八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷（含解析） 北師大版

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江西省吉安市吉州區(qū)2015-2016學(xué)年八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分。每小題只有一個正確選項） 1．不等式2x﹣1＞3的解集為（　?。? A．x＜2 B．x＞1 C．x＜1 D．x＞2 2．下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標識，在這些汽車標識中，是中心對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 3．分式方程=的解為（　?。? A．x=0 B．x=3 C．x=5 D．x=9 4．如圖所示，在△ABC中，AC=BC，∠C=90，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB于點E，若AB=6cm，則△DEB的周長為（　?。? A．12cm B．8cm C．6cm D．4cm 5．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC交于點E，以點B為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠ABC，把△BAE順時針旋轉(zhuǎn)，得到△BA′E′，連接DA′，若∠ADC=60，∠ADA′=50，則∠DA′E′的大小為（　　） A．130 B．150 C．160 D．170 6．一次函數(shù)y1=kx+b與y2=x+a的圖象如圖，則下列結(jié)論：①當x＜3時，y1＞0；②當x＜3時，y2＞0；③當x＞3時，y1＜y2中，正確的個數(shù)是（　?。? A．0 B．1 C．2 D．3 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 7．如果分式有意義，那么x的取值范圍是______． 8．如圖是由射線AB，BC，CD，DE，EA組成的平面圖形，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______． 9．閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題： 尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線． 已知：線段AB．（如圖1） 小蕓的作法如下： 如圖2 （1）分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點． （2）作直線CD 老師說：“小蕓的作法正確．” 請回答：小蕓的作圖依據(jù)是______． 10．分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab的結(jié)果是______． 11．如圖，四邊形ABCD中，∠A=90，AB=3，AD=3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為______． 12．在同一平面內(nèi)，已知點P在等邊△ABC外部，且與等邊△ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，則∠APC的度數(shù)為______． 　 三、解答題（共5小題，每小題6分，滿分30分） 13．解不等式組，并寫出它的所有整數(shù)解． 請結(jié)合題意填空，完成本題的解答． （1）解不等式①，得______． （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來： （4）原不等式的解集為______． （5）則不等式組的所有整數(shù)解為：______． 14．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC上邊的中線，BE⊥AC于點E，求證：∠CBE=∠BAD． 15．先化簡：（﹣1），再選擇一個恰當?shù)膞值代入求值． 16．在三個整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，請你任意選出兩個進行加（或減）運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解． 17．已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE．求證：DE⊥BE． 　 四、解答題（共4小題，每小題8分，滿分32分） 18．為解決“最后一公里”的交通接駁問題，某市投放了大量公租自行車使用，到2014年底，全市已有公租自行車25000輛，租賃點600個，預(yù)計到2016年底，全市將有公租自行車50000輛，并且平均每個租賃點的公租自行車數(shù)量是2014年底平均每個租賃點的公租自行車數(shù)量的1.2倍，預(yù)計到2016年底，全市將有租賃點多少個？ 19．如圖1，?ABCD中，點O是對角線AC的中點，EF過點O，與AD，BC分別相交于點E，F(xiàn)，GH過點O，與AB，CD分別相交于點G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH． （1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形； （2）如圖2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）． 20．△ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示． （1）作△ABC關(guān)于點C成中心對稱的△A1B1C1． （2）將△A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的△A2B2C2． （3）在x軸上求作一點P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點P的坐標（不寫解答過程，直接寫出結(jié)果） 21．小明到服裝店參加社會實踐活動，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問題： 服裝店準備購進甲乙兩種服裝，甲種每件進價80元，售價120元；乙種每件進價60元，售價90元．計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件． （1）若購進這100件服裝的費用不得超過7500，則甲種服裝最多購進多少件？ （2）在（1）的條件下，該服裝店在6月21日“父親節(jié)”當天對甲種服裝以每件優(yōu)惠a（0＜a＜20）元的價格進行優(yōu)惠促銷活動，乙種服裝價格不變，那么該服裝店應(yīng)如何調(diào)整進貨方案才能獲得最大利潤？ 　 五、解答題（共1小題，滿分10分） 22．（10分）（2015?重慶）如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“和諧數(shù)”．例如：自然數(shù)64746從最高位到個位排出的一串數(shù)字是6，4，7，4，6，從個位到最高位排出的一串數(shù)字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和諧數(shù)”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和諧數(shù)”． （1）請你直接寫出3個四位“和諧數(shù)”，猜想任意一個四位數(shù)“和諧數(shù)”能否被11整除，并說明理由； （2）已知一個能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)個位上的數(shù)字為x（1≤x≤4，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式． 　 六、解答題（共1小題，滿分12分） 23．（12分）（2015?重慶）在△ABC中，AB=AC，∠A=60，點D是線段BC的中點，∠EDF=120，DE與線段AB相交于點E．DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F． （1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長； （2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F．求證：BE+CF=AB； （3）如圖3，將（2）中的∠EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點F，作DN⊥AC于點N，若DN⊥AC于點N，若DN=FN，求證：BE+CF=（BE﹣CF）． 　  2015-2016學(xué)年江西省吉安市吉州區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分。每小題只有一個正確選項） 1．不等式2x﹣1＞3的解集為（　?。? A．x＜2 B．x＞1 C．x＜1 D．x＞2 【考點】解一元一次不等式． 【分析】不等式移項合并，把x形式化為1，即可求出解集． 【解答】解：不等式移項合并得：2x＞4， 解得：x＞2， 故選D 【點評】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵． 　 2．下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標識，在這些汽車標識中，是中心對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形． 【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義和圖形的特點即可求解． 【解答】解：由中心對稱圖形的定義知，繞一個點旋轉(zhuǎn)180后能與原圖重合，只有選項B是中心對稱圖形． 故選：B． 【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念：如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心． 　 3．分式方程=的解為（　?。? A．x=0 B．x=3 C．x=5 D．x=9 【考點】解分式方程． 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x=3x﹣9， 解得：x=9， 經(jīng)檢驗x=9是分式方程的解， 故選D． 【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根． 　 4．如圖所示，在△ABC中，AC=BC，∠C=90，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB于點E，若AB=6cm，則△DEB的周長為（　?。? A．12cm B．8cm C．6cm D．4cm 【考點】等腰直角三角形；角平分線的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC的長，再由角平分線的性質(zhì)得出DE=CD，進而可得出結(jié)論． 【解答】解：∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90，AB=6cm， ∴BC2+AC2=AB2，即2BC2=36，解得BC=AC=3cm． ∵AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB于點E， ∴CD=DE． 在Rt△ACD與Rt△AED中， ∵， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE=AC=3cm， ∴BE=AB﹣AE=（6﹣3）cm， ∴△DEB的周長=（BD+DE）+BE=BC+BE=3+6﹣3=6cm． 故選C． 【點評】本題考查的是等腰直角三角形，先根據(jù)題意得出BC的長是解答此題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC交于點E，以點B為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠ABC，把△BAE順時針旋轉(zhuǎn)，得到△BA′E′，連接DA′，若∠ADC=60，∠ADA′=50，則∠DA′E′的大小為（　?。? A．130 B．150 C．160 D．170 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形對角相等得∠ABC=60，由平行同旁內(nèi)角互補得∠BA′D=130，由旋轉(zhuǎn)得∠BA′E′=30，兩角相加可得結(jié)論． 【解答】解：在?ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠BA′D=180﹣∠ADA′=180﹣50=130， ∵∠ADC=60， ∴∠ABC=∠ADC=60， 在Rt△AEB中，∠BAE=90﹣60=30， 由旋轉(zhuǎn)得：∠BA′E′=∠BAE=30， ∴∠DA′E′=130+30=160； 故選C． 【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)和平行四邊形的性質(zhì)，難度不大，所求的角不能直接求出時，可將此角分成兩個角來求；利用平行四邊形對邊平行和對角相等解決問題；同時，還運用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個三角形全等，則對應(yīng)角相等得出角的大小關(guān)系． 　 6．一次函數(shù)y1=kx+b與y2=x+a的圖象如圖，則下列結(jié)論：①當x＜3時，y1＞0；②當x＜3時，y2＞0；③當x＞3時，y1＜y2中，正確的個數(shù)是（　?。? A．0 B．1 C．2 D．3 【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式． 【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象的位置進行判斷，從函數(shù)圖象來看，就是確定直線y=kx+b是否在在x軸上（或下）方． 【解答】解：根據(jù)圖象可知： ①當x＜3時，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象在x軸上方，故y1＞0； ②當x＜3時，一次函數(shù)y2=x+a的圖象一部分在x軸上方，一部分在x軸下方，故y2＞0或y2=0或y2＜0； ③當x＞3時，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象在一次函數(shù)y2=x+a的圖象的下方，故y1＜y2， 所以正確的有①和③． 故選（C） 【點評】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍． 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 7．如果分式有意義，那么x的取值范圍是　x≠﹣3?。? 【考點】分式有意義的條件． 【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0，列出算式，計算得到答案． 【解答】解：由題意得，x+3≠0， 即x≠﹣3， 故答案為：x≠﹣3． 【點評】本題考查的是分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零． 　 8．如圖是由射線AB，BC，CD，DE，EA組成的平面圖形，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　360?。? 【考點】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】首先根據(jù)圖示，可得∠1=180﹣∠BAE，∠2=180﹣∠ABC，∠3=180﹣∠BCD，∠4=180﹣∠CDE，∠5=180﹣∠DEA，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出五邊形ABCDE的內(nèi)角和是多少，再用1805減去五邊形ABCDE的內(nèi)角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可． 【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 =（180﹣∠BAE）+（180﹣∠ABC）+（180﹣∠BCD）+（180﹣∠CDE）+（180﹣∠DEA） =1805﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA） =900﹣（5﹣2）180 =900﹣540 =360． 故答案為：360． 【點評】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）n邊形的內(nèi)角和=（n﹣2）?180 （n≥3）且n為整數(shù)）．（2）多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠為360． 　 9．閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題： 尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線． 已知：線段AB．（如圖1） 小蕓的作法如下： 如圖2 （1）分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點． （2）作直線CD 老師說：“小蕓的作法正確．” 請回答：小蕓的作圖依據(jù)是　到線段兩端點相等的點在線段的垂直平分線上?。? 【考點】作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】直接利用作圖方法得出C點到A，B點距離相等，D點到A，B點距離相等，即可得出直線CD垂直平分AB． 【解答】解：小蕓的作圖依據(jù)是：到線段兩端點相等的點在線段的垂直平分線上． 故答案為：到線段兩端點相等的點在線段的垂直平分線上． 【點評】此題主要考查了基本作圖，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 　 10．分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab的結(jié)果是　（a﹣2b）2?。? 【考點】因式分解-運用公式法． 【分析】首先去括號，進而合并同類項，再利用完全平方公式分解因式得出即可． 【解答】解：（a﹣b）（a﹣4b）+ab =a2﹣5ab+4b2+ab =a2﹣4ab+4b2 =（a﹣2b）2． 故答案為：（a﹣2b）2． 【點評】此題主要考查了多項式乘法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵． 　 11．如圖，四邊形ABCD中，∠A=90，AB=3，AD=3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為　3　． 【考點】三角形中位線定理；勾股定理． 【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出EF=DN，從而可知DN最大時，EF最大，因為N與B重合時DN最大，此時根據(jù)勾股定理求得DN=DB=6，從而求得EF的最大值為3． 【解答】解：∵ED=EM，MF=FN， ∴EF=DN， ∴DN最大時，EF最大， ∵N與B重合時DN最大， 此時DN=DB==6， ∴EF的最大值為3． 故答案為3． 【點評】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵． 　 12．在同一平面內(nèi)，已知點P在等邊△ABC外部，且與等邊△ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，則∠APC的度數(shù)為　15或30或60或75或150　． 【考點】等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)點P在等邊△ABC外部，且與等邊△ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，找出點P的位置，求得∠APC的度數(shù)即可． 【解答】解：根據(jù)點P在等邊△ABC外部，且與等邊△ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形， 作出如下圖形： 由圖可得：∠AP1C=15，∠AP2C=30，∠AP3C=60，∠AP4C=75，∠AP5C=150． 故答案為：15或30或60或75或150 【點評】本題主要考查了等邊三角形以及等腰三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形進行求解，注意分類思想的運用． 　 三、解答題（共5小題，每小題6分，滿分30分） 13．解不等式組，并寫出它的所有整數(shù)解． 請結(jié)合題意填空，完成本題的解答． （1）解不等式①，得　x≥3?。? （2）解不等式②，得　x≤5?。? （3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來： （4）原不等式的解集為　3≤x≤5?。? （5）則不等式組的所有整數(shù)解為：　3，4，5?。? 【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解；在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組． 【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出即可； （2）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出即可； （3）把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來即可； （4）根據(jù)數(shù)軸求出不等式組的解集即可； （5）根據(jù)不等式組的解集求出不等式組的整數(shù)解即可． 【解答】解： （1）解不等式①得：x≥3， 故答案為：x≥3； （2）解不等式②得：x≤5， 故答案為：x≤5； （3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示為：； （4）所以原不等式組的解集為3≤x≤5， 故答案為：3≤x≤5； （5）不等式組的所有整數(shù)解為3，4，5， 故答案為：3，4，5． 【點評】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，不等式組的整數(shù)解的應(yīng)用，能根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵． 　 14．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC上邊的中線，BE⊥AC于點E，求證：∠CBE=∠BAD． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CAD=∠BAD，根據(jù)同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根據(jù)等量關(guān)系得到∠CBE=∠BAD． 【解答】證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90，∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD． 【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及余角的知識，解題要注意等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合． 　 15．先化簡：（﹣1），再選擇一個恰當?shù)膞值代入求值． 【考點】分式的化簡求值． 【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把x=2代入計算即可求出值． 【解答】解：原式=（﹣）? =? =﹣x+1， 當x=2時，原式=﹣2+1=﹣1． 【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵． 　 16．在三個整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，請你任意選出兩個進行加（或減）運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解． 【考點】因式分解的應(yīng)用；整式的加減． 【分析】本題考查整式的加法運算，要先去括號，然后合并同類項，最后進行因式分解．本題答案不唯一． 【解答】解：方法一：（x2+2xy）+x2=2x2+2xy=2x（x+y）； 方法二：（y2+2xy）+x2=（x+y）2； 方法三：（x2+2xy）﹣（y2+2xy）=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）； 方法四：（y2+2xy）﹣（x2+2xy）=y2﹣x2=（y+x）（y﹣x）． 【點評】本題考查了整式的加減，整式的加減運算實際上就是去括號、合并同類項，因式分解時先考慮提取公因式，沒有公因式的再考慮運用完全平方公式或平方差公式進行因式分解． 　 17．已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE．求證：DE⊥BE． 【考點】平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出OD=OB，再根據(jù)OE=OB，得出OE=OB=OD，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得∠OEB+∠OED=90，即可得出結(jié)論． 【解答】證明：∵平行四邊形ABCD的對角線相交于點O， ∴OD=OB， 又∵OE=OB， ∴OE=OB=OD， ∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED， 又∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180， ∴∠OEB+∠OED=90， ∴DE⊥BE． 【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是運用三角形內(nèi)角和定理進行計算，求得∠BED的度數(shù)． 　 四、解答題（共4小題，每小題8分，滿分32分） 18．為解決“最后一公里”的交通接駁問題，某市投放了大量公租自行車使用，到2014年底，全市已有公租自行車25000輛，租賃點600個，預(yù)計到2016年底，全市將有公租自行車50000輛，并且平均每個租賃點的公租自行車數(shù)量是2014年底平均每個租賃點的公租自行車數(shù)量的1.2倍，預(yù)計到2016年底，全市將有租賃點多少個？ 【考點】分式方程的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)租賃點的公租自行車數(shù)量變化表示出2014年和2016年平均每個租賃點的公租自行車數(shù)量，進而得出等式求出即可． 【解答】解：設(shè)到2016年底，全市將有租賃點x個，根據(jù)題意可得：1.2=， 解得：x=1000， 經(jīng)檢驗得：x=1000是原方程的根， 答：到2016年底，全市將有租賃點1000個． 【點評】此題主要考查了分式的方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵． 　 19．如圖1，?ABCD中，點O是對角線AC的中點，EF過點O，與AD，BC分別相交于點E，F(xiàn)，GH過點O，與AB，CD分別相交于點G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH． （1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形； （2）如圖2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）． 【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠EAO=∠FCO，證出△OAE≌△OCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到結(jié)論； （2）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得到結(jié)論． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， 在△OAE與△OCF中， ∴△OAE≌△OCF， ∴OE=OF， 同理OG=OH， ∴四邊形EGFH是平行四邊形； （2）解：與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH； ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∵EF∥AB，GH∥BC， ∴四邊形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH為平行四邊形， ∵EF過點O，GH過點O， ∵OE=OF，OG=OH， ∴?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH，?ACHD它們面積=?ABCD的面積， ∴與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH． 【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 　 20．△ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示． （1）作△ABC關(guān)于點C成中心對稱的△A1B1C1． （2）將△A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的△A2B2C2． （3）在x軸上求作一點P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點P的坐標（不寫解答過程，直接寫出結(jié)果） 【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；軸對稱-最短路線問題；作圖-平移變換． 【分析】（1）延長AC到A1，使得AC=A1C1，延長BC到B1，使得BC=B1C1，即可得出圖象； （2）根據(jù)△A1B1C1將各頂點向右平移4個單位，得出△A2B2C2； （3）作出A1關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′C2，交x軸于點P，再利用相似三角形的性質(zhì)求出P點坐標即可． 【解答】解；（1）如圖所示： （2）如圖所示： （3）如圖所示：作出A1關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′C2，交x軸于點P， 可得P點坐標為：（，0）． 【點評】此題主要考查了圖形的平移與旋轉(zhuǎn)和相似三角形的性質(zhì)等知識，利用軸對稱求最小值問題是考試重點，同學(xué)們應(yīng)重點掌握． 　 21．小明到服裝店參加社會實踐活動，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問題： 服裝店準備購進甲乙兩種服裝，甲種每件進價80元，售價120元；乙種每件進價60元，售價90元．計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件． （1）若購進這100件服裝的費用不得超過7500，則甲種服裝最多購進多少件？ （2）在（1）的條件下，該服裝店在6月21日“父親節(jié)”當天對甲種服裝以每件優(yōu)惠a（0＜a＜20）元的價格進行優(yōu)惠促銷活動，乙種服裝價格不變，那么該服裝店應(yīng)如何調(diào)整進貨方案才能獲得最大利潤？ 【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用． 【分析】（1）設(shè)購進甲種服裝x件，根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次不等式，解不等式得出結(jié)論； （2）找出利潤w關(guān)于購進甲種服裝x之間的關(guān)系式，分a的情況討論． 【解答】解：（1）設(shè)購進甲種服裝x件，由題意可知： 80x+60（100﹣x）≤7500，解得：x≤75． 答：甲種服裝最多購進75件． （2）設(shè)總利潤為w元，因為甲種服裝不少于65件，所以65≤x≤75， w=（120﹣80﹣a）x+（90﹣60）（100﹣x）=（10﹣a）x+3000， 方案1：當0＜a＜10時，10﹣a＞0，w隨x的增大而增大， 所以當x=75時，w有最大值，則購進甲種服裝75件，乙種服裝25件； 方案2：當a=10時，所有方案獲利相同，所以按哪種方案進貨都可以； 方案3：當10＜a＜20時，10﹣a＜0，w隨x的增大而減少， 所以當x=65時，w有最大值，則購進甲種服裝65件，乙種服裝35件． 【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用與解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次不等式；（2）找出利潤w關(guān)于購進甲種服裝x的關(guān)系式，由函數(shù)的性質(zhì)分a的情況討論．本題屬于中檔題，（1）難度不大，（2）需要分a的情況討論． 　 五、解答題（共1小題，滿分10分） 22．（10分）（2015?重慶）如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“和諧數(shù)”．例如：自然數(shù)64746從最高位到個位排出的一串數(shù)字是6，4，7，4，6，從個位到最高位排出的一串數(shù)字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和諧數(shù)”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和諧數(shù)”． （1）請你直接寫出3個四位“和諧數(shù)”，猜想任意一個四位數(shù)“和諧數(shù)”能否被11整除，并說明理由； （2）已知一個能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)個位上的數(shù)字為x（1≤x≤4，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式． 【考點】因式分解的應(yīng)用；規(guī)律型：數(shù)字的變化類；函數(shù)關(guān)系式． 【分析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”寫出四個四位數(shù)的“和諧數(shù)”；設(shè)任意四位數(shù)“和諧數(shù)”形式為：abba（a、b為自然數(shù)），則這個四位數(shù)為a103+b102+b10+a=1001a+110b，利用整數(shù)的整除得到=91a+10b，由此可判斷任意四位數(shù)“和諧數(shù)”都可以被11整除； （2）設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：xyx，則這個三位數(shù)為x?102+y?10+x=101x+10y，由于=9x+y+，根據(jù)整數(shù)的整除性得到2x﹣y=0，于是可得y與x的關(guān)系式． 【解答】解：（1）四位“和諧數(shù)”：1221，1331，1111，6666； 任意一個四位“和諧數(shù)”都能被11整數(shù)，理由如下： 設(shè)任意四位數(shù)“和諧數(shù)”形式為：abba（a、b為自然數(shù)），則a103+b102+b10+a=1001a+110b， ∵=91a+10b ∴四位數(shù)“和諧數(shù)”abba能被11整數(shù)； ∴任意四位數(shù)“和諧數(shù)”都可以被11整除 （2）設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：xyx，則x?102+y?10+x=101x+10y， =9x+y+， ∵1≤x≤4，101x+10y能被11整除， ∴2x﹣y=0， ∴y=2x（1≤x≤4）． 【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡化計算問題．靈活利用整數(shù)的整除性． 　 六、解答題（共1小題，滿分12分） 23．（12分）（2015?重慶）在△ABC中，AB=AC，∠A=60，點D是線段BC的中點，∠EDF=120，DE與線段AB相交于點E．DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F． （1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長； （2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F．求證：BE+CF=AB； （3）如圖3，將（2）中的∠EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點F，作DN⊥AC于點N，若DN⊥AC于點N，若DN=FN，求證：BE+CF=（BE﹣CF）． 【考點】幾何變換綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義． 【分析】（1）如圖1，易求得∠B=60，∠BED=90，BD=2，然后運用三角函數(shù)的定義就可求出BE的值； （2）過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，易證△MBD≌△NCD，則有BM=CN，DM=DN，進而可證到△EMD≌△FND，則有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=BC=AB； （3）過點D作DM⊥AB于M，如圖3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，從而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．然后在Rt△BMD中，運用三角函數(shù)就可得到DM=BM，即BE+CF=（BE﹣CF）． 【解答】解：（1）如圖1， ∵AB=AC，∠A=60， ∴△ABC是等邊三角形， ∴∠B=∠C=60，BC=AC=AB=4． ∵點D是線段BC的中點， ∴BD=DC=BC=2． ∵DF⊥AC，即∠AFD=90， ∴∠AED=360﹣60﹣90﹣120=90， ∴∠BED=90， ∴BE=BDcos∠B=2cos60=2=1； （2）過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2， 則有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90． ∵∠A=60，∴∠MDN=360﹣60﹣90﹣90=120． ∵∠EDF=120，∴∠MDE=∠NDF． 在△MBD和△NCD中， ， ∴△MBD≌△NCD， ∴BM=CN，DM=DN． 在△EMD和△FND中， ， ∴△EMD≌△FND， ∴EM=FN， ∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN =2BM=2BDcos60=BD=BC=AB； （3）過點D作DM⊥AB于M，如圖3． 同（1）可得：∠B=∠ACD=60． 同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN． ∵DN=FN，∴DM=DN=FN=EM， ∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM， BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM． 在Rt△BMD中，DM=BM?tanB=BM， ∴BE+CF=（BE﹣CF）． 【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值等知識，通過證明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解決本題的關(guān)鍵．