2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 第1講 空間幾何體素能訓(xùn)練(文、理).doc
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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題4 第1講 空間幾何體素能訓(xùn)練(文、理) 一、選擇題 1.(文)(xx·山東文,4)一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長都相等,底面是正方形,其正(主)視圖如圖所示,則該四棱錐側(cè)面積和體積分別是( ) A.4,8 B.4, C.4(+1), D.8,8 [答案] B [解析] 由正視圖知四棱錐底面是邊長為2的正方形,高為2,又因?yàn)閭?cè)棱長相等,所以棱錐是正四棱錐,斜高h(yuǎn)′==,側(cè)面積S=4××2×=4,體積V=×2×2×2=. (理)(xx·紹興市模擬)某四棱錐的底面為正方形,其三視圖如圖所示,則該四棱錐的體積等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] B [解析] 由三視圖知,該幾何體底面是正方形,對(duì)角線長為2,故邊長為,幾何體是四棱錐,有一條側(cè)棱與底面垂直,其直觀圖如圖,由條件知PC=,AC=2, ∴PA=3,體積V=×()2×3=2. 2.(文)(xx·長春市三調(diào))若一個(gè)圓柱的正視圖與其側(cè)面展開圖相似,則這個(gè)圓柱的側(cè)面積與全面積之比為( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,則=,則h=2r,則S側(cè)=2πr·h=4πr2,S全=4πr2+2πr2,故圓柱的側(cè)面積與全面積之比為=,故選B. (理)(xx·吉林市質(zhì)檢)某由圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是中心角為60°的扇形, 則該幾何體的側(cè)面積為( ) A.12+π B.6+π C.12+2π D.6+4π [答案] C [解析] 由三視圖可知,該幾體何是沿圓柱的底面夾角為60°的兩條半徑與中心軸線相交得到平面為截面截下的圓柱一角,其中兩個(gè)側(cè)面都是矩形,矩形一邊長為半徑2,一邊長為柱高3,另一側(cè)面為圓柱側(cè)面的,因此該幾何體的側(cè)面積為S=2×3+2×3+×(2π×2×3)=12+2π. 3.(文)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) A.12-π B.12-2π C.6-π D.4-π [答案] A [解析] 由三視圖知,該幾何體是一個(gè)組合體,由一個(gè)長方體挖去一個(gè)圓柱構(gòu)成,長方體的長、寬高為4,3,1,圓柱底半徑1,高為1,∴體積V=4×3×1-π×12×1=12-π. (理)若某棱錐的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該棱錐的體積等于( ) A.10 cm3 B.20 cm3 C.30 cm3 D.40 cm3 [答案] B [解析] 由三視圖知該幾何體是四棱錐,可視作直三棱柱ABC-A1B1C1沿平面AB1C1截去一個(gè)三棱錐A-A1B1C1余下的部分. ∴VA-BCC1B1=VABC-A1B1C1-VA-A1B1C1=×4×3×5-×(×4×3)×5=20cm3. 4.(文)如圖,直三棱柱的正視圖面積為2a2,則側(cè)視圖的面積為( ) A.2a2 B.a(chǎn)2 C.a2 D.a2 [答案] C [解析] 由正視圖的面積為2a2,則直三棱柱的側(cè)棱長為2a,側(cè)視圖為矩形,一邊長為2a,另一邊長為a,所以側(cè)視圖的面積為a2. (理)(xx·東城區(qū)模擬)已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積是( ) A.(1+)cm2 B.(3+)cm2 C.(4+)cm2 D.(5+)cm2 [答案] C [解析] 由三視圖可畫出該幾何體的直觀圖如圖,其側(cè)面積為1×1+2×(1+2)×1+1×=4+cm2. 5.(文)(xx·常德市模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( ) A.6+2 B.6+4 C.4+2 D.4+4 [答案] D [解析] 其直觀圖如圖,表面積S=2×(×2×2)+(×2×2)×2=4+4. (理)(xx·江西師大附中、鷹潭一中聯(lián)考)已知一個(gè)三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示,則該三棱錐的側(cè)視圖面積為( ) A. B. C.1 D. [答案] B [解析] 由題意知,此三棱錐的底面為有一個(gè)角為30°的直角三角形,其斜邊長AC=2,一個(gè)側(cè)面PAC為等腰直角三角形,∴DE=1,BF=,其側(cè)視圖為直角三角形,其兩直角邊與DE、BF的長度相等,面積S=×1×=. 6.(xx·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D為側(cè)棱PC上的一點(diǎn),它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示,則下列命題正確的是( ) A.AD⊥平面PBC,且三棱錐D-ABC的體積為 B.BD⊥平面PAC,且三棱錐D-ABC的體積為 C.AD⊥平面PBC,且三棱錐D-ABC的體積為 D.AD⊥平面PAC,且三棱錐D-ABC的體積為 [答案] C [解析] ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又∵AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,又∵AD?平面PAC,∴BC⊥AD,由正視圖可知,AD⊥PC,又PC∩BC=C,∴AD⊥平面PBC,且VD-ABC=VP-ABC=××4×(×4×4)=. 二、填空題 7.(文)(xx·天津文,10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為________m3. [答案] [解析] 本題考查三視圖及簡(jiǎn)單幾何體的體積計(jì)算,考查空間想象能力和簡(jiǎn)單的計(jì)算能力. 由三視圖知,該幾何體下面是圓柱、上面是圓錐. ∴V=π×12×4+π×22×2=. (理)(xx·陜西理,12)某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為________. [答案] [解析] 由三視圖可知,此幾何體是底面半徑為1,高為2的半個(gè)圓錐. ∴V=×(π×12×2)=. 8.(文)(xx·金華一中月考)某幾何體的三視圖(單位:cm)如下圖,則這個(gè)幾何體的表面積為________cm2. [答案] 12+2 [解析] 由三視圖知,該幾何體為正三棱柱, 底面積S1=2×(×2×)=2, 側(cè)面積S2=3×(2×2)=12, ∴表面積S=S1+S2=12+2cm2. (理)(xx·天津十二區(qū)縣聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為________. [答案] 108+3π [解析] 由三視圖知,該幾何體由上下兩個(gè)全等的正四棱柱及中間的圓柱構(gòu)成的組合體,體積V=2×(6×6×1.5)+π×12×3=108+3π. 9.(xx·江蘇,8)如圖,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D、E、F分別是AB、AC、AA1的中點(diǎn),設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2,則V1V2=________. [答案] 124 [解析]?。剑剑? 三、解答題 10.(文)在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,DC∥AB,DC=1,AB=4,BC=2,∠CBA=30°. (1)求證:AC⊥PB; (2)當(dāng)PD=2時(shí),求此四棱錐的體積. [解析] (1)∵PC⊥平面ABCD,∴PC⊥AC, 又∠CBA=30°,BC=2,AB=4, ∴AC= ==2, ∴AC2+BC2=4+12=16=AB2, ∴∠ACB=90°,故AC⊥BC. 又∵PC、BC是平面PBC內(nèi)的兩條相交直線, 故AC⊥平面PBC, ∴AC⊥PB. (2)當(dāng)PD=2時(shí),作CE⊥AB交AB于E, 在Rt△CEB中,CE=CB·sin30°=2×=, 又在Rt△PCD中,DC=1, ∴PC=, ∴VP-ABCD=·PC·SABCD=××(1+4)×=. (理)(xx·山西太原檢測(cè))如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長為2的正方形,四邊形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,G和H分別是CE和CF的中點(diǎn). (1)求證:AC⊥平面BDEF; (2)求證:平面BDGH//平面AEF; (3)求多面體ABCDEF的體積. [解析] (1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形, 所以AC⊥BD. 又因?yàn)槠矫鍮DEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD, 且AC?平面ABCD, 所以AC⊥平面BDEF. (2)證明:在△CEF中,因?yàn)镚、H分別是CE、CF的中點(diǎn), 所以GH∥EF, 又因?yàn)镚H?平面AEF,EF?平面AEF, 所以GH∥平面AEF. 設(shè)AC∩BD=O,連接OH, 在△ACF中,因?yàn)镺A=OC,CH=HF, 所以O(shè)H∥AF, 又因?yàn)镺H?平面AEF,AF?平面AEF, 所以O(shè)H∥平面AEF. 又因?yàn)镺H∩GH=H,OH,GH?平面BDGH, 所以平面BDGH∥平面AEF. (3)解:由(1),得AC⊥平面BDEF, 又因?yàn)锳O=,四邊形BDEF的面積SBDEF=3×2=6, 所以四棱錐A-BDEF的體積V1=×AO×SBDEF=4. 同理,四棱錐C-BDEF的體積V2=4. 所以多面體ABCDEF的體積V=V1+V2=8. 一、選擇題 11.(文)(xx·眉山市二診)一個(gè)棱錐的三視圖如圖所示,則這個(gè)棱錐的體積是( ) A.6 B.12 C.24 D.36 [答案] B [解析] 由三視圖知該幾何體為有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐,體積V=×(4×3)×3=12. (理)(xx·榆林市一中模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的體積為24,則正視圖中a的值為( ) A.8 B.6 C.4 D.2 [答案] B [解析] 由V=×(a×3)×4=24得,a=6. 12.(文)(xx·江西八校聯(lián)考)某幾何體的三視圖(單位:m)如圖所示,則其表面積為( ) A.(96+32)m2 B.(64+32)m2 C.(114+16+16)m2 D.(80+16+16)m2 [答案] D [解析] 由三視圖知該幾何體是一個(gè)組合體,中間是一個(gè)棱長為4的正方體(由正、側(cè)視圖中間部分和俯視圖知),上部是一個(gè)有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐,下部是一個(gè)正四棱錐,表面積S=2(×4×4+×4×)+4×42+4×(×4×2)=80+16+16(m2). (理)(xx·德陽市二診)已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖,側(cè)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成,俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成,根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為( ) A.+ B.+ C.+ D.+ [答案] C [解析] 由三視圖知,該幾何體為組合體,下部為一個(gè)半球,半球的直徑為,上部為三棱錐,有一側(cè)棱與底面垂直,∴體積V=×(×1×1)×1+×()3×=+. 13.(文)(xx·遼寧文,10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為( ) A. B.2 C. D.3 [答案] C [解析] 過C,B分別作AB、AC的平行線交于D,分別過C1、B1作A1B1,A1C1的平行線交于D1,連接DD1,則ABDC-A1B1D1C1恰為該球的內(nèi)接長方體,故該球的半徑r==,故選C. (理)一個(gè)半徑為1的球體經(jīng)過切割后,剩下部分幾何體的三視圖如圖所示,則剩下部分幾何體的表面積為( ) A. B. C.4π D. [答案] D [解析] 由三視圖知該幾何體是一個(gè)球體,保留了下半球,上半球分為四份,去掉了對(duì)頂?shù)膬煞?,故表面積為球的表面積,去掉球表面積加上6個(gè)的圓面積. ∴S=4πR2-(4πR2)+6×πR2=πR2, 又R=1,∴S=π. 二、填空題 14.(文)(xx·天津市六校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的體積為________. [答案] 48 [解析] 由三視圖知,該幾何體是一個(gè)組合體,其上部為長方體,下部為橫放的四棱柱,其底面是上底長2,下底長6,高為2的等腰梯形,柱高為4,其體積V=2×4×2+(2+6)×2×4=48. (理)(xx·內(nèi)江市一模)矩形ABCD中,AB=8,BC=6,沿BD將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角A-BD-C,則四面體ABCD的外接球的表面積是________. [答案] 100π [解析] 設(shè)矩形ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn)為O,則OA=OB=OC=OD,∴折起后空間四邊形ABCD的外接球球心為O,∴球O的半徑R==5,∴球O的表面積S=4πR2=100π. 三、解答題 15.(文)(xx·北京文,17)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分別是CD、PC的中點(diǎn),求證: (1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. [解析] (1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD,且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD, 所以PA⊥底面ABCD. (2)因?yàn)锳B∥CD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn), 所以AB∥DE,且AB=DE. 所以四邊形ABED為平行四邊形. 所以BE∥AD. 又因?yàn)锽E?平面PAD,AD?平面PAD, 所以BE∥平面PAD. (3)因?yàn)锳B⊥AD,而且ABED為平行四邊形, 所以BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD. 所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD. 因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn), 所以PD∥EF.所以CD⊥EF, 又因?yàn)镃D⊥BE,BE∩EF=E, 所以CD⊥平面BEF. 所以平面BEF⊥平面PCD. (理)(xx·浙江理,20)如圖,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2.M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC. (1)證明:PQ∥平面BCD; (2)若二面角C-BM-D的大小為60°,求∠BDC的大小. [解析] 方法1:(1)取BD的中點(diǎn)O,在線段CD上取點(diǎn)F,使得DF=3FC,連接OP、OF、FQ. 因?yàn)锳Q=3QC,所以QF∥AD,且QF=AD. 因?yàn)镺、P分別為BD、BM的中點(diǎn), 所以O(shè)P是△BDM的中位線, 所以O(shè)P∥DM,且OP=DM. 又點(diǎn)M為AD的中點(diǎn),所以O(shè)P∥AD,且OP=AD. 從而OP∥FQ,且OP=FQ, 所以四邊形OPQF為平行四邊形,故PQ∥OF. 又PQ?平面BCD,OF?平面BCD,所以PQ∥平面BCD. (2)作CG⊥BD于點(diǎn)G,作GH⊥BM于點(diǎn)H,連接CH. 因?yàn)锳D⊥平面BCD,CG?平面BCD,所以AD⊥CG, 又CG⊥BD,AD∩BD=D,故CG⊥平面ABD, 又BM?平面ABD,所以CG⊥BM. 又GH⊥BM,CG∩GH=G,故BM⊥平面CGH, 所以GH⊥BM,CH⊥BM. 所以∠CHG為二面角C-BM-D的平面角, 即∠CHG=60°. 設(shè)∠BDC=θ. 在Rt△BCD中,CD=BDcosθ=2cosθ, CG=CDsinθ=2cosθsinθ,BC=BDsinθ=2sinθ, BG=BCsinθ=2sin2θ. 在Rt△BDM中,∵GH⊥BM,∴△BGH∽△BMD, ∴HG==. 在Rt△CHG中,tan∠CHG===. 所以tanθ=.從而θ=60°. 即∠BDC=60°. 方法2:(1)如圖,取BD的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OD、OP所在射線為y、z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 由題意知A(0,,2),B(0,-,0),D(0,,0). 設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0,0).因?yàn)椋?, 所以Q(x0,+y0,). 因?yàn)镸為AD的中點(diǎn),故M(0,,1). 又P為BM的中點(diǎn),故P(0,0,), 所以=(x0,+y0,0). 又平面BCD的一個(gè)法向量為u=(0,0,1), 故·u=0. 又PQ?平面BCD,所以PQ∥平面BCD. (2)設(shè)m=(x,y,z)為平面BMC的一個(gè)法向量. 由=(-x0,-y0,1),=(0,2,1), 知 取y=-1,得m=(,-1,2). 又平面BDM的一個(gè)法向量為n=(1,0,0). 于是|cos〈m,n〉|===, 即()2=3.① 又BC⊥CD,所以·=0, 故(-x0,--y0,0)·(-x0,-y0,0)=0, 即x+y=2.② 聯(lián)立①②,解得(舍去)或 所以tan∠BDC=||=. 又∠BDC是銳角,所以∠BDC=60°. 16.(文)(xx·北京西城區(qū)模擬)在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形,面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AC=,AB=2BC=2,AC⊥FB. (1)求證:AC⊥平面FBC; (2)求四面體FBCD的體積; (3)線段AC上是否存在點(diǎn)M,使得EA∥平面FDM?證明你的結(jié)論. [解析] (1)證明:在△ABC中, ∵AC=,AB=2,BC=1,∴AC⊥BC. 又∵AC⊥FB,∴AC⊥平面FBC. (2)解:∵AC⊥平面FBC,∴AC⊥FC. ∵CD⊥FC,∴FC⊥平面ABCD. 在等腰梯形ABCD中可得∠BCD=120°,CB=DC=1,∴FC=1.∴S△BCD=, ∴四面體FBCD的體積為:VF-BCD=S△BCD·FC=. (3)線段AC上存在點(diǎn)M,且M為AC中點(diǎn)時(shí),有EA∥平面FDM,證明如下: 連接CE,與DF交于點(diǎn)N,連接MN. 因?yàn)镃DEF為正方形,所以N為CE中點(diǎn). 所以EA∥MN. 因?yàn)镸N?平面FDM,EA?平面FDM, 所以EA∥平面FDM. 所以線段AC上存在點(diǎn)M,使得EA∥平面FDM成立. (理)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面,側(cè)棱長是,D是AC的中點(diǎn). (1)求證:B1C∥平面A1BD; (2)求二面角A1-BD-A的大??; (3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值. [解析] 解法一:(1)設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P,則P為AB1中點(diǎn),連接PD, ∵D為AC中點(diǎn),∴PD∥B1C. 又∵PD?平面A1BD,B1C?平面A1BD. ∴B1C∥平面A1BD. (2)∵正三棱柱ABC-A1B1C1, ∴AA1⊥底面ABC. 又 ∵BD⊥AC,∴A1D⊥BD ∴∠A1DA就是二面角A1-BD-A的平面角. ∵AA1=,AD=AC=1, ∴tan∠A1DA==. ∴∠A1DA=,即二面角A1-BD-A的大小是. (3)由(2)作AM⊥A1D,M為垂足. ∵BD⊥AC,平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,∴BD⊥平面A1ACC1, ∵AM?平面A1ACC1,∴BD⊥AM,∵A1D∩BD=D, ∴AM⊥平面A1DB,連接MP,則∠APM就是直線AB1與平面A1BD所成的角. ∵AA1=,AD=1,∴在Rt△AA1D中,∠A1DA=, ∴AM=1×sin60°=,AP=AB1=. ∴sin∠APM===. ∴直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為. 解法二:(1)同解法一 (2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系, 則D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,),B(0,,0),B1(0,,), ∴=(-1,,-),=(-1,0,-) 設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z). 則n·=-x+y-z=0, n·=-x-z=0, 則有,得n=(-,0,1). 由題意,知=(0,0,)是平面ABD的一個(gè)法向量. 設(shè)n與所成角為θ,則cosθ==,∴θ=. ∴二面角A1-BD-A的大小是. (3)由已知,得=(-1,,),n=(-,0,1), 設(shè)直線AB1與平面A1BD所成角為α,則 sinα==. ∴直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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