個數(shù)．定義“點M（a，b）在直線x+y=n上”為事件Qn（2≤n≤9，n為整數(shù)），則當(dāng)Qn的概率最大時，n的所有可能的值為（　?。? A．5 B．4或5 C．5或6 D．6或7 　 二、填空題 11．對于實數(shù)x，我們規(guī)定[X）表示大于x的最小整數(shù)，如[4）═5，[）=2，[﹣2.5）=﹣2，現(xiàn)對64進(jìn)行如下操作： 64 [）=9 [）=4 [）=3 [[）=2， 這樣對64只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?，類似地，只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是　?。? 12．如圖所示，點A是半圓上的一個三等分點，B是劣弧的中點，點P是直徑MN上的一個動點，⊙O的半徑為1，則AP+PB的最小值　　． 13．已知﹣1＜a＜0，化簡得　　． 14．如圖，DB為半圓的直徑，A為BD延長線上一點，AC切半圓于點E，BC⊥AC于點C，交半圓于點F．已知BD=2，設(shè)AD=x，CF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是　?。? 15．已知直線y1=x，y2=x+1，y3=﹣x+5的圖象如圖所示，若無論x取何值，y總?cè)1，y2，y3中的最小值，則y的最大值為　?。? 　 三、解答題（50分） 16．（12分）已知：如圖，拋物線y=a（x﹣1）2+c與x軸交于點A（，0）和點B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點P落在點P′（1，3）處． （1）求原拋物線的解析式； （2）學(xué)校舉行班徽設(shè)計比賽，九年級5班的小明在解答此題時頓生靈感：過點P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計成一個“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比（約等于0.618）．請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果可保留根號） 17．（13分）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4cm，CD⊥AB于點D，動點P從點A出發(fā)，沿AC以2cm/s的速度向終點C運動，當(dāng)點P出發(fā)后，過點P作PQ∥BC交折線AD﹣DC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQR，設(shè)四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形的面積為S（cm2），點P運動的時間為t（s）． （1）當(dāng)點Q在線段AD上時，用含t的代數(shù)式表示QR的長； （2）求點R運動的路程長； （3）當(dāng)點Q在線段AD上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式； （4）直接寫出以點B、Q、R為頂點的三角形是直角三角形時t的值． 18．（10分）計算 （1）3425′20″3+3542′ （2）﹣1=． 19．（15分）如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N． （1）當(dāng)A，B，C三點在同一直線上時（如圖1），求證：M為AN的中點； （2）將圖1中的△BCE繞點B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形； （3）將圖1中△BCE繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由． 　  2016-2017學(xué)年山西省離石區(qū)、古縣、高縣三地八校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題 1．下列各式運算正確的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】二次根式的混合運算． 【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義對A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的加減法對B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次很式的性質(zhì)對D進(jìn)行判斷． 【解答】解：A、原式=4，所以A選項錯誤； B、與不能合并，所以B選項錯誤； C、原式==，所以C選項正確； D、原式=|﹣5|=5，所以D選項錯誤． 故選C． 【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍． 　 2．如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，這里所運用的幾何原理是（　?。? A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點之間線段最短 C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短 【考點】三角形的穩(wěn)定性． 【分析】根據(jù)加上窗鉤，可以構(gòu)成三角形的形狀，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋． 【解答】解：構(gòu)成△AOB，這里所運用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性． 故選：A． 【點評】本題考查三角形的穩(wěn)定性在實際生活中的應(yīng)用問題．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用． 　 3．下圖圖形中，是中心對稱的圖形是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是中心對稱圖形； B、不是中心對稱圖形； C、是中心對稱圖形； D、不是中心對稱圖形． 故選C． 【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合． 　 4．如圖，在銳角△ABC中，AB=6，∠BAC=45，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是（　?。? A． B．6 C． D．3 【考點】軸對稱-最短路線問題． 【分析】作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點，過M′點作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值，再根據(jù)AD是∠BAC的平分線可知M′H=M′N′，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論． 【解答】解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點，過M′點作M′N′⊥AB，垂足為N′，則BM′+M′N′為所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分線， ∴M′H=M′N′， ∴BH是點B到直線AC的最短距離（垂線段最短）， ∵AB=6，∠BAC=45， ∴BH=AB?sin45=6=3． ∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=3． 故選C． 【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，解答此類問題時要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值． 　 5．如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上．下列結(jié)論：①CE=CF；②∠AEB=75；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正確的個數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180判斷②的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識可以判斷③的正誤，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷④的正誤． 【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∵△AEF是等邊三角形， ∴AE=AF， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∵BC=DC， ∴BC﹣BE=CD﹣DF， ∴CE=CF， ∴①說法正確； ∵CE=CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45， ∵∠AEF=60， ∴∠AEB=75， ∴②說法正確； 如圖，連接AC，交EF于G點， ∴AC⊥EF，且AC平分EF， ∵∠CAF≠∠DAF， ∴DF≠FG， ∴BE+DF≠EF， ∴③說法錯誤； ∵EF=2， ∴CE=CF=， 設(shè)正方形的邊長為a， 在Rt△ADF中， a2+（a﹣）2=4， 解得a=， 則a2=2+， ∴S正方形ABCD=2+， ④說法正確， ∴正確的有①②④． 故選C． 【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩． 　 6．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x=2，下列結(jié)論： ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④當(dāng)x＞﹣1時，y的值隨x值的增大而增大． 其中正確的結(jié)論有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=﹣=2，則有4a+b=0；觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x=﹣3時，函數(shù)值小于0，則9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1時，y=0，則a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根據(jù)拋物線開口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于對稱軸為直線x=2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減?。? 【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=2， ∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正確）； ∵當(dāng)x=﹣3時，y＜0， ∴9a﹣3b+c＜0， 即9a+c＜3b，（故②錯誤）； ∵拋物線與x軸的一個交點為（﹣1，0）， ∴a﹣b+c=0， 而b=﹣4a， ∴a+4a+c=0，即c=﹣5a， ∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a， ∵拋物線開口向下， ∴a＜0， ∴8a+7b+2c＞0，（故③正確）； ∵對稱軸為直線x=2， ∴當(dāng)﹣1＜x＜2時，y的值隨x值的增大而增大， 當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減小，（故④錯誤）． 故選：B． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定，△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點． 　 7．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm．動點E從點B出發(fā)，沿著線路BC→CD→DA運動，在BC段的平均速度是1cm/s，在CD段的平均速度是2cm/s，在DA段的平均速度是4cm/s，到點A停止．設(shè)△ABE的面積為y（cm2），則y與點E的運動時間t（s）的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（　?。? A． B． C．D． 【考點】動點問題的函數(shù)圖象． 【分析】求△ABE的面積y時，可把AB看作底邊，E到AB的垂線段看作高．分三種情況：①動點E從點B出發(fā)，在BC上運動；②動點E在CD上運動；③動點E在DA上運動．分別求出每一種情況下，△ABE的面積y（cm2）點E的運動時間t（s）的函數(shù)解析式，再結(jié)合自變量的取值范圍即可判斷． 【解答】解：分三種情況： ①動點E從點B出發(fā)，在BC上運動． ∵BC=4cm，動點E在BC段的平均速度是1cm/s， ∴動點E在BC段的運動時間為：41=4（s）． ∵y=?AB?BE=6t=3t， ∴y=3t（0≤t≤4）， ∴當(dāng)0≤t≤4時，y隨t的增大而增大，故排除A、B； ②動點E在CD上運動． ∵CD=AB=6cm，動點E在CD段的平均速度是2cm/s， ∴動點E在CD段的運動時間為：62=3（s）． ∵y=?AB?BC=64=12， ∴y=12（4＜t≤7）， ∴當(dāng)4＜t≤7時，y=12； ③動點E在DA上運動． ∵DA=BC=4cm，動點E在DA段的平均速度是4cm/s， ∴動點E在DA段的運動時間為：44=1（s）． ∵y=?AB?AE=6[4﹣4（t﹣7）]=96﹣12t， ∴y=96﹣12t（7＜t≤8）， ∴當(dāng)7＜t≤8時，y隨t的增大而減小，故排除D． 綜上可知C選項正確． 故選C． 【點評】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)時間=路程速度確定動點E分別在BC、CD、DA段運動的時間是解題的關(guān)鍵，同時考查了三角形的面積公式及一次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解決此類問題常用的方法． 　 8．下列調(diào)查中，適合用普查方式的是（　?。? A．了解2016年最新一批炮彈的殺傷半徑 B．了解陽泉電視臺《XX》欄目的收視率 C．了解黃河的魚的種類 D．了解某班學(xué)生對“山西精神”的知曉率 【考點】全面調(diào)查與抽樣調(diào)查． 【分析】由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似． 【解答】解：了解2016年最新一批炮彈的殺傷半徑適合用抽樣調(diào)查方式； 了解陽泉電視臺《XX》欄目的收視率適合用抽樣調(diào)查方式； 了解黃河的魚的種類適合用抽樣調(diào)查方式； 了解某班學(xué)生對“山西精神”的知曉率適合用普查方式， 故選：D． 【點評】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進(jìn)行普查、普查的意義或價值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查． 　 9．如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點，點P從點B沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止，點Q從點B沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/s．若P，Q同時開始運動，設(shè)運動時間為t（s），△BPQ的面積為y（cm2）．已知y與t的函數(shù)圖象如圖2，則下列結(jié)論錯誤的是（　?。? A．AE=6cm B．sin∠EBC= C．當(dāng)0＜t≤10時，y=t2 D．當(dāng)t=12s時，△PBQ是等腰三角形 【考點】動點問題的函數(shù)圖象． 【分析】由圖2可知，在點（10，40）至點（14，40）區(qū)間，△BPQ的面積不變，因此可推論BC=BE，由此分析動點P的運動過程如下： （1）在BE段，BP=BQ；持續(xù)時間10s，則BE=BC=10；y是t的二次函數(shù)； （2）在ED段，y=40是定值，持續(xù)時間4s，則ED=4； （3）在DC段，y持續(xù)減小直至為0，y是t的一次函數(shù)． 【解答】解：（1）結(jié)論A正確．理由如下： 分析函數(shù)圖象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm； （2）結(jié)論B正確．理由如下： 如答圖1所示，連接EC，過點E作EF⊥BC于點F， 由函數(shù)圖象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC?EF=10EF，∴EF=8， ∴sin∠EBC===； （3）結(jié)論C正確．理由如下： 如答圖2所示，過點P作PG⊥BQ于點G， ∵BQ=BP=t， ∴y=S△BPQ=BQ?PG=BQ?BP?sin∠EBC=t?t?=t2． （4）結(jié)論D錯誤．理由如下： 當(dāng)t=12s時，點Q與點C重合，點P運動到ED的中點，設(shè)為N，如答圖3所示，連接NB，NC． 此時AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=， ∵BC=10， ∴△BCN不是等腰三角形，即此時△PBQ不是等腰三角形． 【點評】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，需要結(jié)合幾何圖形與函數(shù)圖象，認(rèn)真分析動點的運動過程．突破點在于正確判斷出BC=BE=10cm． 　 10．已知M（a，b）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點，其中a是從l，2，3，4三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從l，2，3，4，5五個數(shù)中任取的一個數(shù)．定義“點M（a，b）在直線x+y=n上”為事件Qn（2≤n≤9，n為整數(shù)），則當(dāng)Qn的概率最大時，n的所有可能的值為（　?。? A．5 B．4或5 C．5或6 D．6或7 【考點】列表法與樹狀圖法；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征． 【分析】利用樹狀圖列舉出所有可能，即可得出n的值，進(jìn)而得出答案． 【解答】解： ∵a是從l，2，3，4四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從l，2，3，4，5五個數(shù)中任取的一個數(shù)． 又∵點M（a，b）在直線x+y=n上，2≤n≤9，n為整數(shù)， ∴n=5或6的概率是，n=4的概率是， ∴當(dāng)Qn的概率最大時是n=5或6的概率是最大． 故選C． 【點評】此題主要考查了樹狀圖法求概率，利用樹狀圖法列舉出所有可能是解決問題的關(guān)鍵． 　 二、填空題 11．對于實數(shù)x，我們規(guī)定[X）表示大于x的最小整數(shù)，如[4）═5，[）=2，[﹣2.5）=﹣2，現(xiàn)對64進(jìn)行如下操作： 64 [）=9 [）=4 [）=3 [[）=2， 這樣對64只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?，類似地，只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是　3968?。? 【考點】估算無理數(shù)的大?。? 【分析】將63代入操作程序，只需要3次后變?yōu)?，設(shè)這個最大正整數(shù)為m，則，從而求得這個最大的數(shù)． 【解答】解：63 [）=8 [）=3 [）=2， 設(shè)這個最大正整數(shù)為m，則m [）=63， ∴＜63． ∴m＜3969． ∴m的最大正整數(shù)值為3968． 故答案為：3968． 【點評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，確定出經(jīng)過3次變化后值為2的最大正整數(shù)值是解題的關(guān)鍵． 　 12．如圖所示，點A是半圓上的一個三等分點，B是劣弧的中點，點P是直徑MN上的一個動點，⊙O的半徑為1，則AP+PB的最小值　?。? 【考點】垂徑定理；軸對稱-最短路線問題． 【分析】本題是要在MN上找一點P，使PA+PB的值最小，設(shè)A′是A關(guān)于MN的對稱點，連接A′B，與MN的交點即為點P．此時PA+PB=A′B是最小值，可證△OA′B是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果． 【解答】解：作點A關(guān)于MN的對稱點A′，連接A′B，交MN于點P，連接OA′，OA，OB，PA，AA′． ∵點A與A′關(guān)于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點， ∴∠A′ON=∠AON=60，PA=PA′， ∵點B是弧AN的中點， ∴∠BON=30， ∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90， 又∵OA=OA′=1， ∴A′B=． ∴PA+PB=PA′+PB=A′B=． 故答案為：． 【點評】本題結(jié)合圖形的性質(zhì)，考查軸對稱﹣﹣最短路線問題．其中求出∠BOA′的度數(shù)是解題的關(guān)鍵． 　 13．已知﹣1＜a＜0，化簡得　﹣　． 【考點】二次根式的化簡求值． 【分析】此題已經(jīng)給出a的范圍，代入原式去掉根號即可． 【解答】解：因為﹣1＜a＜0，所以，即，且． ， =， =， =， =． 故答案為：﹣． 【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)，比較簡單，注意掌握二次根式的性質(zhì)： =﹣a（a≤0）． 　 14．如圖，DB為半圓的直徑，A為BD延長線上一點，AC切半圓于點E，BC⊥AC于點C，交半圓于點F．已知BD=2，設(shè)AD=x，CF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是　y=?。? 【考點】切線的性質(zhì)；函數(shù)關(guān)系式；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】連接DF、OE，過點D作DG⊥AC于點G，先證明四邊形CGDF是矩形，得出DG=CF=y；再證明△AOE∽△ADG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案． 【解答】解：連接DF、OE，過點D作DG⊥AC于點G． ∵∠C=∠CGD=∠CFD=90， ∴四邊形CGDF是矩形， ∴DG=CF=y； ∵OE∥DG， ∴△AOE∽△ADG， ∴=， 即=， 化簡可得y=． 【點評】主要考查了函數(shù)的定義和結(jié)合幾何圖形列函數(shù)關(guān)系式． 函數(shù)的定義：在一個變化過程中，有兩個變量x，y，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)，x叫自變量． 　 15．已知直線y1=x，y2=x+1，y3=﹣x+5的圖象如圖所示，若無論x取何值，y總?cè)1，y2，y3中的最小值，則y的最大值為　?。? 【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式；一次函數(shù)的圖象． 【分析】y始終取三個函數(shù)的最小值，y最大值即求三個函數(shù)的公共部分的最大值． 【解答】解：如圖，分別求出y1，y2，y3交點的坐標(biāo)A（，）；B（，）；C（，） 當(dāng)x＜，y=y1； 當(dāng)≤x＜，y=y2； 當(dāng)≤x＜，y=y2； 當(dāng)x≥，y=y3． ∵y總?cè)1，y2，y3中的最小值， ∴y的取值為圖中紅線所描述的部分， 則y1，y2，y3中最小值的最大值為C點的縱坐標(biāo)， ∴y最大=． 【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與一次不等式的綜合應(yīng)用，要先畫出函數(shù)的圖象根據(jù)數(shù)形結(jié)合解題，鍛煉了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法． 　 三、解答題（50分） 16．（12分）（2012?益陽）已知：如圖，拋物線y=a（x﹣1）2+c與x軸交于點A（，0）和點B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點P落在點P′（1，3）處． （1）求原拋物線的解析式； （2）學(xué)校舉行班徽設(shè)計比賽，九年級5班的小明在解答此題時頓生靈感：過點P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計成一個“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比（約等于0.618）．請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果可保留根號） 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）利用P與P′（1，3）關(guān)于x軸對稱，得出P點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可； （2）根據(jù)已知得出C，D兩點坐標(biāo)，進(jìn)而得出“W”圖案的高與寬（CD）的比． 【解答】解：（1）∵P與P′（1，3）關(guān)于x軸對稱， ∴P點坐標(biāo)為（1，﹣3）； …（2分） ∵拋物線y=a（x﹣1）2+c過點A（，0），頂點是P（1，﹣3）， ∴；… 解得；… 則拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣3，… 即y=x2﹣2x﹣2． （2）∵CD平行x軸，P′（1，3）在CD上， ∴C、D兩點縱坐標(biāo)為3； …（6分） 由（x﹣1）2﹣3=3， 解得：，，…（7分） ∴C、D兩點的坐標(biāo)分別為（，3），（，3） ∴CD=…（8分） ∴“W”圖案的高與寬（CD）的比=（或約等于0.6124）…（10分）． 【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知得出C，D兩點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵． 　 17．（13分）（2016?開平區(qū)二模）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4cm，CD⊥AB于點D，動點P從點A出發(fā)，沿AC以2cm/s的速度向終點C運動，當(dāng)點P出發(fā)后，過點P作PQ∥BC交折線AD﹣DC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQR，設(shè)四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形的面積為S（cm2），點P運動的時間為t（s）． （1）當(dāng)點Q在線段AD上時，用含t的代數(shù)式表示QR的長； （2）求點R運動的路程長； （3）當(dāng)點Q在線段AD上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式； （4）直接寫出以點B、Q、R為頂點的三角形是直角三角形時t的值． 【考點】相似形綜合題． 【分析】（1）易證△APQ是等邊三角形，即可得到QR=PQ=AP=2t； （2）過點A作AG⊥BC于點G，如圖②，易得點R運動的路程長是AG+CG，只需求出AG、CG就可解決問題； （3）四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形可能是菱形，也可能是五邊形，故需分情況討論，然后運用割補法就可解決問題； （4）由于直角頂點不確定，故需分情況討論，只需分∠QRB=90和∠RQB=90兩種情況討論，即可解決問題． 【解答】解：（1）如圖①， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ACB=∠B=60． ∵PQ∥BC， ∴∠APQ=∠ACB=60，∠AQP=∠B=60， ∴△APQ是等邊三角形． ∴PQ=AP=2t． ∵△PQR是等邊三角形， ∴QR=PQ=2t； （2）過點A作AG⊥BC于點G，如圖②， 則點R運動的路程長是AG+CG． 在Rt△AGC中，∠AGC=90，sin60==，cos60==，AC=4， ∴AG=2，CG=2． ∴點R運動的路程長2+2； （3）①當(dāng)0＜t≤時，如圖③， S=S菱形APRQ=2S正△APQ=2（2t）2=2t2； ②當(dāng)＜t≤1時，如圖④ PE=PC?sin∠PCE=（4﹣2t）=2﹣t， ∴ER=PR﹣PE=2t﹣（2﹣t）=3t﹣2， ∴EF=ER?tanR=（3t﹣2） ∴S=S菱形APRQ﹣S△REF =2t2﹣（3t﹣2）2=﹣t2+6t﹣2； （3）t=或t= 提示：①當(dāng)∠QRB=90時，如圖⑤， cos∠RQB==， ∴QB=2QR=2QA， ∴AB=3QA=6t=4， ∴t=； ②當(dāng)∠RQB=90時，如圖⑥， 同理可得BC=3RC=3PC=3（4﹣2t）=4， ∴t=． 【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、等邊三角形的面積公式（等邊三角形的面積等于邊長平方的倍）等知識，運用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵． 　 18．（10分）（2016秋?高縣期中）計算 （1）3425′20″3+3542′ （2）﹣1=． 【考點】度分秒的換算；解一元一次方程． 【分析】（1）根據(jù)度分秒的乘法，先從小單位算起，滿60時向上一單位進(jìn)1，根據(jù)度分秒的加法，相同單位相加，滿60時向上一單位進(jìn)1，可得答案； （2）根據(jù)方程的一般步驟，可得答案． 【解答】解：（1）原式=10275′60″+3542′ =10316′+3542′ =13858′． （2）兩邊都乘以6，得 3（x+1）﹣6=2（2x﹣3）． 去括號，得 3x+3﹣6=4x﹣6， 移項，得 3x﹣4x=﹣6﹣3+6， 合并同類項，得 ﹣x=﹣3，系數(shù)化為1，得 x=3． 【點評】本題考查了解一元一次方程，去分母是解題關(guān)鍵，不含分母的項不要漏乘分母的最小公倍數(shù)． 　 19．（15分）（2014?宿遷）如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N． （1）當(dāng)A，B，C三點在同一直線上時（如圖1），求證：M為AN的中點； （2）將圖1中的△BCE繞點B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形； （3）將圖1中△BCE繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由． 【考點】幾何變換綜合題；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】（1）由EN∥AD和點M為DE的中點可以證到△ADM≌△NEM，從而證到M為AN的中點． （2）易證AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135，從而可以證到△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90，則有△ACN為等腰直角三角形． （3）延長AB交NE于點F，易得△ADM≌△NEM，根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和，可得∠ABC=∠FEC，從而可以證到△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90，則有△ACN為等腰直角三角形． 【解答】（1）證明：如圖1， ∵EN∥AD， ∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM． ∵點M為DE的中點， ∴DM=EM． 在△ADM和△NEM中， ∴． ∴△ADM≌△NEM． ∴AM=MN． ∴M為AN的中點． （2）證明：如圖2， ∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形， ∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45． ∵AD∥NE， ∴∠DAE+∠NEA=180． ∵∠DAE=90， ∴∠NEA=90． ∴∠NEC=135． ∵A，B，E三點在同一直線上， ∴∠ABC=180﹣∠CBE=135． ∴∠ABC=∠NEC． ∵△ADM≌△NEM（已證）， ∴AD=NE． ∵AD=AB， ∴AB=NE． 在△ABC和△NEC中， ∴△ABC≌△NEC． ∴AC=NC，∠ACB=∠NCE． ∴∠ACN=∠BCE=90． ∴△ACN為等腰直角三角形． （3）△ACN仍為等腰直角三角形． 證明：如圖3，延長AB交NE于點F， ∵AD∥NE，M為中點， ∴易得△ADM≌△NEM， ∴AD=NE． ∵AD=AB， ∴AB=NE． ∵AD∥NE， ∴AF⊥NE， 在四邊形BCEF中， ∵∠BCE=∠BFE=90 ∴∠FBC+∠FEC=360﹣180=180 ∵∠FBC+∠ABC=180 ∴∠ABC=∠FEC 在△ABC和△NEC中， ∴△ABC≌△NEC． ∴AC=NC，∠ACB=∠NCE． ∴∠ACN=∠BCE=90． ∴△ACN為等腰直角三角形． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角與外角等知識，滲透了變中有不變的辯證思想，是一道好題．