人教版九年級上冊 期中試卷（3）

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期中試卷（3） 一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 1．（3分）下列函數(shù)中不是二次函數(shù)的有（　　） A．y=x（x﹣1） B．y=﹣1 C．y=﹣x2 D．y=（x+4）2﹣x2 2．（3分）將一元二次方程x2﹣2x﹣2=0配方后所得的方程是（　?。? A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣1）2=2 C．（x﹣1）2=3 D．（x﹣2）2=3 3．（3分）如圖，不是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 4．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個根是0，則a的值為（　?。? A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 5．（3分）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，將腰DC繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至DE，連接AE，則△ADE的面積是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 6．（3分）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（﹣3，0），對稱軸為x=﹣1．給出四個結(jié)論： ①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． 其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 　 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 7．（3分）拋物線y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的對稱軸是直線　?。? 8．（3分）已知m，n是方程x2+4x﹣7=0的兩根，則代數(shù)式的值為　?。? 9．（3分）已知x能使得+有意義，則點P（x+2，x﹣3）關(guān)于原點的對稱點P′在第　　象限． 10．（3分）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過點（3，0）和（4，0），則這個二次函數(shù)的解析式是　　． 11．（3分）若拋物線y=x2與直線y=x+2的交點坐標(biāo)為（﹣1，1）和（2，4），則方程x2﹣x﹣2=0的解為　?。? 12．（3分）如圖，A（，1），B（1，）．將△AOB繞點O旋轉(zhuǎn)150°得到△A′OB′，則此時點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為　?。? 　 三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分） 13．（6分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋? （1）x2﹣3x+1=0 （2）x（x﹣2）+2x﹣4=0． 14．（6分）如圖，某小區(qū)在寬20m，長32m的矩形地面上修筑同樣寬的人行道（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540m2，求道路的寬． 15．（6分）如圖，有一座拋物線型拱橋，橋下面在正常水位AB時寬20米，水位上升3米就達到警戒線CD，這時水面寬度為10米．若洪水到來時，水位以每小時0.2米的速度上升從警戒線開始，再持續(xù)多少小時才能到拱橋頂？（平面直角坐標(biāo)系是以橋頂點為點O的） 16．（6分）如圖，方格紙中有三個點A，B，C，要求作一個四邊形使這三個點在這個四邊形的邊（包括頂點）上，且四邊形的頂點在方格的頂點上． （1）在甲圖中作出的四邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形； （2）在乙圖中作出的四邊形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形； （3）在丙圖中作出的四邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形． 17．（6分）已知二次函數(shù)y=﹣x2﹣x+ （1）用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為y=a（x+h）2+k的形式； （2）指出該二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標(biāo)和對稱軸． 　 四、（本大題共4小題，每小題8分，共32分） 18．（8分）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的兩根，求：（1）的值；（2）（x1﹣x2）2的值． 19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A1B1C；平移△ABC，若點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)為（0，﹣4），畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2； （2）若將△A1B1C繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2；請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)； （3）在x軸上有一點P，使得PA+PB的值最小，請直接寫出點P的坐標(biāo)． 20．（8分）已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0 （1）求證：無論k取何值，這個方程總有實數(shù)根； （2）若等腰三角形ABC的一邊長a=4，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長． 21．（8分）小李按市場價格30元/千克收購了一批海鮮1000千克存放在冷庫里，據(jù)預(yù)測，海鮮的市場價格將每天每千克上漲1元．冷凍存放這批海鮮每天需要支出各種費用合計310元，而且這些海鮮在冷庫中最多存放160天，同時平均每天有3千克的海鮮變質(zhì)． （1）設(shè)x天后每千克該海鮮的市場價格為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）若存放x天后，將這批海鮮一次性出售．設(shè)這批海鮮的銷售總額為P元，試寫出P與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）小李將這批海鮮存放多少天后出售可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？（利潤W=銷售總額﹣收購成本﹣各種費用） 　 五、（本大題10分） 22．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點D是AB的中點，DE⊥BC，垂足為點E，連接CD． （1）如圖1，DE與BC的數(shù)量關(guān)系是　?。? （2）如圖2，若P是線段CB上一動點（點P不與點B、C重合），連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （3）若點P是線段CB延長線上一動點，按照（2）中的作法，請在圖3中補全圖形，并直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系． 　 六、（本大題12分） 23．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A（3，0）、B（0，﹣3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t． （1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式． （2）若點P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長時，求△ABM的面積． （3）是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 　  參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 1．（3分）下列函數(shù)中不是二次函數(shù)的有（　　） A．y=x（x﹣1） B．y=﹣1 C．y=﹣x2 D．y=（x+4）2﹣x2 【考點】二次函數(shù)的定義．菁 【分析】依據(jù)二次函數(shù)的定義回答即可． 【解答】解：A、整理得y=x2﹣x，是二次函數(shù)，與要求不符； B、y=﹣1是二次函數(shù)，與要求不符； C、y=﹣x2是二次函數(shù)，與要求不符； D、整理得：y=8x+16是一次函數(shù)，與要求相符． 故選：D． 【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵． 　 2．（3分）將一元二次方程x2﹣2x﹣2=0配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣1）2=2 C．（x﹣1）2=3 D．（x﹣2）2=3 【考點】解一元二次方程-配方法．菁 【分析】配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確使用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣2=0， ∴x2﹣2x=2， ∴x2﹣2x+1=2+1， ∴（x﹣1）2=3． 故選：C． 【點評】本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟： （1）把常數(shù)項移到等號的右邊； （2）把二次項的系數(shù)化為1； （3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方． 選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)． 　 3．（3分）如圖，不是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形．菁 【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念即可求解． 【解答】解：根據(jù)中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，可知A、B、C是中心對稱圖形；D不是中心對稱圖形． 故選D． 【點評】掌握中心對稱圖形的概念．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合． 　 4．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個根是0，則a的值為（　?。? A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 【考點】一元二次方程的解．菁 【專題】計算題． 【分析】由一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個根是0，將x=0代入方程得到關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，將a的值代入方程進行檢驗，即可得到滿足題意a的值． 【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個根是0， ∴將x=0代入方程得：a2﹣1=0， 解得：a=1或a=﹣1， 將a=1代入方程得二次項系數(shù)為0，不合題意，舍去， 則a的值為﹣1． 故選：B． 【點評】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值． 　 5．（3分）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，將腰DC繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至DE，連接AE，則△ADE的面積是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定；直角梯形．菁 【專題】壓軸題． 【分析】求△ADE的面積，已知底AD=3，過E作EF垂直于AD交AD的延長線于F，EF就是高，然后再找和高相等的等量關(guān)系，三角形EDF全等于三角形CDG，EF=CG=2，則△ADE的面積就能求出來． 【解答】解：過點D作DG垂直于BC于G，過E作EF垂直于AD交AD的延長線于F， ∵∠EDF+∠CDF=90°，∠CDF+∠CDG=90°， ∴∠EDF=∠CDG， 又∵∠EFD=∠CGD=90°，DE=DC， ∴△EDF≌△CDG（AAS）， ∴EF=CG， ∴CG=BC﹣BG=5﹣3=2， ∴EF=2， ∴S△ADE=×AD×EF=×3×2=3． 故選C． 【點評】本題需要把旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的面積公式結(jié)合求解．考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力．注意旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)角相等． 　 6．（3分）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（﹣3，0），對稱軸為x=﹣1．給出四個結(jié)論： ①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． 其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．菁 【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷． 【解答】解：∵拋物線的開口方向向下， ∴a＜0； ∵拋物線與x軸有兩個交點， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正確； 由圖象可知：對稱軸x==﹣1， ∴2a=b，2a+b=4a， ∵a≠0， ∴2a+b≠0，②錯誤； ∵圖象過點A（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c=0，2a=b， ∴9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正確； ∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上， ∴c＞0 由圖象可知：當(dāng)x=1時y=0， ∴a+b+c=0，④正確． 故選：C． 【點評】考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解答本題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)確定． 　 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 7．（3分）拋物線y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的對稱軸是直線　x=1?。? 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．菁 【分析】先把拋物線的方程變?yōu)閥=ax2﹣2ax﹣3a，由公式x=得拋物線的對稱軸為x=1． 【解答】解：y=a（x+1）（x﹣3） =ax2﹣2ax﹣3a 由公式得， 拋物線的對稱軸為x=1． 【點評】本題考查拋物線的對稱軸的求法，同學(xué)們要熟練記憶拋物線的對稱軸公式x=． 　 8．（3分）已知m，n是方程x2+4x﹣7=0的兩根，則代數(shù)式的值為　3?。? 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；二次根式的性質(zhì)與化簡．菁 【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n=﹣4，mn=﹣7，然后將代數(shù)式化簡代入即可求得答案． 【解答】3解：∵m，n是方程x2+4x﹣7=0的兩根， ∴m+n=﹣4，mn=﹣7， ∴===3， 故答案為：3． 【點評】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法． 　 9．（3分）已知x能使得+有意義，則點P（x+2，x﹣3）關(guān)于原點的對稱點P′在第　二　象限． 【考點】二次根式有意義的條件；關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)．菁 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，求出x的范圍，根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點解答． 【解答】解：由題意得，x+1≥0，2﹣x≥0， 解得，﹣1≤x≤2， 則x+2＞0，x﹣3＜0，即點P（x+2，x﹣3）在第四象限， 故點P（x+2，x﹣3）關(guān)于原點的對稱點P′在第二象限， 故答案為：二． 【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件、關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵． 　 10．（3分）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c經(jīng)過點（3，0）和（4，0），則這個二次函數(shù)的解析式是　y=x2﹣7x+12?。? 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．菁 【專題】計算題． 【分析】由于已知了二次函數(shù)與x軸的兩交點坐標(biāo)，則可設(shè)交點式易得其解析式． 【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x﹣3）（x﹣4）， 而a=1， 所以二次函數(shù)的解析式為y=（x﹣3）（x﹣4）=x2﹣7x+12． 故答案為y=x2﹣7x+12． 【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解． 　 11．（3分）若拋物線y=x2與直線y=x+2的交點坐標(biāo)為（﹣1，1）和（2，4），則方程x2﹣x﹣2=0的解為　﹣1或2　． 【考點】拋物線與x軸的交點．菁 【分析】利用方程組的解，確定一元二次方程的解即可． 【解答】解：∵y=x2與直線y=x+2的交點坐標(biāo)為（﹣1，1）和（2，4）， ∴消去y得到x2﹣x﹣2=0的解為x=﹣1或2， 故答案為﹣1或2． 【點評】本題考查二次函數(shù)與cX軸的交點、解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型． 　 12．（3分）如圖，A（，1），B（1，）．將△AOB繞點O旋轉(zhuǎn)150°得到△A′OB′，則此時點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為?。ī?，﹣）或（﹣2，0）?。? 【考點】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)．菁 【分析】作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)點A的坐標(biāo)求直角△AOC三邊的長，再分兩種情況討論：逆時針旋轉(zhuǎn)150°或順時針旋轉(zhuǎn)150°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角得特殊角，由30°角的直角三角形的性質(zhì)可以依次求出A′的坐標(biāo)． 【解答】解：過A作AC⊥x軸于C， ∵A（，1）， ∴OC=，AC=1， 由勾股定理得：OA=2， tan∠AOC==， ∴∠AOC=30°， 分兩種情況： ①將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)150°得到△A′OB′，如圖1， 此時OA在x軸上，則A′的坐標(biāo)為（﹣2，0）， ②將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)150°得到△A′OB′，如圖2， 過A′作A′D⊥x軸于D， ∵∠AOC=30°，∠AOA′=150°， ∴∠A′OC=150°﹣30°=120°， ∴∠A′OD=60°， 在Rt△A′OD中，∠DA′O=30°，A′O=2， ∴OD=1，A′D=， ∴A′的坐標(biāo)為（﹣1，﹣）， 則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為：（﹣2，0）或（﹣1，﹣）； 故答案為：（﹣2，0）或（﹣1，﹣）． 【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)判斷出點A′的位置，注意構(gòu)建直角三角形，同時還要分情況討論求解． 　 三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分） 13．（6分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋? （1）x2﹣3x+1=0 （2）x（x﹣2）+2x﹣4=0． 【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．菁 【分析】（1）公式法求解可得； （2）因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣3，c=1， ∴△=9﹣4×1×1=5， ∴x=； （2）∵x（x﹣2）+2（x﹣2）=0， ∴（x﹣2）（x+2）=0， ∴x﹣2=0或x+2=0， 解得：x=2或x=﹣2． 【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法． 　 14．（6分）如圖，某小區(qū)在寬20m，長32m的矩形地面上修筑同樣寬的人行道（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪．要使草坪的面積為540m2，求道路的寬． 【考點】一元二次方程的應(yīng)用．菁 【專題】幾何圖形問題． 【分析】本題中我們可以根據(jù)矩形的性質(zhì)，先將道路進行平移，然后根據(jù)矩形的面積公式列方程求解． 【解答】解法一：原圖經(jīng)過平移轉(zhuǎn)化為圖1． 設(shè)道路寬為X米， 根據(jù)題意，得（20﹣x）（32﹣x）=540． 整理得x2﹣52x+100=0． 解得x1=50（不合題意，舍去），x2=2． 答：道路寬為2米． 解法二：原圖經(jīng)過平移轉(zhuǎn)化為圖2． 設(shè)道路寬為x米， 根據(jù)題意，20×32﹣（20+32）x+x2=540 整理得x2﹣52x+100=0． 解得x1=50（不合題意，舍去），x2=2． 答：道路寬為2米． 【點評】對于面積問題應(yīng)熟記各種圖形的面積公式．本題中按原圖進行計算比較復(fù)雜時，可根據(jù)圖形的性質(zhì)適當(dāng)?shù)倪M行轉(zhuǎn)換化簡，然后根據(jù)題意列出方程求解． 　 15．（6分）如圖，有一座拋物線型拱橋，橋下面在正常水位AB時寬20米，水位上升3米就達到警戒線CD，這時水面寬度為10米．若洪水到來時，水位以每小時0.2米的速度上升從警戒線開始，再持續(xù)多少小時才能到拱橋頂？（平面直角坐標(biāo)系是以橋頂點為點O的） 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．菁 【分析】先設(shè)拋物線的解析式為y=ax2，再找出幾個點的坐標(biāo)，代入解析式后可求得拋物線的解析式，把b=﹣1代入即可求出CD的長度，進而求出時間． 【解答】解：設(shè)所求拋物線的解析式為： y=ax2． 設(shè)D（5，b），則B（10，b﹣3）， 把D、B的坐標(biāo)分別代入y=ax2得：， 解得：， ∴y=﹣x2； ∵b=﹣1， ∴拱橋頂O到CD的距離為1，=5小時． 所以再持續(xù)5小時到達拱橋頂5小時． 【點評】本題考查點的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實際應(yīng)用．借助二次函數(shù)解決實際問題是解題的關(guān)鍵． 　 16．（6分）如圖，方格紙中有三個點A，B，C，要求作一個四邊形使這三個點在這個四邊形的邊（包括頂點）上，且四邊形的頂點在方格的頂點上． （1）在甲圖中作出的四邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形； （2）在乙圖中作出的四邊形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形； （3）在丙圖中作出的四邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形． 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．菁 【分析】（1）平行四邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形； （2）等腰梯形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形； （3）正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形． 【解答】解：（1）甲圖：平行四邊形， （2）乙圖：等腰梯形， （3）丙圖：正方形． 【點評】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，熟練掌握幾個常見的四邊形是哪類圖形是關(guān)鍵：①平行四邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形；②等腰梯形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形；③矩形、菱形、正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形． 　 17．（6分）已知二次函數(shù)y=﹣x2﹣x+ （1）用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為y=a（x+h）2+k的形式； （2）指出該二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標(biāo)和對稱軸． 【考點】二次函數(shù)的三種形式．菁 【分析】（1）根據(jù)配方法，先提取﹣，然后配成完全平方式，整理即可； （2）根據(jù)a是負數(shù)以及頂點式解析式分別求解即可． 【解答】解：（1）y=﹣x2﹣x+， =﹣（x2+2x+1）++， =﹣（x+1）2+4； （2）∵a=﹣＜0， ∴開口向下； 頂點坐標(biāo)（﹣1，4）； 對稱軸為直線x=﹣1． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的三種形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；（2）頂點式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）． 　 四、（本大題共4小題，每小題8分，共32分） 18．（8分）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的兩根，求：（1）的值；（2）（x1﹣x2）2的值． 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系．菁 【分析】易得到兩根之和與兩根之積的具體數(shù)值，把所求代數(shù)式整理成與之有關(guān)的式子而求解． 【解答】解：∵x1+x2=4，x1x2=2． （1）=2． （2）（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=42﹣4×2=8． 【點評】解決本題的關(guān)鍵是把所求的代數(shù)式整理成與根與系數(shù)有關(guān)的形式． 　 19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A1B1C；平移△ABC，若點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)為（0，﹣4），畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2； （2）若將△A1B1C繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2；請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)； （3）在x軸上有一點P，使得PA+PB的值最小，請直接寫出點P的坐標(biāo)． 【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；軸對稱-最短路線問題．菁 【分析】（1）延長AC到A1，使得AC=A1C，延長BC到B1，使得BC=B1C，利用點A的對應(yīng)點A2的坐標(biāo)為（0，﹣4），得出圖象平移單位，即可得出△A2B2C2； （2）根據(jù)△△A1B1C繞某一點旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2進而得出，旋轉(zhuǎn)中心即可； （3）根據(jù)B點關(guān)于x軸對稱點為A2，連接AA2，交x軸于點P，再利用相似三角形的性質(zhì)求出P點坐標(biāo)即可． 【解答】解：（1）如圖所示： （2）如圖所示：旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為：（，﹣1）； （3）∵PO∥AC， ∴=， ∴=， ∴OP=2， ∴點P的坐標(biāo)為（﹣2，0）． 【點評】此題主要考查了圖形的平移與旋轉(zhuǎn)和相似三角形的性質(zhì)等知識，利用軸對稱求最小值問題是考試重點，同學(xué)們應(yīng)重點掌握． 　 20．（8分）已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0 （1）求證：無論k取何值，這個方程總有實數(shù)根； （2）若等腰三角形ABC的一邊長a=4，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長． 【考點】根的判別式；等腰三角形的性質(zhì)．菁 【專題】證明題． 【分析】（1）先計算判別式的值得到△=4k2﹣12k+9，配方得到△=（2k﹣3）2，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)易得△≥0，則根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論； （2）分類討論：當(dāng)b=c時，則△=（2k﹣3）2=0，解得k=，然后解方程得到b=c=2，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可判斷這種情況不符號條件；當(dāng)a=b=4或a=c=4時，把x=4代入方程可解得k=，則方程化為x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后計算△ABC的周長． 【解答】（1）證明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣） =4k2+4k+1﹣16k+8， =4k2﹣12k+9 =（2k﹣3）2， ∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0， ∴無論k取何值，這個方程總有實數(shù)根； （2）解：當(dāng)b=c時，△=（2k﹣3）2=0，解得k=，方程化為x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去； 當(dāng)a=b=4或a=c=4時，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣）=0，解得k=，方程化為x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2， 所以△ABC的周長=4+4+2=10． 【點評】本題考查了根的判別式：用一元二次方程根的判別式（△=b2﹣4ac）判斷方程的根的情況：當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了等腰三角形的性質(zhì)． 　 21．（8分）小李按市場價格30元/千克收購了一批海鮮1000千克存放在冷庫里，據(jù)預(yù)測，海鮮的市場價格將每天每千克上漲1元．冷凍存放這批海鮮每天需要支出各種費用合計310元，而且這些海鮮在冷庫中最多存放160天，同時平均每天有3千克的海鮮變質(zhì)． （1）設(shè)x天后每千克該海鮮的市場價格為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）若存放x天后，將這批海鮮一次性出售．設(shè)這批海鮮的銷售總額為P元，試寫出P與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）小李將這批海鮮存放多少天后出售可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？（利潤W=銷售總額﹣收購成本﹣各種費用） 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．菁 【分析】（1）依題意可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式． （2）存放x天，每天損壞3千克，則剩下1000﹣3x，P與x之間的函數(shù)關(guān)系式為P=（x+30）（1000﹣3x） （3）依題意化簡得出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求得x=100時w最大． 【解答】解：（1）y=x+30； （2）p=（x+30）（1000﹣3x）=﹣3x2+910x+30000； （3）W=P﹣30×1000﹣310x=﹣3x2+910x+30000﹣30000﹣310x =﹣3x2+600x， ∵﹣3＜0， ∴W有最大值， 當(dāng)x==100時， ∵100＜160， ∴W最大值==30000． ∴存放100天后出售時獲得最大利潤，最大利潤為30000元． 【點評】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確列出函數(shù)表達式并熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵． 　 五、（本大題10分） 22．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點D是AB的中點，DE⊥BC，垂足為點E，連接CD． （1）如圖1，DE與BC的數(shù)量關(guān)系是　DE=BC??； （2）如圖2，若P是線段CB上一動點（點P不與點B、C重合），連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （3）若點P是線段CB延長線上一動點，按照（2）中的作法，請在圖3中補全圖形，并直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．菁 【分析】（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到DB=DC，則可判斷△DCB為等邊三角形，由于DE⊥BC，DE=BC； （2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，則可根據(jù)“SAS”可判斷△DCP≌△DBF，則CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE； （3）與（2）的證明方法一樣得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，則BF﹣BP=BC，所以BF﹣BP=DE． 【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵點D是AB的中點， ∴DB=DC， ∴△DCB為等邊三角形， ∵DE⊥BC， ∴DE=BC； 故答案為DE=BC． （2）BF+BP=DE．理由如下： ∵線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF， ∴∠PDF=60°，DP=DF， 而∠CDB=60°， ∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB， ∴∠CDP=∠BDF， 在△DCP和△DBF中 ， ∴△DCP≌△DBF（SAS）， ∴CP=BF， 而CP=BC﹣BP， ∴BF+BP=BC， ∵DE=BC， ∴BC=DE， ∴BF+BP=DE； （3）如圖， 與（2）一樣可證明△DCP≌△DBF， ∴CP=BF， 而CP=BC+BP， ∴BF﹣BP=BC， ∴BF﹣BP=DE． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系． 　 六、（本大題12分） 23．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A（3，0）、B（0，﹣3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t． （1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式． （2）若點P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長時，求△ABM的面積． （3）是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數(shù)綜合題．菁 【分析】（1）待定系數(shù)法分別求解可得； （2）根據(jù)題意可設(shè)點P的坐標(biāo)是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3），繼而可得PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，知PM最長值為，根據(jù)S△ABM=S△BPM+S△APM可得答案； （3）由PM∥OB，可知當(dāng)PM=OB時點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，據(jù)此可分以下三種情況：①當(dāng)P在第四象限；②當(dāng)P在第一象限；③當(dāng)P在第三象限；由PM=OB=3列出關(guān)于t的方程分別求解可得． 【解答】解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得 ， 解得：， 所以拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3． 設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b， 把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得：， 解得：， 所以直線AB的解析式是y=x﹣3； （2）設(shè)點P的坐標(biāo)是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3）， ∵p在第四象限， ∴PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+， 當(dāng)t=時，二次函數(shù)取得最大值，即PM最長值為， 則S△ABM=S△BPM+S△APM=××3=． （3）存在， 理由如下： ∵PM∥OB， ∴當(dāng)PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形， ①當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能有PM=3． ②當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3， 解得t1=，t2=（舍去）， 所以P點的橫坐標(biāo)是； ③當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=， 所以P點的橫坐標(biāo)是． 所以P點的橫坐標(biāo)是或． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：先利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，然后根據(jù)解析式表示點的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)表示線段的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求線段的最大值．同時考查了平行四邊形的判定定理以及一元二次方程的解法． 第29頁（共29頁）