八年級數學下學期期中試卷（含解析） 新人教版4 (3)

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2015-2016學年山東省德州市禹城市八年級（下）期中數學試卷 一、選擇題：每小題3分，共36分 1．在實數范圍內，若有意義，則x的取值范圍是（　?。? A．x≤﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞﹣1 D．x≥﹣1 2．下列計算正確的是（　?。? A． B． C． D． 3．已知直角三角形兩邊的長為3和4，則此三角形的周長為（　?。? A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不對 4．在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，如果AC=10，BD=8，AB=x，則x的取值范圍是（　?。? A．1＜x＜9 B．2＜x＜18 C．8＜x＜10 D．4＜x＜5 5．已知x=2﹣，則代數式（7+4）x2+（2+）x+的值是（　?。? A．0 B． C．2+ D．2﹣ 6．下列命題中： ①兩條對角線互相平分且相等的四邊形是正方形； ②菱形的一條對角線平分一組對角； ③順次連結四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形； ④兩條對角線互相平分的四邊形是矩形； ⑤平行四邊形對角線相等． 真命題的個數是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 7．滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（　?。? A．三內角之比為1：2：3 B．三邊長的平方之比為1：2：3 C．三邊長之比為3：4：5 D．三內角之比為3：4：5 8．順次連接對角線相等的四邊形的四邊中點所得到的四邊形一定是（　　） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四邊形 9．將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度hcm，則h的取值范圍是（　?。? A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 10．如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F，連接EF，則△AEF的面積是（　　） A．4 B．3 C．2 D． 11．直角三角形兩直角邊和為7，面積為6，則斜邊長為（　?。? A．5 B． C．7 D． 12．如圖，周長為16的菱形ABCD中，點E，F分別在AB，AD邊上，AE=1，AF=3，P為BD上一動點，則線段EP+FP的長最短為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 　 二、填空題：每小題4分，共20分 13．菱形的兩條對角線的長分別是8cm和6cm，則菱形的周長是______，面積是______． 14．已知x，y為實數，且y=++1，則x+y+1=______． 15．如圖，正方形ABCD的對角線交于O點，點O是正方形EFGO的一個頂點，正方形ABCD和正方形EFGO的邊長分別為2cm和2.5cm，兩個正方形重疊的面積是______． 16．△ABC中，AC=6，AB=BC=5，則BC邊上的高AD=______． 17．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點O，且OE=OD，則AP的長為______． 　 三、解答題，共64分 18．計算： （1）（﹣）﹣（+） （2）（3﹣2+）2 （3）（﹣）2． 19．先化簡，再求值：2a﹣，其中a=． 20．閱讀下列解題過程： 已知a，b，c為△ABC的三邊長，且滿足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，試判斷△ABC的形狀． 解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，① ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），② ∴c2=a2+b2，③ ∴△ABC為直角三角形．④ 回答下列問題： （1）在上述解題過程中，從哪一步開始出現錯誤？該步的序號為：______； （2）錯誤的原因為：______； （3）請你將正確的解答過程寫下來． 21．如圖，已知四邊形ABCD中，∠B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積． 22．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結DE． （1）證明DE∥CB； （2）探索AC與AB滿足怎樣的數量關系時，四邊形DCBE是平行四邊形． 23．現有10個邊長為1的正方形，排列形式如圖1，請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：在圖1中用實線畫出分割線，并在圖2的正方形網格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形． 24．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，請你認真閱讀下面關于這個圖的探究片段，完成所提出的問題． （1）探究1：小強看到圖后，很快發(fā)現AE=EF，這需要證明AE和EF所在的兩個三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等，考慮到點E是邊BC的中點，因此可以選取AB的中點M，連接EM（圖1）后嘗試著完成了證明，請你寫出小強的證明過程． （2）探究2：小強繼續(xù)探索，如圖2，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”，其余條件不變，發(fā)現AE=EF仍然成立，請你證明這一結論． （3）探究3：小強進一步還想試試，如圖3，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結論AE=EF是否成立呢？若成立請你完成證明過程給小強看，若不成立請你說明理由． 　  2015-2016學年山東省德州市禹城市八年級（下）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：每小題3分，共36分 1．在實數范圍內，若有意義，則x的取值范圍是（　　） A．x≤﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞﹣1 D．x≥﹣1 【考點】二次根式有意義的條件． 【分析】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【解答】解：根據二次根式有意義，分式有意義得：1+x＞0， 解得：x＞﹣1． 故選：C． 　 2．下列計算正確的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】二次根式的混合運算． 【分析】根據二次根式的加法及乘法法則進行計算，然后判斷各選項即可得出答案． 【解答】解：A、﹣=2﹣=，故本選項正確． B、+≠，故本選項錯誤； C、=，故本選項錯誤； D、==2，故本選項錯誤． 故選A． 　 3．已知直角三角形兩邊的長為3和4，則此三角形的周長為（　　） A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不對 【考點】勾股定理． 【分析】先設Rt△ABC的第三邊長為x，由于4是直角邊還是斜邊不能確定，故應分4是斜邊或x為斜邊兩種情況討論． 【解答】解：設Rt△ABC的第三邊長為x， ①當4為直角三角形的直角邊時，x為斜邊， 由勾股定理得，x=5，此時這個三角形的周長=3+4+5=12； ②當4為直角三角形的斜邊時，x為直角邊， 由勾股定理得，x=，此時這個三角形的周長=3+4+=7+． 綜上所述，此三角形的周長為12或7+． 故選C． 　 4．在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，如果AC=10，BD=8，AB=x，則x的取值范圍是（　?。? A．1＜x＜9 B．2＜x＜18 C．8＜x＜10 D．4＜x＜5 【考點】平行四邊形的性質；三角形三邊關系． 【分析】根據平行四邊形的性質求出OA、OB，根據三角形的三邊關系定理得到OA﹣OB＜x＜OA+OB，代入求出即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=10，BD=8， ∴OA=OC=5，OD=OB=4， 在△OAB中，OA﹣OB＜x＜OA+OB， ∴5﹣4＜x＜4+5， ∴1＜x＜9． 故選：A． 　 5．已知x=2﹣，則代數式（7+4）x2+（2+）x+的值是（　?。? A．0 B． C．2+ D．2﹣ 【考點】二次根式的化簡求值． 【分析】未知數的值已給出，利用代入法即可求出． 【解答】解：把x=2﹣代入代數式（7+4）x2+（2+）x+得： =（7+4）（7﹣4）+4﹣3+ =49﹣48+1+ =2+． 故選C． 　 6．下列命題中： ①兩條對角線互相平分且相等的四邊形是正方形； ②菱形的一條對角線平分一組對角； ③順次連結四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形； ④兩條對角線互相平分的四邊形是矩形； ⑤平行四邊形對角線相等． 真命題的個數是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】命題與定理． 【分析】利用正方形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理、平行四邊形的判定及性質分別判斷后即可確定正確的選項． 【解答】解：①兩條對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故錯誤； ②菱形的一條對角線平分一組對角，正確，為真命題； ③順次連結四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形，正確，為真命題； ④兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，錯誤，為假命題； ⑤平行四邊形對角線相等，錯誤，為假命題， 正確的有2個， 故選B． 　 7．滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（　?。? A．三內角之比為1：2：3 B．三邊長的平方之比為1：2：3 C．三邊長之比為3：4：5 D．三內角之比為3：4：5 【考點】勾股定理的逆定理． 【分析】根據三角形內角和定理和勾股定理的逆定理判定是否為直角三角形． 【解答】解：A、根據三角形內角和公式，求得各角分別為30，60，90，所以此三角形是直角三角形； B、三邊符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形； C、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形； D、根據三角形內角和公式，求得各角分別為45，60，75，所以此三角形不是直角三角形； 故選D． 　 8．順次連接對角線相等的四邊形的四邊中點所得到的四邊形一定是（　?。? A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四邊形 【考點】中點四邊形． 【分析】作出圖形，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF=AC，GH=AC，HE=BD，FG=BD，再根據四邊形的對角線相等可可知AC=BD，從而得到EF=FG=GH=HE，再根據四條邊都相等的四邊形是菱形即可得解． 【解答】解：如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點， 根據三角形的中位線定理，EF=AC，GH=AC，HE=BD，FG=BD， 連接AC、BD， ∵四邊形ABCD的對角線相等， ∴AC=BD， 所以，EF=FG=GH=HE， 所以，四邊形EFGH是菱形． 故選C． 　 9．將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設筷子露在杯子外面的長度hcm，則h的取值范圍是（　?。? A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm 【考點】勾股定理的應用． 【分析】如圖，當筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短；當筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長．然后分別利用已知條件根據勾股定理即可求出h的取值范圍． 【解答】解：如圖，當筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長， ∴h=24﹣8=16cm； 當筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短， 在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB==17， ∴此時h=24﹣17=7cm， 所以h的取值范圍是7cm≤h≤16cm． 故選D． 　 10．如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F，連接EF，則△AEF的面積是（　?。? A．4 B．3 C．2 D． 【考點】菱形的性質． 【分析】首先利用菱形的性質及等邊三角形的判定可得判斷出△AEF是等邊三角形，再根據三角函數計算出AE=EF的值，再過A作AM⊥EF，再進一步利用三角函數計算出AM的值，即可算出三角形的面積． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠B=∠D=60， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴BCAE=CDAF，∠BAE=∠DAF=30， ∴AE=AF， ∵∠B=60， ∴∠BAD=120， ∴∠EAF=120﹣30﹣30=60， ∴△AEF是等邊三角形， ∴AE=EF，∠AEF=60， ∵AB=4， ∴BE=2， ∴AE==2， ∴EF=AE=2， 過A作AM⊥EF， ∴AM=AE?sin60=3， ∴△AEF的面積是： EF?AM=23=3． 故選：B． 　 11．直角三角形兩直角邊和為7，面積為6，則斜邊長為（　　） A．5 B． C．7 D． 【考點】一元二次方程的應用；勾股定理． 【分析】可設直角三角形一直角邊為x，則另一直角邊為7﹣x，由面積為6作為相等關系列方程求得x的值，進而求得斜邊的長． 【解答】解：設直角三角形一直角邊為x，則另一直角邊為7﹣x， 根據題意得x（7﹣x）=6， 解得x=3或x=4， 所以斜邊長為． 故選A． 　 12．如圖，周長為16的菱形ABCD中，點E，F分別在AB，AD邊上，AE=1，AF=3，P為BD上一動點，則線段EP+FP的長最短為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【考點】軸對稱-最短路線問題；菱形的性質． 【分析】在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，連接EG，則EG與BD的交點就是P．EG的長就是EP+FP的最小值，據此即可求解． 【解答】解：在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，連接EG，則EG與BD的交點就是P． ∵AE=DG，且AE∥DG， ∴四邊形ADGE是平行四邊形， ∴EG=AD=4． 故選B． 　 二、填空題：每小題4分，共20分 13．菱形的兩條對角線的長分別是8cm和6cm，則菱形的周長是　20cm　，面積是　24cm2?。? 【考點】菱形的性質；勾股定理． 【分析】根據菱形的對角線互相垂直平分，求出對角線的一半，然后利用勾股定理求出菱形的邊長，然后根據周長公式計算即可求解； 根據菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可求解． 【解答】解：∵菱形的兩條對角線的長分別是8cm和6cm， ∴兩條對角線的長的一半分別是4cm和3cm， ∴菱形的邊長為=5cm， ∴菱形的周長是：54=20cm； 面積是86=24cm2． 故答案為：20cm，24cm2． 　 14．已知x，y為實數，且y=++1，則x+y+1=　2016　． 【考點】二次根式有意義的條件． 【分析】先根據二次根式的基本性質：有意義，則a≥0，依此求出x的值，進一步求得y的值，再代入計算即可求解． 【解答】解：∵y=++1， ∴x﹣2014≥0且2014﹣x≥0， ∴x=2014， ∴y=0+0+1=1， ∴x+y+1=2014+1+1=2016． 故答案為：2016． 　 15．如圖，正方形ABCD的對角線交于O點，點O是正方形EFGO的一個頂點，正方形ABCD和正方形EFGO的邊長分別為2cm和2.5cm，兩個正方形重疊的面積是　1?。? 【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質． 【分析】根據題意得出△AMO≌△BNO（ASA），則兩個正方形重疊的面積等于△ABO的面積=S正方形ABCD，進而得出答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形EFGO都是正方形， ∴∠2=∠5=45，∠1+∠3=∠3+∠4=90， ∴∠1=∠4， ∴在△AMO和△BNO中 ， ∴△AMO≌△BNO（ASA）， ∴兩個正方形重疊的面積等于△ABO的面積=S正方形ABCD=1． 故答案為：1． 　 16．△ABC中，AC=6，AB=BC=5，則BC邊上的高AD=　?。? 【考點】勾股定理；等腰三角形的性質． 【分析】先根據題意畫出圖形，由等腰三角形的性質可求出AE的長，根據勾股定理求出BE的長，由三角形的面積公式即可得出AD的長． 【解答】解：如圖所示：過點B作BE⊥AC于點E， ∵AC=6，AB=BC=5， ∴AE=AC=3， ∴在Rt△ABE中，BE===4， ∴AC?BE=BC?AD，即AD===． 故答案為：． 　 17．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點O，且OE=OD，則AP的長為　4.8?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理；矩形的性質． 【分析】由折疊的性質得出EP=AP，∠E=∠A=90，BE=AB=8，由ASA證明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，設AP=EP=x，則PD=GE=6﹣x，DG=x，求出CG、BG，根據勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠D=∠A=∠C=90，AD=BC=6，CD=AB=8， 根據題意得：△ABP≌△EBP， ∴EP=AP，∠E=∠A=90，BE=AB=8， 在△ODP和△OEG中， ， ∴△ODP≌△OEG（ASA）， ∴OP=OG，PD=GE， ∴DG=EP， 設AP=EP=x，則PD=GE=6﹣x，DG=x， ∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x， 根據勾股定理得：BC2+CG2=BG2， 即62+（8﹣x）2=（x+2）2， 解得：x=4.8， ∴AP=4.8； 故答案為：4.8． 　 三、解答題，共64分 18．計算： （1）（﹣）﹣（+） （2）（3﹣2+）2 （3）（﹣）2． 【考點】二次根式的混合運算． 【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后去括號后合并即可； （2）先把括號內各二次根式化為最簡二次根式，再利用除法法則進行計算合并即可； （3）根據完全平方公式和二次根式的性質計算即可． 【解答】解：（1）（﹣）﹣（+） =2﹣﹣﹣ =﹣； （2）（3﹣2+）2 =（6﹣+4）2 =3﹣+2 =4； （3）（﹣）2 =﹣2+ =5﹣． 　 19．先化簡，再求值：2a﹣，其中a=． 【考點】二次根式的化簡求值． 【分析】先對原式化簡，再將a=代入即可解答本題． 【解答】解：2a﹣ =2a﹣， 當a=時，原式=2﹣=2﹣（2﹣）=2﹣2+=3﹣2． 　 20．閱讀下列解題過程： 已知a，b，c為△ABC的三邊長，且滿足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，試判斷△ABC的形狀． 解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，① ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），② ∴c2=a2+b2，③ ∴△ABC為直角三角形．④ 回答下列問題： （1）在上述解題過程中，從哪一步開始出現錯誤？該步的序號為：?、邸?； （2）錯誤的原因為：　除式可能為零?。? （3）請你將正確的解答過程寫下來． 【考點】因式分解的應用． 【分析】（1）（2）等式兩邊都除以a2﹣b2，而a2﹣b2的值可能為零，由等式的基本性質，等式兩邊都乘以或除以同一個不為0的整式，等式仍然成立． （3）根據等式的基本性質和勾股定理，分情況加以討論． 【解答】解：（1）③； （2）除式可能為零； （3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4， ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）， ∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2， 當a2﹣b2=0時，a=b； 當c2=a2+b2時，∠C=90， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 故答案是③，除式可能為零． 　 21．如圖，已知四邊形ABCD中，∠B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積． 【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理． 【分析】連接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的長，利用勾股定理求出AC的長，再由AD及CD的長，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD為直角三角形，根據四邊形ABCD的面積=直角三角形ABC的面積+直角三角形ACD的面積，即可求出四邊形的面積． 【解答】解：連接AC，如圖所示： ∵∠B=90， ∴△ABC為直角三角形， 又∵AB=3，BC=4， ∴根據勾股定理得：AC==5， 又∵CD=12，AD=13， ∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169， ∴CD2+AC2=AD2， ∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90， 則S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB?BC+AC?CD=34+512=36． 故四邊形ABCD的面積是36． 　 22．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結DE． （1）證明DE∥CB； （2）探索AC與AB滿足怎樣的數量關系時，四邊形DCBE是平行四邊形． 【考點】平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 【分析】（1）首先連接CE，根據直角三角形的性質可得CE=AB=AE，再根據等邊三角形的性質可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進而得到∠ADE=∠CDE=30，再有∠DCB=150可證明DE∥CB； （2）當AC=或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．根據（1）中所求得出DC∥BE，進而得到四邊形DCBE是平行四邊形． 【解答】（1）證明：連結CE． ∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點， ∴CE=AB=AE． ∵△ACD是等邊三角形， ∴AD=CD． 在△ADE與△CDE中，， ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE=∠CDE=30． ∵∠DCB=150， ∴∠EDC+∠DCB=180． ∴DE∥CB． （2）解：當AC=或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形， 理由：∵AC=，∠ACB=90， ∴∠B=30， ∵∠DCB=150， ∴∠DCB+∠B=180， ∴DC∥BE，又∵DE∥BC， ∴四邊形DCBE是平行四邊形． 　 23．現有10個邊長為1的正方形，排列形式如圖1，請把它們分割后拼接成一個新的正方形．要求：在圖1中用實線畫出分割線，并在圖2的正方形網格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形． 【考點】作圖—應用與設計作圖． 【分析】因為拼接前圖形的面積為10，所以拼接后圖形的面積也為10，即所求正方形的邊長為，利用勾股定理即可把原圖分割成四個斜邊為的直角三角形和一個正方形，進行拼接即可． 【解答】解：如圖所示： 　 24．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，請你認真閱讀下面關于這個圖的探究片段，完成所提出的問題． （1）探究1：小強看到圖后，很快發(fā)現AE=EF，這需要證明AE和EF所在的兩個三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等，考慮到點E是邊BC的中點，因此可以選取AB的中點M，連接EM（圖1）后嘗試著完成了證明，請你寫出小強的證明過程． （2）探究2：小強繼續(xù)探索，如圖2，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”，其余條件不變，發(fā)現AE=EF仍然成立，請你證明這一結論． （3）探究3：小強進一步還想試試，如圖3，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結論AE=EF是否成立呢？若成立請你完成證明過程給小強看，若不成立請你說明理由． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）取AB的中點M，連接EM，根據同角的余角相等得到∠BAE=∠CEF，證明△MAE≌△CEF即可； （2）在AB上取點P，連接EP，同（1）的方法相似，證明△PAE≌△CEF即可； （3）延長BA至H，使AH=CE，連接HE，證明△HAE≌△CEF即可． 【解答】（1）證明：如圖1，取AB的中點M，連接EM， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠B=∠BCD=90， ∵AM=EC， ∴BM=BE， ∴∠BME=45，∠AME=135， ∵CF是正方形外角的平分線， ∴∠ECF=135， ∵∠AEF=90，∠B=90， ∴∠BAE=∠CEF， 在△MAE和△CEF中， ， ∴△MAE≌△CEF， ∴AE=EF； （2）如圖2，在AB上取點P，連接EP， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠B=∠BCD=90， ∵AP=EC， ∴BP=BE， ∴∠BPE=45，∠APE=135， ∵CF是正方形外角的平分線， ∴∠ECF=135， ∵∠AEF=90，∠B=90， ∴∠BAE=∠CEF， 在△PAE和△CEF中， ， ∴△PAE≌△CEF， ∴AE=EF； （3）如圖3，延長BA至H，使AH=CE，連接HE， ∵BA=BC，AH=CE， ∴BH=BE， ∴∠H=45， ∵CF是正方形外角的平分線， ∴∠ECF=45， ∴∠H=∠ECF， ∵∠AEF=90，∠B=90，∠HAE=∠B+∠BEA，∠CEF=∠AEF+∠BEA， ∴∠HAE=∠CEF， 在△HAE和△CEF中， ， ∴△HAE≌△CEF， ∴AE=EF．