2019-2020年高三數(shù)學(xué) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和導(dǎo)學(xué)案.doc

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2019-2020 年高三數(shù)學(xué) 等差數(shù)列及其前 n 項(xiàng)和導(dǎo)學(xué)案 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 ①理解等差數(shù)列的概念； ②探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式； ③體會(huì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系；等差數(shù)列前項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系； ④掌握等差數(shù)列的一些基本性質(zhì)； 【自主學(xué)習(xí)】 1.要點(diǎn)梳理 1、等差數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從 起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于 ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做 等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ，通常用字母 表示。 2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 若等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差是，則其通項(xiàng)公式為 ;掌握公式的推導(dǎo)方法 3、等差中項(xiàng) 如果三個(gè)數(shù)成 ，則叫做和的等差中項(xiàng)，且有= 4、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式 = = （二次型）;掌握公式的推導(dǎo)方法 5、等差數(shù)列的判定方法 （1）定義法： 是等差數(shù)列 （2）等差中項(xiàng)： 是等差數(shù)列 （3）通項(xiàng)公式法： 是等差數(shù)列 （4）前項(xiàng)和法： 是等差數(shù)列 6、等差數(shù)列的性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣： （2）若是等差數(shù)列，且 ??????Nnmlklk,,，則 （3）若是等差數(shù)列 ，公差為，則也是等差數(shù)列，公差為 （4）若是等差數(shù)列 ，則 ??akk,,2? 組成公差為 的等差數(shù)列。 （5）若、是等差數(shù)列 ，則是 7、 等差數(shù)列與等差數(shù)列各項(xiàng)和有關(guān)的性質(zhì) （1）若是等差數(shù)列，則也成 數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差是公差的 （2）分別是的前項(xiàng)，前項(xiàng)，前項(xiàng)的和， 成等差數(shù)列 ，公差為 （3）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列有 ????1212 ???nnnaaS ； ， （4 若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列有 中,?； ， ， （5）若、是等差數(shù)列 ，設(shè)其前項(xiàng)和分別為 ，則 （6）是等差數(shù)列①若有 值，何時(shí)取最值可由不等式組或關(guān)于的二次函數(shù)的對(duì)稱 軸來(lái)確定。 ② 若有 值，何時(shí)取最值可由不等式組或關(guān)于的二次函數(shù)的對(duì)稱軸來(lái)確定。 （7）等差數(shù)列中，①若 ??????Nnmanm,, ，則 等差數(shù)列中，②若 S,，則 等差數(shù)列中，③若 ?n ，則 8、常用的方法與技巧 （1）三數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：、 、 ，為公差。 四數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：、 、 、 ，公差 。 （2）會(huì)用方程的思想處理等差數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式涉及 五個(gè)量：， “知三求二” ，同時(shí)還應(yīng)注意整體代換。 2、基礎(chǔ)自測(cè) 1、等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 …… （ ） A、12 B、10 C、8 D、6 2、等差數(shù)列中，已知 3,4,3152???naa，則為……（ ） A、48 B、49 C、50 D、51 3、首項(xiàng)為-24 的等差數(shù)列，從第十項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差的取值范圍是……（ ） A、 B、 C、 D、 4、一個(gè)有限項(xiàng)的等差數(shù)列，它的前 5 項(xiàng)和為 34,最后 5 項(xiàng)和為 146，所有項(xiàng)和為 234，則 它的第七項(xiàng)等于……（ ） A、22 B、21 C、 19 D、18 5、設(shè)等差數(shù)列、 ，其前項(xiàng)和分別為 ，若對(duì)任意的自然數(shù)都有，則的值為 【典例分析】 ★ 等差數(shù)列的基本運(yùn)算等差數(shù)列的基本運(yùn)算 例 1、設(shè)是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，它的前 10 項(xiàng)和且成等比數(shù)列。 （1）證明； （2）求公差的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式。 例 2、（xx 安徽卷文）已知為等差數(shù)列， ，則等于……（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D.7 例 3、 （四川文 7）等差數(shù)列{ an}中， a1=1,a3+a5=14，其前 n 項(xiàng)和 Sn=100,則 n=（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 例 4、(xx 全國(guó)Ⅰ卷理)已知等差數(shù)列滿足， ，則它的前 10 項(xiàng)的和（ ） A．138 B．135 C．95 D．23 ※練習(xí)： 1、等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知。 （1）求通項(xiàng)及前項(xiàng)和； （2）若，求。 2、在等差數(shù)列中， ，則=……（ ） A、 24 B、 22 C、 20 D、-8 3、一個(gè)等差數(shù)列的前 10 項(xiàng)和為 100，前 100 項(xiàng)和為 10，則前 110 項(xiàng)和為 4、 （xx 福建卷理）等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為，且 =6，=4， 則公差 d 等于……（ ）A． B C.- 2 D 3 5、 （xx 寧夏海南卷理）等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為，且 4，2，成等差列。若=1，則=……（ ） （A）7 （B）8 （3）15 （4）16 6、xx 寧夏海南卷理）等差數(shù)列{}前 n 項(xiàng)和為。已知+-=0，=38,則 m=_______ 7、(xx 海南、寧夏文)已知{a n}為等差數(shù)列，a 3 + a8 = 22，a 6 = 7，則 a5 = _____ 8、已知等差數(shù)列中， ，前 10 項(xiàng)和。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若從數(shù)列中依次取出第 2，4，8，……， ，……項(xiàng)，按原來(lái)的順序排列成一個(gè) 新的數(shù)列，試求新的數(shù)列的前項(xiàng)和 9、等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 ；一般地，若，則 10、設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 80,1532321??aa，則等于……（ ） A、 120 B、 105 C、 90 D、75 10、下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”： 4 7 （ ） （ ） （ ） …… …… 7 12 （ ） （ ） （ ） …… …… （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） …… …… （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第行第列的數(shù)。 （1）寫(xiě)出的值； （2）寫(xiě)出的計(jì)算公式，以及 xx 這個(gè)數(shù)在等差數(shù)陣中所在的一個(gè)位置。 11、已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在曲線上，且， （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （2）數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且 3816221????naTn，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ★ 等差數(shù)列的判定等差數(shù)列的判定 例 5、已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足 ??21,021?????anSan 。 （1）求證：是等差數(shù)列； （2） 求的表達(dá)式。 ※練習(xí)： 1、已知數(shù)列滿足，令，求證：數(shù)列 是等差數(shù)列。 2、數(shù)列滿足，又，則使得為等差數(shù)列的實(shí)數(shù) 3、設(shè)實(shí)數(shù)，且函數(shù) ???????????axaxf 122有最小值，若數(shù)列的前項(xiàng)和，令?? ,3,242?nbn ，求證：數(shù)列是等差數(shù)列。 ★ 等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì) 例 6、 （1）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知前 6 項(xiàng)和為 36,，最后 6 項(xiàng)和為 180，求數(shù)列的項(xiàng)數(shù) 及； （2）等差數(shù)列、設(shè)其前項(xiàng)和分別為 ，且，求的值。 （3）若，則 ； （4）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)和為 44，偶數(shù)項(xiàng)和為 33，求數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)。 ※練習(xí)： 1、等差數(shù)列中， ，則 2、已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為為 377，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且前項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為:6，則 中間項(xiàng)為 3、等差數(shù)列中，已知 240),9(30,1849 ????nnSaS，則= 4、設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則等于……（ ） A、13 B、35 C、 49 D、63 5、在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列中，若，則……（ ） A、-2 B、 0 C、 1 D、2 6、如果為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差，則……（ ） A、 B、 C、 D、 7、等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和為 216，偶數(shù)項(xiàng)和為 192，首項(xiàng)為 1，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，求此數(shù)列的末和 通項(xiàng)公式。 8、等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為， 20527,081 ???Sa，則的值為 9、 等差數(shù)列的公差為 2，若，則的值為 10、設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則等于……（ ） A、 B、 C、 D、 11、 已知兩個(gè)等差數(shù)列、 ，其前項(xiàng)和分別為 ，且，則使得 為正整數(shù)的個(gè)數(shù)是……（ ） 。 A、 2 B、 3 C、4 D、5 ★ 等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值問(wèn)題等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值問(wèn)題 例 7、在等差數(shù)列中，已知，前項(xiàng)和為，且，求當(dāng)取何值時(shí)， 取得最大值，并求出它的最大 值。 ※練習(xí)： 1、已知數(shù)列， （1）求證：是等差數(shù)列； （2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和為的最小值。 2、設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為已知。 （1）求公差的取值范圍； （2）中哪一個(gè)值最大？并說(shuō)明理由。 3、在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，若，則在， ，……，中最大的是……（ ） A、 B、 C、 D、 4、在等差數(shù)列中， ，且，若的前項(xiàng)和為，則的最大值是……（ ） A、17 B、 18 C、 19 D、20 5、(xx 四川理)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為_(kāi)__________。 6、已知是一個(gè)等差數(shù)列，且。 （1）求的通項(xiàng)公式 （2）求的前項(xiàng)和為的最大值