《自動(dòng)控制原理》(第二版)第二章數(shù)學(xué)模型線性化.ppt

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Part2.2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,,,2.2.2.12.2.2.22.2.2.3,,常見非線性模型線性化問題的提出線性化方法,Example,,,,液面系統(tǒng),單擺,,,,Example,液面系統(tǒng),單擺,,,單變量,,多變量,,2.2.2.1常見非線性模型,數(shù)學(xué)物理方程中的線性方程：未知函數(shù)項(xiàng)或未知函數(shù)的（偏）導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)不依賴于自變量,針對(duì)時(shí)間變量的常微分方程：線性方程指滿足疊加原理,疊加原理：可加性齊次性,不滿足以上條件的方程，就成為非線性方程。,1.幾種常見的非線性,常見非線性情況,飽和非線性,間隙非線性,,單擺(非線性),是未知函數(shù)的非線性函數(shù)，所以是非線性模型。,,,液面系統(tǒng)(非線性),,,是未知函數(shù)h的非線性函數(shù)，所以是非線性模型。,有條件存在，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性；非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的。,2.2.2.2線性化問題的提出,可以應(yīng)用疊加原理，以及應(yīng)用線性理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。,,線性系統(tǒng)缺點(diǎn)：,線性系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)：,2.2.2.3線性化的方法非線性微分方程的求解很困難。在一定條件下，可以近似地轉(zhuǎn)化為線性微分方程，可以使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的分析大為簡(jiǎn)化。實(shí)踐證明，這樣做能夠圓滿地解決許多工程問題，有很大的實(shí)際意義。（1）忽略弱非線性環(huán)節(jié)如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)非線性工作范圍以內(nèi)，則它們對(duì)系統(tǒng)的影響很小，就可以忽略。,（2）偏微法,,以微小偏差法為基礎(chǔ)，運(yùn)動(dòng)方程中各變量就不是它們的絕對(duì)值，而是它們對(duì)穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)的偏差。,增量（微小偏差法）,假設(shè)：在控制系統(tǒng)整個(gè)調(diào)節(jié)過程中，所有變量與穩(wěn)態(tài)值之間只會(huì)產(chǎn)生足夠微小的偏差。,非線性方程?局部線性增量方程,,偏微法（小偏差法，切線法，增量線性化法）偏微法基于一種假設(shè)，就是在控制系統(tǒng)的整個(gè)調(diào)節(jié)過程中，各個(gè)元件的輸入量和輸出量只是在平衡點(diǎn)附近作微小變化。這一假設(shè)是符合許多控制系統(tǒng)實(shí)際工作情況的，因?yàn)閷?duì)閉環(huán)控制系統(tǒng)而言，一有偏差就產(chǎn)生控制作用來減小或消除偏差，所以各元件只工作在平衡點(diǎn)附近。,A(x0,y0)平衡點(diǎn)，函數(shù)在平衡點(diǎn)處連續(xù)可微，則可將函數(shù)在平衡點(diǎn)附近展開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)忽略二次以上的各項(xiàng)，上式可以寫成這就是非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型,,,,,,（3）平均斜率法如果一非線性元件輸入輸出關(guān)系如圖所示,此時(shí)不能用偏微分法，可用平均斜率法得線性化方程為,,,(死區(qū))電機(jī),注意：這幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，對(duì)于某些嚴(yán)重的非線性，如,不能作線性化處理，一般用相平面法及描述函數(shù)法進(jìn)行分析。,增量方程,增量方程的數(shù)學(xué)含義將參考坐標(biāo)的原點(diǎn)移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點(diǎn)上，對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的起始點(diǎn)，這時(shí)，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。,,多變量函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)法,,,單變量函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)法,函數(shù)y=f(x)在其平衡點(diǎn)（x0,y0）附近的泰勒級(jí)數(shù)展開式為：,略去含有高于一次的增量?x=x-x0的項(xiàng)，則：,,注：非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。注：y=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程,,單擺模型(線性化),,液面系統(tǒng)線性化,,,,,常數(shù)！,練習(xí)題：水位自動(dòng)控制系統(tǒng)，輸入量為Q1,輸出量為水位H，求水箱的微分方程，水箱的橫截面積為C，R表示流阻。,解：dt時(shí)間中水箱內(nèi)流體增加（或減少）CdH應(yīng)與水總變化量（Q1-Q2）dt相等。即：CdH=（Q1-Q2）dt又據(jù)托里拆利定理，出水量與水位高度平方根成正比，則有其中為比例系數(shù)。,,,,顯然這個(gè)式子為非線性關(guān)系，在工作點(diǎn)（Q20,H0）附近進(jìn)行臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開。取一次項(xiàng)得：為流阻。于是水箱的線性化微分方程為,