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2019-2020年高中數學《 3.4 基本不等式 》評估訓練 新人教A版必修5
1．若x>0，y>0，且x＋y＝4，則下列不等式中恒成立的是 ( )．
A.≤ B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
解析 若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝(x＋y)＝≥(2＋2)＝1.
答案 B
2．下列各函數中，最小值為2的是 ( )．
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋，x∈
C．y＝
D．y＝＋
解析 對于A：不能保證x>0，
對于B：不能保證sin x＝，
對于C：不能保證＝，
對于D：y＝＋≥2.
答案 D
3．若0
2，則a＋的最小值是________．
解析 ∵a>2，∴a－2>0.
∴a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4.
當且僅當a－2＝，即a＝3時，等號成立．
答案 4
5．若正數a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________．
解析 ab＝a＋b＋3≥2＋3，∴≥3，即ab≥9.
答案 [9，＋∞)
6．已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求＋的最小值．
解 法一 由已知條件lg x＋lg y＝1可得：x>0，y>0，且xy＝10.
則＋＝≥＝2，
所以min＝2，當且僅當即時等號成立．
法二 由已知條件lg x＋lg y＝1可得：
x>0，y>0，且xy＝10，
＋≥2 ＝2 ＝2(當且僅當即時取等號)．
綜合提高 (限時25分鐘)
7．設a>0，b>0.若是3a與3b的等比中項，則＋的最小值為 ( )．
A．8 B．4 C．1 D.
解析 因為3a3b＝3，所以a＋b＝1，
＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2
＝4，
當且僅當＝，即a＝b＝時，“＝”成立，故選B.
答案 B
8．將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2 m2、形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費最少)的是 ( )．
A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m
解析 設兩直角邊分別為a，b，直角三角形的框架的周長為l，則ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．因為要求夠用且浪費最少，故選C.
答案 C
9．(xx濰坊高二檢測)在4□＋9□＝60的兩個□中，分別填入兩個自然數，使它們的倒數和最小，應分別填上________和________．
解析 設兩數為x，y，即4x＋9y＝60，
又＋＝＝≥(13＋12)＝，當且僅當＝，且4x＋9y＝60，即x＝6，y＝4時，等號成立．
答案 6 4
10．函數y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n>0，則＋的最小值為________．
解析 函數y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A(－2，－1)，(－2)m＋(－1)n＋1＝0，
2m＋n＝1，m，n>0，
＋＝(2m＋n)
＝4＋＋
≥4＋2 ＝8，
當且僅當，即時等號成立．
答案 8
11．求函數y＝的值域．
解 函數的定義域為R，
y＝＝1＋.
(1)當x＝0時，y＝1；
(2)當x>0時，y＝1＋≤1＋＝4.
當且僅當x＝時，即x＝1時，ymax＝4；
(3)當x<0時，y＝1＋
＝1－≥1－＝－2.
當且僅當－x＝－時，即x＝－1時，ymin＝－2.
綜上所述：－2≤y≤4，即函數的值域是[－2,4]．
12．(創(chuàng)新拓展)(xx濟寧高二檢測)某建筑公司用8 000萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少12層、每層4 000平方米的樓房．經初步估計得知，如果將樓房建為x(x≥12)層，則每平方米的平均建筑費用為Q(x)＝3 000＋50x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？每平方米的平均綜合費最小值是多少？
(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝)
解 設樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元，依題意得
f(x)＝Q(x)＋
＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N)，
f(x)＝50x＋＋3 000
≥2 ＋3 000＝5 000(元)．
當且僅當50x＝，即x＝20時上式取“＝”
因此，當x＝20時，f(x)取得最小值5 000(元)．
所以為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為20層，每平方米的平均綜合費用最小值為5 000元．
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