2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（含解析）北師大版選修1-1.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（含解析）北師大版選修1-1 一、選擇題 1．等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(－6,0)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 【解析】　設(shè)等軸雙曲線方程為－＝1(a＞0)． ∴a2＋a2＝62，∴a2＝18. 故雙曲線方程為－＝1. 【答案】　B 2．若雙曲線x2＋ky2＝1的離心率是2，則實(shí)數(shù)k的值是(　　) A．－3 B． C．3 D．－ 【解析】　雙曲線x2＋ky2＝1可化為＋＝1，故離心率e＝＝2，解得k＝－. 【答案】　D 3．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的倍，且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 【解析】　由頂點(diǎn)在y軸上得該雙曲線焦點(diǎn)位于y軸，排除A、D，B項(xiàng)，a＝2，b＝2，c＝2，∴2a＋2b＝2c符合題意． 【答案】　B 4．雙曲線－＝1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，則r＝(　　) A. B．2 C．3 D．6 【解析】　雙曲線的漸近線方程為y＝x，圓心坐標(biāo)為(3,0)，由點(diǎn)到直線的距離公式與漸近線與圓相切得，圓心到漸近線的距離為r，且r＝＝. 【答案】　A 5．雙曲線－＝1和橢圓＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a、b、m為邊長(zhǎng)的三角形是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 【解析】　雙曲線的離心率e1＝，橢圓的離心率e2＝，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形為直角三角形． 【答案】　B 二、填空題 6．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m＝________. 【解析】　∵2a＝2,2b＝2，∴ ＝2， ∴m＝－. 【答案】?。? 7．若雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸，離心率e＝，則其漸近線方程為_(kāi)_______． 【解析】　由于焦點(diǎn)在y軸，則漸近線方程為y＝x. 而e＝＝，則＝－1＝，＝， ∴漸近線方程為y＝x. 【答案】　y＝x 8．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作等邊△MF1F2.若雙曲線恰好平分三角形的另兩邊，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______． 【解析】　如圖，點(diǎn)N為MF2的中點(diǎn)，且在雙曲線上，利用雙曲線的定義即可求解． |F1N|＝c，|NF2|＝c. 又∵|NF1|－|NF2|＝2a， 即c－c＝2a.∴e＝＝＝＋1. 【答案】?。? 三、解答題 9．求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為y＝x； (2)求與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn)M(2，－2)的雙曲線方程． 【解】　(1)設(shè)以y＝x為漸近線的雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)， 當(dāng)λ>0時(shí)，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝； 當(dāng)λ<0時(shí)，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1和－＝1. (2)設(shè)與雙曲線－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為－y2＝λ(λ≠0)， 將點(diǎn)(2，－2)代入雙曲線方程， 得λ＝－(－2)2＝－2. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 10．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程． 【解】　橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)， 因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5. 設(shè)雙曲線G的方程為－＝1(a＞0，b＞0)， ∴漸近線方程為bxay＝0，且a2＋b2＝25， 又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3. ∴＝3，得a＝3，b＝4， ∴雙曲線G的方程為－＝1. [能力提升] 1．設(shè)a，b是關(guān)于t的方程t2cos θ＋tsin θ＝0的兩個(gè)不等實(shí)根，則過(guò)A(a，a2)，B(b，b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線－＝1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　由根與系數(shù)的關(guān)系，得a＋b＝－tan θ，ab＝0，則a，b中必有一個(gè)為0，另一個(gè)為－tan θ.不妨設(shè)A(0,0)，B(－tan θ，tan2 θ)，則直線AB的方程為y＝－xtan θ.根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得雙曲線的漸近線方程為y＝xtan θ，顯然直線AB是雙曲線的一條漸近線，所以直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)． 【答案】　A 2．設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為(　　) A.　　B.　　C.　　D. 【解析】　設(shè)雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，而kBF＝－， ∴＝－1，整理得b2＝ac. ∴c2－a2－ac＝0，兩邊同除以a2，得e2－e－1＝0， 解得e＝或e＝(舍去)，故選D. 【答案】　D 3．設(shè)雙曲線－＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過(guò)點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB面積為_(kāi)_______. 【解析】　A(3,0)，F(xiàn)(5,0)，取過(guò)F平行于漸近線y＝x的直線，則方程為y＝(x－5)． 由得B. ∴△AFB的面積S＝(5－3)＝. 【答案】　 4．已知雙曲線3x2－y2＝3，直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2，且傾斜角為45，與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)A、B兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上？并求弦AB的長(zhǎng)． 【解】　雙曲線方程可化為－＝1， c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2. ∴F2(2,0)，又l的斜率為1. ∴直線l的方程為y＝x－2， 代入雙曲線方程，得2x2＋4x－7＝0. 設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)， ∵x1x2＝－<0， ∴A、B兩點(diǎn)不位于雙曲線的同一支上． ∵x1＋x2＝－2，x1x2＝－， ∴|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝＝6.