2019-2020年高中數(shù)學 第三課時 兩角和與差的正切教案 蘇教版必修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 第三課時 兩角和與差的正切教案 蘇教版必修4 教學目標: 掌握T(α+β),T(α-β)的推導及特征,能用它們進行有關求值、化簡;提高學生簡單的推理能力,培養(yǎng)學生的應用意識,提高學生的數(shù)學素質(zhì). 教學重點: 兩角和與差的正切公式的推導及特征. 教學難點: 靈活應用公式進行化簡、求值. 教學過程: Ⅰ.復習回顧 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(S(α+β)) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(S(α-β)) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(C(α+β)) cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β)) 要準確把握上述各公式的結構特征. Ⅱ.講授新課一、推導公式 上述公式結合同角三角函數(shù)的基本關系式,我們不難得出: 當cos(α+β)≠0時 tan(α+β)== 如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0,我們可以 將分子、分母都除以cosαcosβ,從而得到: tan(α+β)= 不難發(fā)現(xiàn),這一式子描述了兩角α與β的和的正切與這兩角的正切的關系. 同理可得:tan(α-β)= 或?qū)⑸鲜街械摩掠茫麓?,也可得到此? 這一式子又描述了兩角α與β的差的正切與這兩角的正切的關系. 所以,我們將這兩式分別稱為兩角和的正切公式、兩角差的正切公式, 簡記為T(α+β),T(α-β). 但要注意:運用公式T(αβ)時必須限定α、β、αβ都不等于+kπ(k∈Z),因為tan(+kπ)不存在. 下面我們看一下它們的應用 二、例題講解 [例1]不查表求tan75,tan15的值. 解:tan75=tan(45+30) ===2+ tan15=tan(45-30) ===2- [例2]求下列各式的值 (1) (2) (1)分析:觀察題目結構,聯(lián)想學過的公式,不難看出可用兩角差的正切公式. 解:=tan(71-26)=tan45=1 (2)分析:雖不可直接使用兩角和的正切公式,但經(jīng)過變形可使用之求解. 解:由tan150=tan(75+75)= 得:=2 =2=2cot150=2cot(180-30)=-2cot30=-2 說明:要熟練掌握公式的結構特征,以靈活應用. [例3]利用和角公式計算的值. 分析:因為tan45=1,所以原式可看成 這樣,我們可以運用正切的和角公式,把原式化為tan(45+15),從而求得原式的值. 解:∵tan45=1 ∴==tan(45+15)=tan60= 說明:在解三角函數(shù)題目時,要注意“1”的妙用. [例4]若tan(α+β)=,tan(β-)=,求tan(α+)的值. 分析:注意已知角與所求角的關系,則可發(fā)現(xiàn)(α+)+(β-)=α+β,所以可將α+化為(α+β)-(β-),從而求得tan(α+)的值. 解:tan(α+)=tan[(α+β)-(β-)] = 將tan(α+β)=,tan(β-)=代入上式,則,原式== [例5]已知tanα=,tan(α-β)=-,求tan(β-2α). 解:∵α+(α-β)=2α-β ∴tan(β-2α)=tan[-(2α-β)] =-tan(2α-β)=-tan[α+(α-β)] ===- 4.證明tan-tan= 分析:細心觀察已知等式中的角,發(fā)現(xiàn)它們有隱含關系:+=2x,-=x ∴sinx=sincos-cossin ① cosx+cos2x=2coscos ② ①②即得: =-=tan-tan. Ⅲ.課堂練習 1.化簡下列各式 (1)tan(α+β)(1-tanαtanβ) (2) -1 (3) 解:(1)tan(α+β)(1-tanαtanβ) =(1-tanαtanβ)=tanα+tanβ (2) -1=-1 =1+tanαtanβ-1=tanαtanβ (3) =tan[(α-β)+β]=tanα 說明:這一題目若將tan(α-β)用兩角差的正切公式展開,則誤入歧途,要注意整體思想. 2.求值: (1) (2) (3)tan21(1+tan24)+tan24 解:(1) =tan(35+25)=tan60= (2) =tan(86-26)=tan60= (3)分析:因為tan21=tan(45-24)= 又因為tan45=1 所以,1+tan24=1+tan45tan24 這樣,可將原式化為: tan(45-24)(1+tan45tan24)+tan24 從而求得原式的值. 解:tan21(1+tan24)+tan24 =tan(45-24)(1+tan45tan24)+tan24 =(1+tan45tan24)+tan24=1 Ⅳ.課時小結 正切的和、差角公式以及它們的等價變形. 即:tan(αβ)= Tanαtanβ=tan(αβ)[1tanαtanβ] 1tanαtanβ= 這些公式在化簡、求值、證明三角恒等式時都有不少用處. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P105習題 1,2,3,4- 配套講稿:
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