2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第3節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)（3）教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第3節(jié) 函數(shù)的基本性質(zhì)（3）教案 新人教A版必修1 教學(xué)分析　　　　　 本節(jié)討論函數(shù)的奇偶性是描述函數(shù)整體性質(zhì)的．教材沿用了處理函數(shù)單調(diào)性的方法，即先給出幾個特殊函數(shù)的圖象，讓學(xué)生通過圖象直觀獲得函數(shù)奇偶性的認識，然后利用表格探究數(shù)量變化特征，通過代數(shù)運算，驗證發(fā)現(xiàn)的數(shù)量特征對定義域中的“任意”值都成立，最后在這個基礎(chǔ)上建立了奇(偶)函數(shù)的概念．因此教學(xué)時，充分利用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，會使數(shù)與形的結(jié)合更加自然． 值得注意的問題：對于奇函數(shù)，教材在給出的表格中留出大部分空格，旨在讓學(xué)生自己動手計算填寫數(shù)據(jù)，仿照偶函數(shù)概念建立的過程，獨立地去經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、猜想與證明的全過程，從而建立奇函數(shù)的概念．教學(xué)時，可以通過具體例子引導(dǎo)學(xué)生認識，并不是所有的函數(shù)都具有奇偶性，如函數(shù)y＝與y＝2x－1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，可以通過圖象看出也可以用定義去說明． 三維目標(biāo)　　　　　 1．理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、抽象的能力，以及從特殊到一般的概括、歸納問題的能力． 2．學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，掌握判斷函數(shù)的奇偶性的方法，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 重點難點　　　　　 教學(xué)重點：函數(shù)的奇偶性及其幾何意義． 教學(xué)難點：判斷函數(shù)的奇偶性的方法與格式． 課時安排　　　　　 1課時 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1.同學(xué)們，我們生活在美的世界中，有過許多對美的感受，請大家想一下有哪些美呢？(學(xué)生回答可能有和諧美、自然美、對稱美……)今天，我們就來討論對稱美，請大家想一下哪些事物給過你對稱美的感覺呢？(學(xué)生舉例，再在屏幕上給出一組圖片：喜字、蝴蝶、建筑物、麥當(dāng)勞的標(biāo)志)生活中的美引入我們的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，它又是怎樣的情況呢？下面，我們以麥當(dāng)勞的標(biāo)志為例，給它適當(dāng)?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，那么大家發(fā)現(xiàn)了什么特點呢？(學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圖象關(guān)于y軸對稱)數(shù)學(xué)中對稱的形式也很多，這節(jié)課我們就同學(xué)們談到的與y軸對稱的函數(shù)展開研究． 思路2.結(jié)合軸對稱與中心對稱圖形的定義，請同學(xué)們觀察圖形，說出函數(shù)y＝x2和y＝x3的圖象各有怎樣的對稱性？引出課題：函數(shù)的奇偶性． 推進新課　　　　　 (1)如圖1所示，觀察下列函數(shù)的圖象，總結(jié)各函數(shù)之間的共性． 圖1 (2)那么如何利用函數(shù)的解析式描述函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱呢？填寫表1和表2，你發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)的解析式具有什么共同特征？ 表1 x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x2 表2 x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝|x| (3)請給出偶函數(shù)的定義？ (4)偶函數(shù)的圖象有什么特征？ (5)函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函數(shù)嗎？ (6)偶函數(shù)的定義域有什么特征？ (7)觀察函數(shù)f(x)＝x和f(x)＝的圖象，類比偶函數(shù)的推導(dǎo)過程，給出奇函數(shù)的定義和性質(zhì)？ 活動：教師從以下幾點引導(dǎo)學(xué)生： (1)觀察圖象的對稱性． (2)學(xué)生給出這兩個函數(shù)的解析式具有什么共同特征后，教師指出：這樣的函數(shù)稱為偶函數(shù)． (3)利用函數(shù)的解析式來描述． (4)偶函數(shù)的性質(zhì)：圖象關(guān)于y軸對稱． (5)函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1,2]的圖象關(guān)于y軸不對稱；對定義域[－1,2]內(nèi)x＝2，f(－2)不存在，即其函數(shù)的定義域中任意一個x的相反數(shù)－x不一定也在定義域內(nèi)，即f(－x)＝f(x)不恒成立． (6)偶函數(shù)的定義域中任意一個x的相反數(shù)－x一定也在定義域內(nèi)，此時稱函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱． (7)先判斷它們的圖象的共同特征是關(guān)于原點對稱，再列表格觀察自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值的變化情況，進而抽象出奇函數(shù)的概念，再討論奇函數(shù)的性質(zhì)． 給出偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義后，要指明：①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；②由函數(shù)的奇偶性定義，可知函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點對稱)；③具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；④可以利用圖象判斷函數(shù)的奇偶性，這種方法稱為圖象法，也可以利用奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性，這種方法稱為定義法；⑤函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的性質(zhì)，是“整體”性質(zhì)，而函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域的子集上的性質(zhì)，是“局部”性質(zhì)． 討論結(jié)果：(1)這兩個函數(shù)之間的圖象都關(guān)于y軸對稱． (2) 表1 X －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x2 9 4 1 0 1 4 9 表2 x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝|x| 3 2 1 0 1 2 3 這兩個函數(shù)的解析式都滿足： f(－3)＝f(3)； f(－2)＝f(2)； f(－1)＝f(1)． 可以發(fā)現(xiàn)對于函數(shù)定義域內(nèi)任意的兩個相反數(shù)，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，也就是說對于函數(shù)定義域內(nèi)任一個x，都有f(－x)＝f(x)． (3)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)． (4)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱． (5)不是偶函數(shù)． (6)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱． (7)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，其定義域關(guān)于原點對稱． 思路1 例1判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝x4； (2)f(x)＝x5； (3)f(x)＝x＋； (4)f(x)＝. 活動：學(xué)生思考奇偶函數(shù)的定義，利用定義來判斷其奇偶性．先求函數(shù)的定義域，并判斷定義域是否關(guān)于原點對稱，如果定義域關(guān)于原點對稱，那么再判斷f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)． 解：(1)函數(shù)的定義域是R，對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)， 所以函數(shù)f(x)＝x4是偶函數(shù)． (2)函數(shù)的定義域是R，對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)， 所以函數(shù)f(x)＝x5是奇函數(shù)． (3)函數(shù)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－f(x)， 所以函數(shù)f(x)＝x＋是奇函數(shù)． (4)函數(shù)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝＝＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝是偶函數(shù)． 點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性．函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，對定義域內(nèi)任意x，其相反數(shù)－x也在函數(shù)的定義域內(nèi)，此時稱為定義域關(guān)于原點對稱． 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： ①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱； ②確定f(－x)與f(x)的關(guān)系； ③作出相應(yīng)結(jié)論： 若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，則f(x)是偶函數(shù)； 若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，則f(x)是奇函數(shù)． 變式訓(xùn)練 設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是(　　) A．f(x)f(－x)是奇函數(shù) B．f(x)|f(－x)|是奇函數(shù) C．f(x)－f(－x)是偶函數(shù) D．f(x)＋f(－x)是偶函數(shù) 解析：A中設(shè)F(x)＝f(x)f(－x)，則F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)，即函數(shù)F(x)＝f(x)f(－x)為偶函數(shù)； B中設(shè)F(x)＝f(x)|f(－x)|，F(xiàn)(－x)＝f(－x)|f(x)|，此時F(x)與F(－x)的關(guān)系不能確定，即函數(shù)F(x)＝f(x)|f(－x)|的奇偶性不確定； C中設(shè)F(x)＝f(x)－f(－x)，F(xiàn)(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，即函數(shù)F(x)＝f(x)－f(－x)為奇函數(shù)； D中設(shè)F(x)＝f(x)＋f(－x)，F(xiàn)(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，即函數(shù)F(x)＝f(x)＋f(－x)為偶函數(shù)． 答案：D 例2已知函數(shù)f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)．當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)＝x－x4，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝__________. 活動：學(xué)生思考偶函數(shù)的解析式的性質(zhì)，考慮如何將在區(qū)間(0，＋∞)上的自變量對應(yīng)的函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為區(qū)間(－∞，0)上的自變量對應(yīng)的函數(shù)值．利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)＝f(－x)，將在區(qū)間(0，＋∞)上的自變量對應(yīng)的函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為區(qū)間(－∞，0)上的自變量對應(yīng)的函數(shù)值． 解析：當(dāng)x∈(0，＋∞)時，則－x<0. 又∵當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)＝x－x4， ∴f(x)＝f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4. 答案：－x－x4 點評：本題主要考查函數(shù)的解析式和奇偶性．已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的解析式時，要充分利用函數(shù)的奇偶性，將所求解析式的區(qū)間上自變量對應(yīng)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上自變量對應(yīng)的函數(shù)值． 變式訓(xùn)練 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋，求f(x)． 解：當(dāng)x＝0時，f(－0)＝－f(0)，則f(0)＝0； 當(dāng)x<0時，－x>0，由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則 f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋]＝－x2＋， 綜上所得，f(x)＝ 思路2 例1判斷下列函數(shù)的奇偶性． (1)f(x)＝2x4，x∈[－1,2]； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝. 活動：學(xué)生思考奇偶函數(shù)的定義和函數(shù)的定義域的求法．先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系．在(4)中注意定義域的求法，對任意x∈R，有>＝|x|≥－x，則＋x>0.則函數(shù)的定義域是R. 解：(1)∵它的定義域關(guān)于原點不對稱，∴函數(shù)f(x)＝2x4，x∈[－1,2]既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (2)∵它的定義域為{x|x∈R且x≠1}，并不關(guān)于原點對稱，函數(shù)f(x)＝既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (3)∵x2－4≥0且4－x2≥0， ∴x＝2， 即f(x)的定義域是{－2,2}． ∵f(2)＝0，f(－2)＝0， ∴f(2)＝f(－2)，f(2)＝－f(2)． ∴f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)． ∴f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)． (4)函數(shù)的定義域是R. ∵f(－x)＋f(x) ＝＋ ＝ ＝ ＝0， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)是奇函數(shù)． 點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性． 定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟是：(1)求函數(shù)的定義域，當(dāng)定義域關(guān)于原點不對稱時，則此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，當(dāng)定義域關(guān)于原點對稱時，判斷f(－x)與f(x)或－f(x)是否相等；(2)當(dāng)f(－x)＝f(x)時，此函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)f(－x)＝－f(x)時，此函數(shù)是奇函數(shù)；(3)當(dāng)f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)時，此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(4)當(dāng)f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)時，此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 判斷解析式復(fù)雜的函數(shù)的奇偶性時，如果定義域關(guān)于原點對稱時，通常化簡f(－x)＋f(x)來判斷f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立． 變式訓(xùn)練 　 函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，則函數(shù)g(x)＝在區(qū)間(1，＋∞)上一定(　　) A．有最小值　　　　　　　　　B．有最大值 C．是減函數(shù) D．是增函數(shù) 解析：函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a的對稱軸是直線x＝a， 由于函數(shù)f(x)在開區(qū)間(－∞，1)上有最小值， 所以直線x＝a位于區(qū)間(－∞，1)內(nèi)， 即a<1.g(x)＝＝x＋－2， 下面用定義法判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間(1，＋∞)上的單調(diào)性． 設(shè)11>0. 又∵a<1，∴x1x2>a. ∴x1x2－a>0. ∴g(x1)－g(x2)<0. ∴g(x1)1時f(x)>0，f(2)＝1， (1)求證：f(x)是偶函數(shù)； (2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)； (3)試比較f(－)與f()的大?。? 活動：(1)轉(zhuǎn)化為證明f(－x)＝f(x)，利用賦值法證明f(－x)＝f(x)；(2)利用定義法證明單調(diào)性，證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是“去比賽”；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較它們的大小，利用函數(shù)的奇偶性，將函數(shù)值f(－)和f()轉(zhuǎn)化為同一個單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)值． 解：(1)證明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. 令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0. ∴f(－1)＝0.∴f(－x)＝f(－1x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．∴f(x)是偶函數(shù)． (2)證明：設(shè)x2>x1>0，則 f(x2)－f(x1)＝f(x1)－f(x1)＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()． ∵x2>x1>0，∴>1.∴f()>0，即f(x2)－f(x1)>0. ∴f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． (3)由(1)知f(x)是偶函數(shù)，則有f(－)＝f()． 由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則f()>f()．∴f(－)>f()． 點評：本題是抽象函數(shù)問題，主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及其綜合應(yīng)用．判斷抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性通常應(yīng)用定義法，比較抽象函數(shù)值的大小通常利用抽象函數(shù)的單調(diào)性來比較．其關(guān)鍵是將所給的關(guān)系式進行有效的變形和恰當(dāng)?shù)馁x值． 變式訓(xùn)練 已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的不恒為零的函數(shù)，且對定義域內(nèi)的任意x，y，f(x)都滿足f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)． (1)求f(1)，f(－1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性，并說明理由． 分析：(1)利用賦值法，令x＝y(tǒng)＝1得f(1)的值，令x＝y(tǒng)＝－1，得f(－1)的值；(2)利用定義法證明f(x)是奇函數(shù)，要借助于賦值法得f(－x)＝－f(x)． 解：(1)∵f(x)對任意x，y都有f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)， ∴令x＝y(tǒng)＝1時，有f(11)＝1f(1)＋1f(1)． ∴f(1)＝0. ∴令x＝y(tǒng)＝－1時，有f[(－1)(－1)]＝(－1)f(－1)＋(－1)f(－1)．∴f(－1)＝0. (2)是奇函數(shù)． ∵f(x)對任意x，y都有f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y)， ∴令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)． 將f(－1)＝0代入得f(－x)＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù). 課本本節(jié)練習(xí)，1,2. [補充練習(xí)] 1．設(shè)函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，則f(1)＋f(2)＝__________. 解析：∵函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)． ∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.∴2[f(1)＋f(2)]＝－6.∴f(1)＋f(2)＝－3. 答案：－3 2．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域為[a－1,2a]，則a＝__________，b＝__________. 解析：∵偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，∴a－1＋2a＝0.∴a＝. ∴f(x)＝x2＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函數(shù)，∴b＝0. 答案：　0 3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為(　　) A．－1　　　　　　　B．0　　　　　　　C．1　　　　　　　D．2 解析：f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(2＋0)＝－f(0)． 又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0. ∴f(6)＝0.故選B. 答案：B 問題：基本初等函數(shù)的奇偶性． 探究：利用判斷函數(shù)的奇偶性的方法：定義法和圖象法，可得 正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)是奇函數(shù)； 反比例函數(shù)y＝(k≠0)是奇函數(shù)； 一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)，當(dāng)b＝0時是奇函數(shù)，當(dāng)b≠0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)； 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當(dāng)b＝0時是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． 本節(jié)主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性，判斷函數(shù)的奇偶性通常有兩種方法，即定義法和圖象法，用定義法判斷函數(shù)的奇偶性時，必須注意首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱． 課本習(xí)題1.3，A組，6，B組，3. 單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用是本節(jié)的一個難點，而本節(jié)設(shè)計的題目不多，因此，在實際教學(xué)中，教師可以利用課余時間補充，讓學(xué)生結(jié)合函數(shù)的圖象充分理解好單調(diào)性和奇偶性這兩個性質(zhì)．在教學(xué)設(shè)計中，注意培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，以便滿足高考要求． 奇、偶函數(shù)的性質(zhì) (1)奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱． (2)奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個x都必須成立． (3)f(－x)＝f(x)?f(x)是偶函數(shù)，f(－x)＝－f(x)?f(x)是奇函數(shù)． (4)f(－x)＝f(x)?f(x)－f(－x)＝0，f(－x)＝－f(x)?f(x)＋f(－x)＝0. (5)兩個奇函數(shù)的和(差)仍是奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)的和(差)仍是偶函數(shù)． 奇偶性相同的兩個函數(shù)的積(商、分母不為零)為偶函數(shù)，奇偶性相反的兩個函數(shù)的積(商、分母不為零)為奇函數(shù)；如果函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的奇偶性相同，那么復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]是偶函數(shù)，如果函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)的奇偶性相反，那么復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]是奇函數(shù)，簡稱為“同偶異奇”． (6)如果函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間(a，b)和(－b，－a)上具有相同的單調(diào)性；如果函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間(a，b)和(－b，－a)上具有相反的單調(diào)性． (7)定義域關(guān)于原點對稱的任意函數(shù)f(x)可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和，即f(x)＝＋. (8)若f(x)是(－a，a)(a＞0)上的奇函數(shù)，則f(0)＝0； 若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則f(x)＝f(－x)＝f(|x|)＝f(－|x|)． 若函數(shù)y＝f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則有f(x)＝0. 實習(xí)作業(yè) 作者：曹齊平，福鼎一中教師．本教學(xué)設(shè)計獲福建省教學(xué)大賽三等獎. 教學(xué)內(nèi)容分析　　　 《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)(1)》(人教A版)——《實習(xí)作業(yè)》．本節(jié)課程體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的特色，學(xué)生通過了解函數(shù)的發(fā)展歷史進一步感受數(shù)學(xué)的魅力．學(xué)生在自己動手收集、整理資料信息的過程中，對函數(shù)的概念有更深刻的理解，感受新的學(xué)習(xí)方式帶給他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣． 學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析　 該內(nèi)容在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)(1)》(人教A版)第一章末．學(xué)生第一次完成《實習(xí)作業(yè)》，積極性高，有熱情和新鮮感，但缺乏經(jīng)驗，所以需要教師精心設(shè)計，作好準(zhǔn)備工作，充分體現(xiàn)教師的“導(dǎo)演”角色．特別在分組時注意學(xué)生的合理搭配(成績的好壞、家庭有無電腦、男女生比例、口頭表達能力等)，選題時，各組之間盡量不要重復(fù)，盡量多地選不同的題目，可以讓所有的學(xué)生在學(xué)習(xí)共享的過程中受到更多的數(shù)學(xué)文化的熏陶． 設(shè)計思想 《標(biāo)準(zhǔn)》強調(diào)數(shù)學(xué)文化的重要作用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的價值．?dāng)?shù)學(xué)教育不僅應(yīng)該幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識和技能，還應(yīng)該有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)的價值．讓學(xué)生逐步了解數(shù)學(xué)的思想方法、理性精神，體會數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神． 教學(xué)目標(biāo) 1．了解函數(shù)概念的形成、發(fā)展的歷史以及在這個過程中起重大作用的歷史事件和人物． 2．體驗合作學(xué)習(xí)的方式，通過合作學(xué)習(xí)品嘗分享獲得知識的快樂． 3．在合作形式的小組學(xué)習(xí)活動中培養(yǎng)學(xué)生的領(lǐng)導(dǎo)意識、社會實踐技能和民主價值觀． 重點難點 教學(xué)重點：了解函數(shù)在數(shù)學(xué)中的核心地位，以及在生活中的廣泛應(yīng)用． 教學(xué)難點：培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力以及收集和處理信息的能力． 課堂準(zhǔn)備　　　　　 1．分組：4～6人為一個實習(xí)小組，確定一人為組長．教師需要做好協(xié)調(diào)工作，確保每位學(xué)生都參加． 2．選題：根據(jù)個人興趣初步確定實習(xí)作業(yè)的題目．教師應(yīng)該到各組中去了解選題情況，盡量多地選擇不同的題目． 參考題目：(1)函數(shù)產(chǎn)生的社會背景；(2)函數(shù)概念發(fā)展的歷史過程；(3)函數(shù)符號的故事；(4)數(shù)學(xué)家(如：開普勒、伽利略、笛卡兒、牛頓、萊布尼茲、貝努利、歐拉、柯西、狄里克雷、羅巴契夫斯基等)與函數(shù)；(5)也可自擬題目． 3．分配任務(wù)：根據(jù)個人情況和優(yōu)勢，經(jīng)小組共同商議，由組長確定每人的具體任務(wù)． 4．搜集資料：針對所選題目，通過各種方式(相關(guān)書籍——《函數(shù)在你身邊》《世界函數(shù)通史》《世界著名科學(xué)家傳記》等；相關(guān)網(wǎng)頁——pep.cn、http：//i3721/cz/tbjak/qnj/bsdb8njsxxc/xx05/43459.html等)搜集素材，包括文字、圖片、數(shù)據(jù)以及音像資料等，并記錄相關(guān)資料，寫出實習(xí)報告． 實習(xí)報告　　　　　年　月　日 題目 組長及參加人員 教師審核意見及等級 正文 備注 (指出參考文獻或相關(guān)網(wǎng)頁) 5．投影儀、多媒體． 6．把各組的實習(xí)報告，貼在班級的學(xué)習(xí)欄內(nèi)，讓學(xué)生相互學(xué)習(xí)交流． 教學(xué)過程　　　　　 1．出示課題：交流、分享實習(xí)報告． 2．交流、分享：(由數(shù)學(xué)科代表主持．小組推薦中心發(fā)言人；以下記錄均為發(fā)言概述) (1)學(xué)生1：函數(shù)小史 數(shù)學(xué)史表明，重要的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展，對數(shù)學(xué)發(fā)展起著不可估量的作用．有些重要的數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生起著奠定性的作用．我們剛學(xué)過的函數(shù)就是這樣的重要概念．在笛卡兒引入變量以后，變量和函數(shù)等概念日益滲透到科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域．最早提出函數(shù)(function)概念的是17世紀德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲．最初萊布尼茲用“函數(shù)”一詞表示冪.1755年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉給出了不同的函數(shù)定義．中文數(shù)學(xué)書上使用的“函數(shù)”一詞是轉(zhuǎn)譯詞，是我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》(1895年)一書時，把“function”譯成“函數(shù)”的． 我們可以預(yù)計到，關(guān)于函數(shù)的爭論、研究、發(fā)展、拓廣將不會完結(jié)，也正是這些影響著數(shù)學(xué)及其相鄰學(xué)科的發(fā)展． (2)教師帶頭鼓掌并簡單評價． (3)學(xué)生2：函數(shù)概念的縱向發(fā)展： 該同學(xué)從早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)到十八世紀函數(shù)概念——代數(shù)觀念下的函數(shù)，其中包括18世紀中葉著名的數(shù)學(xué)家歐拉對函數(shù)概念發(fā)展的貢獻．接著又講述了十九世紀函數(shù)概念——對應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)．以及現(xiàn)代函數(shù)概念——集合論下的函數(shù)．函數(shù)概念的定義經(jīng)過三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式． (4)教師帶頭鼓掌并簡單評價． (5)學(xué)生3：我國數(shù)學(xué)家李國平與函數(shù)： 學(xué)生3描述了數(shù)學(xué)家、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部委員——李國平(1910—1996)的身世和他的成長歷程．李國平，1933年畢業(yè)于中山大學(xué)數(shù)學(xué)天文系，后歷任中國科學(xué)院數(shù)學(xué)計算技術(shù)研究所所長，中國科學(xué)院武漢數(shù)學(xué)物理研究所所長，中國數(shù)學(xué)會理事，中國科學(xué)院學(xué)部委員等職務(wù)．學(xué)生還通俗地講述了李國平先生在微分方程、復(fù)變函數(shù)論領(lǐng)域的卓越貢獻． (6)教師帶頭鼓掌并簡單評價． (7)學(xué)生4：函數(shù)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響： 該學(xué)生從歷史上重要數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的事實出發(fā)，講述了函數(shù)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的深刻影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對函數(shù)概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大作用． 函數(shù)概念來源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究．由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當(dāng)研究，所以函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽．該學(xué)生說道，早在函數(shù)概念尚未明確提出以前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù)，比如對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等.1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義． 從以上函數(shù)概念發(fā)展的全過程中，我們體會到聯(lián)系實際、聯(lián)系大量數(shù)學(xué)素材，研究、發(fā)掘、拓廣數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是何等重要． (8)教師帶頭鼓掌并簡單評價． (9)學(xué)生5：函數(shù)概念的歷史演變過程： 該學(xué)生說，數(shù)學(xué)的抽象完全舍棄了事物的質(zhì)的內(nèi)容，而僅僅保留了它們的量的屬性，即數(shù)學(xué)抽象的目的只是數(shù)量關(guān)系和空間形式．這就決定了數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)的區(qū)別，也決定了數(shù)學(xué)的特殊性．如果在兩個集合元素之間存在著確定的對應(yīng)關(guān)系，就稱為是一個映射． 上述函數(shù)概念的歷史演變過程就是一系列弱抽象的過程．學(xué)生展示了下表： (10)教師帶頭鼓掌并簡單評價． 3．實習(xí)作業(yè)的評定： 實習(xí)作業(yè)評價參考意見 級別 標(biāo)準(zhǔn) 很好 1.小組配合默契(有計劃、任務(wù)分配合理、每人積極認真)； 2．報告材料豐富、可靠，線索清晰； 3．擁有自己的獨立見解． 好 1.小組配合良好； 2．報告材料豐富、可靠，線索較清晰； 3．有一定的獨立見解． 一般 1.小組配合一般； 2．報告材料一般、線索基本清晰； 3．有一定的分析． 較差 1.小組配合欠佳； 2．報告材料貧乏、線索不夠清晰. 實習(xí)作業(yè)是新課程的一個亮點，是培養(yǎng)學(xué)生的團隊精神，體驗合作學(xué)習(xí)的方式的重要途徑．但事實上，實習(xí)作業(yè)很容易被教師忽視，所以想通過該教學(xué)設(shè)計引起教師們的重視．在高一剛開始的時候，如何做好第一次實習(xí)作業(yè)，是很關(guān)鍵的．就目前的學(xué)校條件和學(xué)生情況，是完全可以做好實習(xí)作業(yè)的，事實證明學(xué)生做得很好．可以通過這次實習(xí)作業(yè)，讓學(xué)生體驗合作學(xué)習(xí)的方式，通過合作學(xué)習(xí)品嘗分享獲得知識的快樂．再者，通過對數(shù)學(xué)家的了解，感受數(shù)學(xué)家的精神，增加學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)．