《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題5 突破點(diǎn)13 直線與圓 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題5 突破點(diǎn)13 直線與圓 理（6頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
突破點(diǎn)13 直線與圓
提煉1
圓的方程
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2＋y2＝r2.
(2)圓的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以為圓心，為半徑的圓.
提煉2
求解直線與圓相關(guān)問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
(1)三個(gè)定理：切線的性質(zhì)定理，切線長定理，垂徑定理．
(2)兩個(gè)公式：點(diǎn)到直線的距離公式d＝，弦長公式|AB|＝2(弦心距d).
提煉3
求距離最值問題的本質(zhì)
(1)圓外一點(diǎn)P到圓C上的點(diǎn)距離的最大值為|PC|＋r，最小值為|PC|－r，其中r為圓的半徑．
(2)圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是d＋r，最小距離是d－r，其中d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑．
(3)過圓內(nèi)一點(diǎn)，直徑是最長的弦，與此直徑垂直的弦是最短的弦．
回訪1 圓的方程
1．(2015全國卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
2＋y2＝ 由題意知a＝4，b＝2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，－2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(diǎn)(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點(diǎn)．設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋y2＝r2(0
0)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝.]
2．(2014山東高考)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________________．
(x－2)2＋(y－1)2＝4 設(shè)圓C的圓心為(a，b)(b>0)，由題意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.
∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.]
回訪2 直線與圓的相關(guān)問題
3．(2016全國甲卷)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝( )
A．－ B．－
C. D．2
A 由圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圓心坐標(biāo)為(1,4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離d＝＝1，解得a＝－.]
4．(2016全國乙卷)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則圓C的面積為________．
4π 圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圓心C(0，a)，半徑r＝，|AB|＝2，點(diǎn)C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圓C的面積為π22＝4π.]
熱點(diǎn)題型1 圓的方程
題型分析：求圓的方程是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，常用的方法是待定系數(shù)法或幾何法.
(1)(2016黃山一模)已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，且被x軸分成的兩段弧長之比為1∶2，則圓C的方程為________．
(2)(2016鄭州二模)已知⊙M的圓心在第一象限，過原點(diǎn)O被x軸截得的弦長為6，且與直線3x＋y＝0相切，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
(1)x2＋2＝ (2)(x－3)2＋(y－1)2＝10 (1)因?yàn)閳AC關(guān)于y軸對稱，所以圓C的圓心C在y軸上，可設(shè)C(0，b)，
設(shè)圓C的半徑為r，則圓C的方程為x2＋(y－b)2＝r2.
依題意，得解得
所以圓C的方程為x2＋2＝.
(2)法一：設(shè)⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a＞0，b＞0，r＞0)，由題意知
解得故⊙M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.
法二：因?yàn)閳AM過原點(diǎn)，故可設(shè)方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，又被x軸截得的弦長為6且圓心在第一象限，則2＝32，故D＝－6，與3x＋y＝0相切，則＝，即E＝D＝－2，因此所求方程為x2＋y2－6x－2y＝0.
故⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.]
求圓的方程的兩種方法
1．幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程．
2．代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．
變式訓(xùn)練1] (1)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x＝－2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2x－y－4＝0相切，則圓M的方程為( )
A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4
C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4
(2)(2016長春一模)拋物線y2＝4x與過其焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，則過M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
(1)B (2)(x－1)2＋y2＝4 (1)由已知，可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a,0)，a＞－2，半徑為r，得
解得滿足條件的一組解為
所以圓M的方程為(x＋1)2＋y2＝4.故選B.
(2)由題意知，A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，
△AMB是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4.]
熱點(diǎn)題型2 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
題型分析：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，解決的方法主要有幾何法和代數(shù)法.
(1)(2016全國丙卷)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)．若|AB|＝2，則|CD|＝________.
4 由直線l：mx＋y＋3m－＝0知其過定點(diǎn)(－3，)，圓心O到直線l的距離為d＝.
由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直線l的斜率為－m＝，所以直線l的傾斜角α＝.
畫出符合題意的圖形如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥BD，則∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2＝4.]
(2)(2016開封一模)如圖131，已知圓G：(x－2)2＋y2＝r2是橢圓＋y2＝1的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓，其中A為橢圓的左頂點(diǎn)．
(1)求圓G的半徑r；
(2)過點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，證明：直線EF與圓G相切．
圖131
解] (1)設(shè)B(2＋r，y0)，過圓心G作GD⊥AB于D，BC交長軸于H.
由＝得＝，
即y0＝， ?、?分
而B(2＋r，y0)在橢圓上，
y＝1－＝＝－， ?、?分
由①②式得15r2＋8r－12＝0，
解得r＝或r＝－(舍去).5分
(2)證明：設(shè)過點(diǎn)M(0,1)與圓(x－2)2＋y2＝相切的直線方程為y＝kx＋1，③
則＝，即32k2＋36k＋5＝0，④
解得k1＝，k2＝.
將③代入＋y2＝1得(16k2＋1)x2＋32kx＝0，則異于零的解為x＝－.8分
設(shè)F(x1，k1x1＋1)，E(x2，k2x2＋1)，則
x1＝－，x2＝－，9分
則直線FE的斜率為kEF＝＝＝，
于是直線FE的方程為y＋－1＝.
即y＝x－，則圓心(2,0)到直線FE的距離d＝＝，故結(jié)論成立.12分
1．直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路
(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量．研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較．
(2)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式，過圓外一點(diǎn)求解切線段長可轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點(diǎn)的距離，利用勾股定理計(jì)算．
2．弦長的求解方法
(1)根據(jù)平面幾何知識構(gòu)建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l＝2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)．
(2)根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為直線的斜率)．
(3)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解．
變式訓(xùn)練2] (1)(2016哈爾濱一模)設(shè)直線l：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，則直線l的方程為________.
【導(dǎo)學(xué)號：85952047】
y＝x＋1 直線l恒過定點(diǎn)M(0,1)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4，易知點(diǎn)M(0,1)在圓C的內(nèi)部，依題意當(dāng)l⊥CM時(shí)直線l被圓C截得的弦最短，于是k＝－1，解得k＝1，所以直線l的方程為y＝x＋1.]
(2)(2016泉州一模)已知點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N距離的倍．
①求曲線E的方程；
②已知m≠0，設(shè)直線l1：x－my－1＝0交曲線E于A，C兩點(diǎn)，直線l2：mx＋y－m＝0交曲線E于B，D兩點(diǎn)．C，D兩點(diǎn)均在x軸下方．當(dāng)CD的斜率為－1時(shí)，求線段AB的長．
解]?、僭O(shè)曲線E上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，
由題意，＝，2分
整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即
(x－2)2＋y2＝3為所求.4分
②由題知l1⊥l2，且兩條直線均恒過點(diǎn)N(1,0)，設(shè)曲線E的圓心為E，則E(2,0)，線段CD的中點(diǎn)為P，則直線EP：y＝x－2，設(shè)直線CD：y＝－x＋t，由解得點(diǎn)P.7分
由圓的幾何性質(zhì)，
|NP|＝|CD|＝，
而|NP|2＝2＋2，|ED|2＝3，
|EP|2＝2，∴2＋2＝3－2，解得t＝0或t＝3，
又C，D兩點(diǎn)均在x軸下方，直線CD：y＝－x.
由解得或
9分
設(shè)C，D，
由消去y得：
(u2＋1)x2－2(u2＋2)x＋u2＋1＝0，(*)
方程(*)的兩根之積為1，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)
xA＝2＋，又因?yàn)辄c(diǎn)C在直線l1：x－my－1＝0上，解得m＝＋1，11分
直線l1：y＝(－1)(x－1)，所以A(2＋，1)，
同理可得，B(2－，1)，所以線段AB的長為2.12分
高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題5 突破點(diǎn)13 直線與圓 理
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