高一數(shù)學人教A版必修2課件：2.1.1 《平面》

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,歡迎進入數(shù)學課堂,第二章點?直線?平面之間的位置關系2.1空間點?直線?平面之間的位置關系2.1.1平面,1.初步理解平面的概念,掌握平面的表示法.2.了解并會用文字語言?圖形語言?符號語言表示點?線?面的位置關系.3.掌握平面的基本性質的三種語言表示,初步掌握性質的簡單運用.,1.公理1:如果一條直線上的______在一個平面內,那么這條直線在此平面內.2.公理2:過不在一條直線上的三點,________一個平面.3.公理3:如果兩個不重合的平面有______公共點,那么它們有且只有______過該點的公共直線.,兩點,有且只有,一個,一條,1.準確理解平面的概念“平面”是一個只給出描述而未下定義的最基本的原始概念,對“平面”這一概念應從以下三個方面注意理解:①“平面”是平的;②“平面”無厚度;③“平面”是無邊界的,可以向四面八方無限延展.這就是人們常說的平面的“無限延展性”.,2.空間圖形的畫法(1)關于平面的畫法要注意以下幾點①通常畫的平行四邊形表示的是整個平面.需要時,可以把它延展開來,如同在平面幾何中畫直線一樣,直線是可以無限延伸的,但在畫直線時卻只畫一條線段來表示.②加“通?！倍值囊馑际且驗橛袝r根據(jù)需要也可用其他平面圖形表示:如用三角形?矩形?圓等平面圖形來表示平面.,③畫表示平面的平行四邊形時,通常把它的銳角畫成45,橫邊畫成是鄰邊的兩倍.④畫表示豎直平面的平行四邊形時,通常把它的一組對邊畫成鉛垂線.,(2)畫空間圖形時,為什么規(guī)定:看不見的地方要畫虛線或不畫呢如果所有線都畫實線,則同一個圖形可以想象出不同的形狀.如圖(甲),可以想象出兩種不同的圖形形狀.①想象點A在平面BCD里面,我們看不見;②再想象點A被慢慢拉到外面來,于是,點A又在平面BCD的外面.這樣,就得出兩種不同的圖形了,而圖(乙)則不會產生上述感覺.同時也符合人的視覺效果原理:近實遠虛.,3.準確理解公理的含義公理1是判定直線在平面內的依據(jù).證明一條直線在某一平面內,只需證明這條直線上有兩個不同的點在該平面內.“直線在平面內”是指“直線上的所有點都在平面內”.公理2的作用是確定平面,是把空間問題化歸成平面問題的重要依據(jù).并可用來證“兩個平面重合”.特別要注意公理2中“不在一條直線上的三個點”這一條件.,面重合”.特別要注意公理2中“不在一條直線上的三個點”這一條件.“有且只有”的含義可以分開來理解.“有”是說明“存在”,“只有一個”說明“唯一”,所以“有且只有一個”,也可以說成“存在”并且“唯一”,與確定同義.推論1:經(jīng)過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面;推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面;推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.,圖形表示如下圖,公理3的作用是判定兩個平面相交及證明點在直線上.,例1:用符號語言及文字語言描述下圖,并畫出平面ABC和平面α及β的交線.分析:要畫出兩個平面的交線,根據(jù)公理1和公理2,只要找出它們的兩個公共點,顯然平面ABC和α已有兩個公共點A\,B,延長AB交l于D,D∈平面β,即為平面ABC與平面β的第二個交點.,解:如圖,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∥l,C∈β,A、B、C均不在l上.作法:連結AB,并延長交l于D,連結AC、CD,則平面ABC與平面α、β的交線AD\,DC即為所求.,規(guī)律技巧:本題給出了畫兩個平面交線的一般方法,即找出它們的兩個公共點,轉化為找同一平面內兩條直線的交點.,變式訓練1:判斷下列說法是否正確?并說明理由.(1)平面的形狀是平行四邊形;(2)任何一個平面圖形都是一個平面;(3)圓和平面多邊形都可以表示平面;(4)因為ABCD的面積大于A′B′C′D的面積,所以平面ABCD大于平面A′B′C′D′;(5)用平行四邊形表示平面,以平行四邊形的四條邊作為平面的邊界線.,解:(1)不正確.平面是無限延展的,我們只是畫平行四邊形表示平面.(2)不正確.平面圖形和平面是兩個完全不同的概念.平面圖形有大小?有面積,可以度量.而平面具有無限延展性,類似于直線可無限延伸,不可度量.(3)正確.圓和平面多邊形都是平面圖形,可以用它們表示平面.(4)不正確.平面是無限延展的,不論大小,不計面積.(5)不正確.平面是無限延展的,無邊界.,題型二多線共面問題例2:證明兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內.已知:如圖所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求證:直線l1?l2?l3在同一平面內.,分析:證明多線共面,一般先選取兩條直線構造一個平面,然后證明其他直線都在這個平面上.,證明:證法1:(同一法)∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又∵l2α,∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3,C∈l3,∴l(xiāng)3α.∴直線l1?l2?l3在同一平面內.,證法2:(重合法)∵l1∩l2=A,∴l(xiāng)1?l2確定一個平面α.∵l2∩l3=B,∴l(xiāng)2?l3確定一個平面β.∵A∈l2,l2α,∴A∈α.∵A∈l2,l2β,∴A∈β.同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共線的三個點A?B?C既在平面α內,又在平面β內.∴平面α和β重合,即直線l1?l2?l3在同一平面內.,規(guī)律技巧:(1)同一法證明直線共面的步驟:①證明其中兩條直線平行或相交,即這兩條直線確定一個平面α;②證明其余直線上均有兩點也在平面α內,即其余直線也在平面α內,也就是證明了這些直線共面.(2)重合法證明直線共面的步驟:①證明這些直線確定若干個平面;②利用公理及其推論證明這些平面重合,從而證明了這些直線共面.,變式訓練2:求證:如果一條直線和兩條平行直線都相交,那么這三條直線共面.已知:a∥b,a∩l=A,b∩l=B,求證:直線a?b?l共面.,證明:如圖所示.∵a∥b,∴直線a?b確定一個平面α.∵a∩l=A,∴A∈a,A∈α.又b∩l=B,∴B∈b,B∈α.又∵A∈l,B∈l,∴l(xiāng)α.∴直線a?b?l共面.,題型三多點共線問題例3:如圖,△ABC在平面α外,它的三邊所在的直線分別交平面α于P、Q\、R,求證:P、Q、R三點共線.,分析:由公理3知,兩個平面相交有一條公共直線,要證P?Q?R三點共線,只要證明這三點是這兩個平面的公共點即可.,證明:∵AB∩α=P,AB面ABC,∴P∈面ABC,P∈α,∴P在平面ABC與平面α的交線上.同理可證Q和R均在這條交線上.∴P\,Q\,R三點共線.,規(guī)律技巧:解決點共線或線共點的問題是平面性質的應用.解決點共線一般地先確定一條直線,再用平面的基本性質,證明其他的點也在該直線上.直線共點問題的步驟:一先說明直線相交,二讓交點也在其他直線上.,變式訓練3:如圖,已知平面α?β相交于l,設梯形ABCD中,AD∥BC,且ABα,CDβ.求證:AB?CD?l相交于一點.,證明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB?DC是梯形ABCD的兩腰,∴AB?DC必相交于一點,設AB∩DC=M,又∵ABα,CDβ,∴M∈α,且M∈β,∴M∈α∩β.又∵α∩β=l,∴M∈l,∴AB?CD?l相交于一點.,易錯探究,例4:已知:A?B?C?D?E五點,其中A?B?C?D共面,B?C?D?E共面,則A?B?C?D?E是否共面?錯解:∵A?B?C?D共面,∴點A在B?C?D確定的平面內,又點B?C?D?E共面,∴點E也在B?C?D確定的平面內.∴A?E都在B?C?D所確定的平面內.即點A?B?C?D?E五點一定共面.,錯因分析:錯解中,誤認為B?C?D三點確定一個平面,而題設中并沒有說明B?C?D三點確定一個平面.因此,當B?C?D三點共線時,A?B?C?D?E不一定共面.,正解:A?B?C?D?E五點不一定共面.(1)當B?C?D三點不共線時,由公理可知B?C?D三點確定一個平面α,由題設知A∈α,E∈α,故A?B?C?D?E五點共面于α;(2)當B?C?D三點共線時,設共線于l,若A∈l,E∈l,則A?B?C?D?E五點共面;若A?E有且只有一點在l上,則A?B?C?D?E五點共面;若A?E都不在l上,則A?B?C?D?E五點可能不共面.綜上所述,在題設條件下,A?B?C?D?E五點不一定共面.,基礎強化1.經(jīng)過同一直線上的3個點的平面()A.有且只有一個B.有且只有3個C.有無數(shù)個D.不存在答案:C,2.用符號表示“點A在直線l上,l在平面α外”,正確的是()答案:B,3.已知點A,直線a,平面α.以上命題中真命題的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案:A,4.平面α∩平面β=l,點A∈α,B∈α,C∈β,且Cl,又AB∩l=R,過A、B、C三點確定的平面記作γ,則β∩γ是()A.直線ACB.直線BCC.直線CRD.以上都不對,答案:C,5.給出下列命題:(1)和直線a都相交的兩條直線在同一個平面內;(2)三條兩兩相交的直線在同一平面內;(3)有三個不同公共點的兩個平面重合;(4)兩兩平行的三條直線確定三個平面.其中正確命題的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案:A,6.下列命題①三個點確定一個平面②一條直線和一點確定一個平面③兩條相交直線確定一個平面④兩條平行線確定一個平面⑤若四點不共面,則必有三點不共線.其中正確命題是________.,③④⑤,解析:①不正確,當三點共線時不成立.②不正確.當點在直線上時,不成立.③正確.兩條相交直線,必有三個點不共線,由公理2知,正確.④正確,理由同③.⑤正確,反證法:若有三點共線l,則l與第四個點確定一個平面α.∴四點共面,與已知相矛盾.,7.三條直線相交于一點,可確定的平面有________個.答案:1或3,8.三個平面α、β、γ兩兩相交于三條直線,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,已知直線a和b不平行.求證:a、b、c三條直線必過同一點.分析:先證a、b交于一點P,再證點P在直線c上,主要是利用公理2.來證明直線共點的問題.,證明:∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴aγ,bγ.∵a、b不平行,∴a、b必相交,設a∩b=P,∵P∈a,aβ,∴P∈β.∵P∈b,bα,∴P∈α.而α∩β=c,∴P∈c.∴a、b、c相交于一點P,即a、b、c三條直線過同一點.,能力提升,9.若空間中有四個點,則“這四個點中有三點在同一直線上”和“這四個點在同一平面上”能不能互相推導.解:(1)“這四個點中有三點在同一直線上”有兩種情況:①第四個點在共線三點所在的直線上,可推出“這四個點在同一平面上”;②第四個點不在共線三點所在的直線上,可推出“這四點在唯一的一個平面內”.(2)“四個點在同一平面上”可能推出“兩點分別在兩條相交或平行的直線上”,不一定能推出“這四個點中有三點在同一直線上.”,10.一條直線與三條平行直線都相交,求證:這四條直線共面.分析:如果一條直線與兩條平行直線都相交,則完全仿照變式2的證法證明,可是第四條直線為何在確定的平面內,顯然靠公理1是行不通的,本題采用平面重合法證明.,證明:如圖,易證a\,b\,d在同一平面α內,b\,c\,d在同一平面β內.∵α與β有公共的相交直線b\,d.即α\,β是相交直線b\,d確定的平面,∴α與β重合.∴a\,b\,c\,d四線共面.,11.在空間內,可以確定一個平面的條件是()A.兩兩相交的三條直線B.三條直線,其中的一條與另外兩條直線分別相交C.三個點D.三條直線,它們兩兩相交,但不交于同一點E.兩條直線答案:D,12.若三個平面兩兩相交,且三條交線互相平行,則這三個平面把空間分成()A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分解析:如下圖所示,三個平面可把空間分成7部分.答案:C,同學們,來學校和回家的路上要注意安全,同學們,來學校和回家的路上要注意安全,