2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（含解析）北師大版選修1-1.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（含解析）北師大版選修1-1 一、選擇題 1．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．雙曲線　　　　 B．雙曲線的左支 C．一條射線 D．雙曲線的右支 【解析】　本題容易犯片面性錯(cuò)誤，從而根據(jù)雙曲線的定義而得出錯(cuò)誤結(jié)果．由于|PM|－|PN|＝4，恰好等于這兩個(gè)定點(diǎn)間的距離，故其軌跡是一條射線． 【答案】　C 2．已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)F2(－，0)，點(diǎn)P位于該雙曲線上，線段PF2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則該雙曲線方程為(　　) A.－y2＝1 B．x2－＝1 C.－＝1 D．－＝1 【解析】　易知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，4)，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入選項(xiàng)中的方程只有B適合． 【答案】　B 3．已知P是雙曲線－＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　) A．1或5 B．6 C．7 D．9 【解析】　由題意a＝2，∴||PF1|－|PF2||＝4.∴|PF2|＝7. 【答案】　C 4．與橢圓＋y2＝1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)Q(2,1)的雙曲線方程是(　　) A.－y2＝1 B．－y2＝1 C.－＝1 D．x2－＝1 【解析】　∵c2＝4－1＝3，∴共同焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)， 設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則由 解得 ∴雙曲線方程為－y2＝1. 【答案】　A 5．F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1和雙曲線－y2＝1的公共焦點(diǎn)，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則cos∠F1PF2等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 【解析】　不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，|PF1|－|PF2|＝2，　 ① 由橢圓的定義，|PF1|＋|PF2|＝2.　 ② 由①②可得，|PF1|＝＋，|PF2|＝－， ∵|F1F2|＝4， ∴cos∠F1PF2＝＝. 【答案】　B 二、填空題 6．雙曲線5x2＋ky2＝5的一個(gè)焦點(diǎn)是(2,0)，那么k＝________. 【解析】　方程可化為x2－＝1， ∴＝2，解得k＝－. 【答案】　－ 7．(xx北京高考)設(shè)雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為(－，0)，(，0)，一個(gè)頂點(diǎn)是(1,0)，則C的方程為_(kāi)_______． 【解析】　由題意，設(shè)雙曲線的方程為x2－＝1(b＞0)，又∵1＋b2＝()2，∴b2＝1，即雙曲線C的方程為x2－y2＝1. 【答案】　x2－y2＝1 8．已知F是雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為_(kāi)_____． 【解析】　設(shè)右焦點(diǎn)為F′，由題意知F′(4,0)，根據(jù)雙曲線的定義，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，即需滿足P、F′、A三點(diǎn)共線，最小值為4＋|F′A|＝4＋＝9. 【答案】　9 三、解答題 9．若雙曲線－＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，|F1F2|＝10，P為雙曲線上一點(diǎn)，|PF1|＝2|PF2|，PF1⊥PF2，求此雙曲線的方程． 【解】　∵|F1F2|＝10， ∴2c＝10，c＝5. 又∵|PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a. 在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， ∴4a2＋16a2＝100. ∴a2＝5.則b2＝c2－a2＝20. 故所求的雙曲線方程為－＝1. 10．已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程． 【解】　設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，由于動(dòng)圓與圓C1相外切，所以|MC1|＝r＋，又動(dòng)圓與圓C2相內(nèi)切，所以有|MC2|＝r－，于是|MC1|－|MC2|＝(r＋)－(r－)＝2，且2<|C1C2|，因此動(dòng)圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支． 設(shè)其方程為－＝1，則有2a＝2，即a＝， 又c＝4，∴b2＝c2－a2＝16－2＝14， 于是動(dòng)圓圓心的軌跡方程為－＝1(x≥)． 1．已知F1、F2為雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線的右支上，則|AP|＋|AF2|的最小值為(　　) A.＋4 B．－4 C.－2 D．＋2 【解析】　如圖所示，連接F1P交雙曲線右支于點(diǎn)A0. ∵|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2， ∴要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值． 當(dāng)A落在A0處時(shí)，|AP|＋|AF1|＝|PF1|最小，最小值為，∴|AP|＋|AF2|的最小值為－2. 【答案】　C 2．若點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為(　　) A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞) C. D． 【解析】　由a2＋1＝4，得a＝，則雙曲線方程為 －y2＝1. 設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則－y＝1，即y＝－1. ＝x0(x0＋2)＋y＝x＋2x0＋－1 ＝－，∵x0≥， 故的取值范圍是[3＋2，＋∞)，故選B. 【答案】　B 3．與橢圓＋y2＝1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)Q(2,1)的雙曲線方程是________. 【解析】　∵c2＝4－1＝3，∴共同焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，則由 解得 ∴雙曲線方程為－y2＝1. 【答案】　－y2＝1 4．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，試就k的不同取值討論方程所表示的曲線類型． 【解】　(1)當(dāng)k＝0時(shí)，方程變?yōu)閥＝2，表示兩條與x軸平行的直線； (2)當(dāng)k＝1時(shí)，方程變?yōu)閤2＋y2＝4，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓； (3)當(dāng)k<0時(shí)，方程變?yōu)椋?，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線． (4)當(dāng)01時(shí)，方程變?yōu)椋?，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.