2019-2020年高三上學期第一次月考 數(shù)學（理）.doc

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2019-2020年高三上學期第一次月考 數(shù)學（理） 一、選擇題（每小題5分，共60分） 1．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上為增函數(shù)的是（ ） A. B. C. D. 2．設，則“”是“”的(　　)條件 A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3．已知函數(shù)為奇函數(shù),且當時, ,則 ( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 4．下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5．已知，則（ ） A. B. C. D. 6．已知函數(shù)的最小正周期為，若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（ ） A. B. C. D. 7．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若， ， ，則的大小關系為( ) A. B. C. D. 8．已知， ，那么“”是“ ”的（ ） . 充分不必要條件 . 必要不充分條件 . 充要條件 . 既不充分也不必要條件 9．設函數(shù)的導函數(shù)為，若為偶函數(shù)，且在上存在極大值，則的圖象可能為（ ） A. B. C. D. 10．定義在上的函數(shù)滿足，當時， ，則下列不等式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 11．已知（， ， ）是定義域為的奇函數(shù)，且當時， 取得最小值，當取最小正數(shù)時， 的值為（ ） A. B. C. D. 12．已知函數(shù)滿足，當時， ，若在區(qū)間上，方程只有一個解，則實數(shù)的取值范圍為( ) A. B. C. D. 二、填空題(每小題5分，共20分) 13．已知，則__________． 14．＝________________。 15．已知，在函數(shù)與的圖象的交點中，距離最短的兩個交點的距離為，則值為__________． 16．設函數(shù)在上的導函數(shù)為，對有，且在上有，若，則實數(shù)的取值范圍是__________． 三、解答題(共6道小題，共70分) 17．（本小題滿分10分）設命題：實數(shù)滿足，其中；命題：實數(shù)滿足. （1）若，且為真，求實數(shù)的取值范圍； （2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍. 18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)， （I）求的最大值和對稱中心坐標； (Ⅱ)討論在上的單調性。 19．（本小題滿分12分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示. （1） 求函數(shù)的解析式； （2） 如何由函數(shù)的通過適當圖象的變換得到函數(shù)的圖象， 寫出變換過程; （3） 若，求的值. 20．（本小題滿分12分）設函數(shù)． （Ⅰ）當(為自然對數(shù)的底數(shù))時，求的極小值； （Ⅱ）若對任意正實數(shù)、（），不等式恒成立，求的取值范圍． 21．（本小題滿分12分）函數(shù). （I）函數(shù)在點處的切線與直線垂直，求a的值； （II）討論函數(shù)的單調性； （III）不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍. 22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)對任意實數(shù)恒有，且當時，，又. (1)判斷的奇偶性； (2)求證：是R上的減函數(shù)； (3)求在區(qū)間[－3,3]上的值域； (4)若?x∈R，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 1．C 【解析】A中函數(shù)是奇函數(shù)，但是在單調遞減，不符。B是偶函數(shù)。D是非奇非偶函數(shù)。C中是奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)。選C. 2．A 【解析】由“|x+1|＜1”得-2＜x＜0， 由x2+x﹣2＜0得-2＜x＜1， 即“”是“”的充分不必要條件， 故選：A． 3．A 【解析】∵函數(shù)為奇函數(shù)，且當時， ，∴， 故選：A 4．D 【解析】利用排除法逐一考查所給的選項： A中，當時等式不成立； B中，當時等式不成立； C中，當時等式不成立； 本題選擇D選項. 5．C 【解析】由中， ，得到，由中，得到，即，則，故選C. 6．C 【解析】由函數(shù)的最小正周期為可知： ，即， 將函數(shù)的圖象向右平移個單位，可得： ， 故選：C 7．C 【解析】由題意： ， 且： ， 據(jù)此： ， 結合函數(shù)的單調性有： ， 即. 本題選擇C選項. 【考點】 指數(shù)、對數(shù)、函數(shù)的單調性 【名師點睛】比較大小是高考常見題，指數(shù)式、對數(shù)式的比較大小要結合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調性進行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調性數(shù)形結合不僅能比較大小，還可以解不等式. 8．B 【解析】 ∵ ，解得 故是“ ”的必要不充分條件 故選B． 9．C 【解析】根據(jù)題意,若f(x)為偶函數(shù),則其導數(shù)f′(x)為奇函數(shù)， 結合函數(shù)圖象可以排除B. D， 又由函數(shù)f(x)在(0,1)上存在極大值,則其導數(shù)圖象在(0,1)上存在零點，且零點左側導數(shù)值符號為正，右側導數(shù)值符號為負， 結合選項可以排除A， 只有C選項符合題意； 本題選擇C選項. 10．A 【解析】函數(shù)的周期為，當時， 時， ，故函數(shù)在上是增函數(shù)， 時， ，故函數(shù)在上是減函數(shù)，且關于 軸對稱，又定義在上的滿足，故函數(shù)的周期是，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且關于 軸對稱，觀察四個選項選項中 ，，故選A. 11．B 【解析】∵（， ， ）是定義域為的奇函數(shù)， ∴， ，∴.則, 當時， 取得最小值, 故， ，∴， ，∴取最小正數(shù)為，此時： ， ∴函數(shù)的最小正周期為12，且， ， 又，∴。 故選：B. 點睛： 為奇函數(shù)等價于， 為偶函數(shù)等價于， 為偶函數(shù)等價于， ； 為奇函數(shù)等價于， . 12．B 【解析】 當時，則，故，所以 ，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像和函數(shù)的圖像如圖，結合圖像可知：當，即時，兩函數(shù)的圖像只有一個交點；當時，兩函數(shù)的圖像也只有一個交點，故所求實數(shù)的取值范圍是，應選答案B。 13．-3 【解析】 14． 【解析】. 15． 【解析】由題意，令， ，則，所以， ，即，當， ；當， ，如圖所示，由勾股定理得，解得. 16． 【解析】令，所以，則為奇函數(shù) . 時，，由導函數(shù)存在及對稱性知：在上遞減 . ， ，解得：.則實數(shù)的取值范圍是 17．(1) (2) 【解析】試題分析：（1）先根據(jù)因式分解求命題p為真時實數(shù)的取值范圍，解分式不等式得為真時實數(shù)的取值范圍，再求兩者交集得為真時實數(shù)的取值范圍（2）由逆否命題與原命題等價得是的充分不必要條件，即是的一個真子集，結合數(shù)軸得實數(shù)的取值條件，解得取值范圍 試題解析：解：（1）由得， 又，所以， 當時， ，即為真時實數(shù)的取值范圍是. 為真時等價于，得， 即為真時實數(shù)的取值范圍是. 若為真，則真且真，所以實數(shù)的取值范圍是. （2）是的充分不必要條件，即，且，等價于，且， 設， ，則； 則，且所以實數(shù)的取值范圍是. 點睛：充分、必要條件的三種判斷方法． 1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結合，例如“? ”為真，則是的充分條件． 2．等價法：利用? 與非?非， ? 與非?非， ? 與非?非的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法． 3．集合法：若? ，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件． 18．(Ⅰ) 最大值為，對稱中心為： ；(Ⅱ) 遞增區(qū)間： 和；遞減區(qū)間： . 【解析】試題分析：（1）由正弦的倍角公式和降冪公式，f(x)可化簡為，可知最大值為2，對稱中心由，解得x可求。（2）先求得f(x)最大增區(qū)間與減區(qū)間，再與做交，即可求得單調性。 試題解析：(Ⅰ) ，所以最大值為，由，解得x=,r所以對稱中心為： ； (Ⅱ)先求f(x)的單調增區(qū)間，由，解得，在上的增區(qū)間有和。 同理可求得f(x)的單調減區(qū)間，，在上的減速區(qū)間有. 遞增區(qū)間： 和；遞減區(qū)間： . 19．（1）（2）見解析（3） 【解析】試題分析：（1）直接由函數(shù)圖象求得和周期，再由周期公式求得ω，由五點作圖的第三點求； （2）由先平移后改變周期和先改變周期后平移兩種方法給出答案； （3）由求出，然后把轉化為余弦利用倍角公式得答案． 試題解析: 解：（1）. （2）法1：先將的圖象向左平移個單位，再將所得圖象縱坐標不變，橫坐標壓縮為原來的倍，所得圖象即為的圖象. 法2：先將的圖象縱坐標不變，橫坐標壓縮為原來的倍，再將所得圖象向左平移個單位，，所得圖象即為的圖象. （3）由, 得： ， 而. 點睛：圖象變換 (1)振幅變換 (2)周期變換 (3)相位變換 (4)復合變換 20．(Ⅰ) 取極小值為；(Ⅱ) . 【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值； （Ⅱ）構造函數(shù)，可知為上為減函數(shù). 所以對任意恒成立，可求 的取值范圍． 試題解析;（Ⅰ）時， ， 所以在上單調遞減，在上單調遞增， 故當時， 取極小值為。 （Ⅱ）不妨設，則有，即， 構造函數(shù)，所以，所以為上為減函數(shù). 所以對任意恒成立 即. 21．（I）（II）當時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調遞增； 當時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調遞增；在區(qū)間上單調遞減；在區(qū)間上單調遞增（III）． 【解析】 試題分析：（I）求導，利用導數(shù)的幾何意義與兩直線垂直的判定進行求解；（II）求導，討論二次方程的根的個數(shù)、根的大小關系，進而判定其單調性；（III）分離常數(shù)，轉化為求函數(shù)的求值問題. 試題解析：（I）函數(shù)定義域為,， 1分 ，由題意，解得. 4分 （II）， 令，， （i）當時，，,，函數(shù)f(x) 在上單調遞增； （ii）當時，，,函數(shù)f(x) 在上單調遞增； （iii）當時，， 在區(qū)間上，,，函數(shù)f(x)單調遞增；在區(qū)間上，,，函數(shù)f(x)單調遞減；在區(qū)間上，,，函數(shù)f(x)單調遞增； （iv）當時，，在區(qū)間上，，，函數(shù)f(x)單調遞增. 8分 綜上所述：當時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調遞增； 當時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調遞增；在區(qū)間上單調遞減；在區(qū)間上單調遞增. 9分 法二：（i）當時，恒成立，函數(shù)f(x)在上單調遞增； ，令，， （ii）當時，，，函數(shù)f(x)在上單調遞增； （iii）當時，， 在區(qū)間上，，函數(shù)f(x) 單調遞增；在區(qū)間上，，，函數(shù)f(x)單調遞減；在區(qū)間上，，函數(shù)f(x) 單調遞增. 8分 綜上所述：當時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調遞增； 當時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調遞增；在區(qū)間上單調遞減；在區(qū)間上單調遞增. 9分 法三：因為x>0，. （i）當時，在區(qū)間上函數(shù)f(x) 單調遞增； （ii）當時，， 在區(qū)間上，，函數(shù)f(x) 單調遞增；在區(qū)間上，，函數(shù)f(x) 單調遞減；在區(qū)間上，，函數(shù)f(x) 單調遞增. 8分 綜上所述：當時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調遞增； 當時，函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調遞增；在區(qū)間上單調遞減；在區(qū)間上單調遞增. 9分 （III）不等式在區(qū)間上恒成立等價于. 10分 令， ， 在區(qū)間上，，函數(shù)g(x)為減函數(shù)； 在區(qū)間上，，函數(shù)g(x)為增函數(shù)； 12分 得， 所以實數(shù)的范圍是． 考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.函數(shù)的單調性；3.不等式很犀利問題；4.分類討論思想. 22．（1）奇函數(shù) （2）見解析 （3）[－6,6] （4）(，＋∞) 【解析】解：(1)取x＝y(tǒng)＝0，則f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0. 取y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)， ∴f(－x)＝－f(x)對任意x∈R恒成立，∴f(x)為奇函數(shù)． (2)證明： 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x10，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0， ∴f(x2)<－f(－x1)，又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(x1)>f(x2)． ∴f(x)是R上的減函數(shù)． (3)由(2)知f(x)在R上為減函數(shù)， ∴對任意x∈[－3,3]，恒有f(3)≤f(x)≤f(－3)， ∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－23＝－6， ∴f(－3)＝－f(3)＝6，f(x)在[－3,3]上的值域為[－6,6]． (4)f(x)為奇函數(shù)，整理原式得f(ax2)＋f(－2x)x－2， 當a＝0時，－2x>x－2在R上不是恒成立，與題意矛盾； 當a>0時，ax2－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，則Δ＝9－8a<0，即a>； 當a<0時，ax2－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合題意． 綜上所述，a的取值范圍為(，＋∞)．