2019-2020年高三數(shù)學(xué) 第75課時 統(tǒng)計教案 .doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 第75課時 統(tǒng)計教案 教學(xué)目標(biāo)：會用隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本； 會用樣本頻率分布去估計總體分布；了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)；了解線性回歸的方法和簡單應(yīng)用. 教學(xué)重點： （一） 主要知識及主要方法： 簡單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個總體的個體數(shù)為．如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣． 總結(jié)：⑴一般地，用簡單隨機(jī)抽樣從含有個個體的總體中抽取一個容量為的樣本時，每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率為； 簡單隨機(jī)抽樣的實施方法： 　 ⑴抽簽法：先將總體中的所有個體（共有個）編號（號碼可從到），并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上（號簽可用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號簽放在同一個箱子里，進(jìn)行均勻攪拌，抽簽時每次從中抽一個號簽，連續(xù)抽取次，就得到一個容量為的樣本適用范圍：總體的個體數(shù)不多時 優(yōu)點：抽簽法簡便易行，當(dāng)總體的個體數(shù)不太多時適宜采用抽簽法． 　 ⑵隨機(jī)數(shù)表法：制定隨機(jī)數(shù)表；給總體中各個個體編號；按照一定的規(guī)則確定所要抽取的樣本的號碼 隨機(jī)數(shù)表抽樣“三步曲”：第一步，將總體中的個體編號；第二步，選定開始的數(shù)字；第三步，獲取樣本號碼 簡單隨機(jī)抽樣的特點：它是不放回抽樣；它是逐個地進(jìn)行抽??；它是一種等概率抽樣,簡單隨機(jī)抽樣方法，體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性，是其他更復(fù)雜抽樣方法的基礎(chǔ)． 系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣 系統(tǒng)抽樣的步驟： ①采用隨機(jī)的方式將總體中的個體編號為簡便起見，有時可直接采用個體所帶有的號碼，如考生的準(zhǔn)考證號、街道上各戶的門牌號，等等 ②即確定分段間隔：為將整個的編號分段（即分成幾個部分），要確定分段的間隔當(dāng)（為總體中的個體的個數(shù)，為樣本容量）是整數(shù)時，;當(dāng)不是整數(shù)時，通過從總體中剔除一些個體使剩下的總體中個體的個數(shù)能被整除，這時. ③在第一段用簡單隨機(jī)抽樣確定起始的個體編號 ④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將加上間隔，得到第個編號,第個編號，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個樣本） 說明：①系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的情況，它與簡單隨機(jī)抽樣的聯(lián)系在于：將總體均分后的每一部分進(jìn)行抽樣時，采用的是簡單隨機(jī)抽樣； ②與簡單隨機(jī)抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的． ③總體中的個體數(shù)恰好能被樣本容量整除時，可用它們的比值作為系統(tǒng)抽樣的間隔；當(dāng)總體中的個體數(shù)不能被樣本容量整除時，可用簡單隨機(jī)抽樣先從總體中剔除少量個體，使剩下的個體數(shù)能被樣本容量整除在進(jìn)行系統(tǒng)抽樣 分層抽樣: 當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，所分成的部分叫做層 不放回抽樣和放回抽樣:在抽樣中，如果每次抽出個體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣． 隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣 常用的抽樣方法及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別： 類別 共同點 各自特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機(jī) 抽樣 抽樣過程中每個個體被抽取的概率是相同的；都是不放回抽樣. 從總體中逐個抽取 總體中的個數(shù)比較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均勻分成幾個部分，按照事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣 總體中的個數(shù)比較多 分層抽樣 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取 各層抽樣時采用簡單抽樣或者相同抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 總體：在數(shù)理統(tǒng)計中，通常把被研究的對象的全體叫做總體. 頻率分布：用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示. 總體分布：從總體中抽取一個個體，就是一次隨機(jī)試驗，從總體中抽取一個容量為的樣本，就是進(jìn)行了次試驗，試驗連同所出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機(jī)事件，所有這些事件的概率分布規(guī)律稱為總體分布. 它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率等于該區(qū)間上總體密度曲線與軸、直線、所圍成曲邊梯形的面積. 總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線． 總體分布密度密度曲線函數(shù)的兩條基本性質(zhì)： 　?、佟?()；②由曲線與軸圍成面積為. 解決總體分布估計問題的一般程序如下：先確定分組的組數(shù)（最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差除以組距得組數(shù)）；分別計算各組的頻數(shù)及頻率（頻率）；畫出頻率分布直方圖，并作出相應(yīng)的估計. 條形圖是用其高度表示取各值的頻率；直方圖是用圖形面積的大小表示在各區(qū)間內(nèi)取值的頻率；累積頻率分布圖是一條折線，利用任意兩端值的累積頻率之差表示樣本數(shù)據(jù)在這兩點值之間的頻率. 正態(tài)分布密度函數(shù)： ，（） 其中是圓周率；是自然對數(shù)的底；是隨機(jī)變量的取值；為正態(tài)分布的均值；是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.正態(tài)分布一般記為。 即若，則， 正態(tài)分布是由均值和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布 通過固定其中一個值，討論均值與標(biāo)準(zhǔn)差對于正態(tài)曲線的影響 ，亦見課本圖 通過對三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱.從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線 . 正態(tài)曲線的性質(zhì)： 曲線在軸的上方，與軸不相交曲線關(guān)于直線對稱 當(dāng)時，曲線位于最高點 當(dāng)時，曲線上升（增函數(shù)）；當(dāng)時，曲線下降（減函數(shù)）.并且 當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以軸為漸近線，向它無限靠近 一定時，曲線的形狀由確定 越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越小．曲線越“瘦高”．總體分布越集中 正態(tài)曲線下的總面積等于.即 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)、時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，（），其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間的概率問題: 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”．在這個表中，對應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率，即 ，． 對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，是總體取值小于的概率，即 其中，圖中陰影部分的面積表示為概率只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)時，；而當(dāng)時，，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可以求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，即直線，與正態(tài)曲線、軸所圍成的曲邊梯形的面積 故：；； 若，則 任一的正態(tài)總體均可化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來進(jìn)行研究， 對任一的正態(tài)總體來說，取值小于的概率 對于正態(tài)總體取值的概率： 在區(qū)間、、內(nèi)取值的概率分別為、、因此我們時常只在區(qū)間內(nèi)研究正態(tài)總體分布情況，而忽略其中很小的一部分 小概率事件的含義 發(fā)生概率一般不超過的事件，即事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生 假設(shè)檢驗方法的基本思想:首先，假設(shè)總體應(yīng)是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗中發(fā)生的原理對試驗結(jié)果進(jìn)行分析 假設(shè)檢驗方法的操作程序，即“三步曲” 提出統(tǒng)計假設(shè)，具體問題里的統(tǒng)計假設(shè)服從正態(tài)分布 是確定一次試驗中的值是否落入范圍； 是作出推斷：若，接受統(tǒng)計假設(shè)；若，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計假設(shè)，說明生產(chǎn)過程中出現(xiàn)了異常情況 相關(guān)關(guān)系的概念 當(dāng)自變量一定時，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系 相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是兩個非隨機(jī)變量之間的關(guān)系，是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，所以相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同，其變量具有隨機(jī)性，因此相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系（有因果關(guān)系，也有伴隨關(guān)系）.因此，相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點如下： 相同點：均是指兩個變量的關(guān)系. 不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個非隨機(jī)變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系． 回歸分析： 對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定性關(guān)系的某種確定性. 散點圖：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點圖.散點圖形象地反映了各對數(shù)據(jù)的密切程度粗略地看，散點分布具有一定的規(guī)律. 回歸直線 設(shè)所求的直線方程為，其中、是待定系數(shù)． 則 ．于是得到各個偏差 . 顯見，偏差的符號有正有負(fù)，若將它們相加會造成相互抵消，所以它們的和不能代表幾個點與相應(yīng)直線在整體上的接近程度，故采用個偏差的平方和． 表示個點與相應(yīng)直線在整體上的接近程度． 記 (說明的意義)． 上述式子展開后，是一個關(guān)于、的二次多項式，應(yīng)用配方法，可求出使為最小值時的、的值．即 ，　, 相應(yīng)的直線叫做回歸直線，對兩個變量所進(jìn)行的上述統(tǒng)計分析叫做回歸分析. 特別指出: 對回歸直線方程只要求會運用它進(jìn)行具體計算、，求出回歸直線方程即可．不要求掌握回歸直線方程的推導(dǎo)過程． 求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實標(biāo)意義．否則，求出的回歸直線方程毫無意義．因此，對一組數(shù)據(jù)作線性回歸分析時，應(yīng)先看其散點圖是否成線性． 求回歸直線方程，關(guān)鍵在于正確地求出系數(shù)、，由于求、的計算量較大，計算時仔細(xì)謹(jǐn)慎、分層進(jìn)行，避免因計算產(chǎn)生失誤． 回歸直線方程在現(xiàn)實生活與生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用．應(yīng)用回歸直線方程可以把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題，把“無序”變?yōu)椤坝行颉?，并對情況進(jìn)行估測、補(bǔ)充．因此，學(xué)過回歸直線方程以后，應(yīng)增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用回歸直線方程解決相關(guān)實際問題的意識． 相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)是因果統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜提出的，對于變量與的一組觀測值，把 = 叫做變量與之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù)，用它來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)： ≤，且越接近，相關(guān)程度越大；且越接近，相關(guān)程度越小. 顯著性水平:顯著性水平是統(tǒng)計假設(shè)檢驗中的一個概念，它是公認(rèn)的小概率事件的概率值它必須在每一次統(tǒng)計檢驗之前確定 顯著性檢驗：(相關(guān)系數(shù)檢驗的步驟)：由顯著性水平和自由度查表得出臨界值，顯著性水平一般取和，自由度為，其中是數(shù)據(jù)的個數(shù)在“相關(guān)系數(shù)檢驗的臨界值表”查出與顯著性水平或及自由度（為觀測值組數(shù)）相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值或；例如時，， 求得的相關(guān)系數(shù)和臨界值比較，若，上面與是線性相關(guān)的,當(dāng)或，認(rèn)為線性關(guān)系不顯著 結(jié)論：討論若干變量是否線性相關(guān)，必須先進(jìn)行相關(guān)性檢驗，在確認(rèn)線性相關(guān)后，再求回歸直線； 通過兩個變量是否線性相關(guān)的估計，實際上就是把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題來研究； （二）典例分析： 問題1．（全國Ⅱ文）一個總體含有個個體，以簡單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個容量為的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為 （浙江文）某校有學(xué)生人，其中高三學(xué)生人，為了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，彩用按年級分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取一個人的樣本，則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為 (湖南)某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有個、個、個、個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品的情況，需從這個銷售點中抽取一個容量為的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有個特大型銷售點，要從中抽取個調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項調(diào)查為②.則完成這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次為 分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣法 系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 簡單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法 （屆高三湖北省六校）設(shè)下表是某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中數(shù)學(xué)成績的分布表 分?jǐn)?shù) ， ， ， ， ， ， ， ， 人數(shù) 那么分?jǐn)?shù)在中和分?jǐn)?shù)不滿分的頻率和累積頻率分別是 　，　　，　 ，　 ， （湖北文）為了了解某學(xué)校學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該校名高中男生的體重情況，根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如右圖所示．根據(jù)此圖，估計該校名高中男生中體重大于公斤的人數(shù)為 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5 體重（kg） （湖南）設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知， 則　　 （安徽）以表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則概率等于 問題2．已知從某批材料中任取一件時，取得的材料的強(qiáng)度服從. 計算取得的這件材料的強(qiáng)度不低于的概率；如果所用的材料要求以的概率保證強(qiáng)度不低于，問這些材料是否符合這個要求. 問題3．（湖北）在生產(chǎn)過程中，測得纖維產(chǎn)品的纖度（表示纖維粗細(xì)的一種量）共有個數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如右表： 分組 頻數(shù) 合計 在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖； 估計纖度落在中的概率及纖度小于的概率是多少？ 統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間的中點值是）作為代表．據(jù)此，估計纖度的期望． 問題5．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限和所支出的維修費用（萬元），有如下的統(tǒng)計資料： 若由資料可知與間呈線性相關(guān)關(guān)系.試求： 線性回歸方程；估計使用年限為年時，維修費用是多少？ （三）課后作業(yè)： 對于線性相關(guān)系數(shù)敘述正確的是 ，越大，相關(guān)程度越大，反之，相關(guān)程度越?。? ，越大，相關(guān)程度越大，反之，相關(guān)程度越小； ≤，且越接近，相關(guān)程度越大，越接近，相關(guān)程度越??； 以上說法均不對. 設(shè)有一個回歸方程，則變量增加一個單位時 平均增加個單位； 平均增加個單位； 平均減少個單位； 平均減少個單位； 利用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從個個體（）中抽取個個體，依次抽取. 若第二次抽取后，余下的每個個體被抽取的概率為，則在整個抽取過程中，每個個體被抽取的概率為 （四）走向高考： （四川）甲校有名學(xué)生，乙校有名學(xué)生，丙校有名學(xué)生，為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個樣本容量為人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生 人，人，人　　人，人，人 人，人，人　　人，人，人 （天津） 某工廠生產(chǎn)、、三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為的樣本，樣本中種型號產(chǎn)品有件.那么此樣本的容量 （陜西文）某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有種、種、種、種，現(xiàn)從中抽取一個容量為的樣本進(jìn)行食品安全檢測。若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是（ ） （全國Ⅰ文）從某自動包裝機(jī)包裝的食鹽中，隨機(jī)抽取袋，測得各袋的質(zhì)量分別為（單位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根據(jù)頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝機(jī)包裝的袋裝食鹽質(zhì)量在～之間的概率約為 （湖北）某初級中學(xué)有學(xué)生人，其中一年級人，二、三年級各人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為，，…，；使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號，，…，，并將整個編號依次分為段.如果抽得號碼有下列四種情況： ①，，，，，，，，，； ②，，，，，，，，，； ③，，，，，，，，，； ④，，，，，，，，，； 關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是 ②、③都不能為系統(tǒng)抽樣 ②、④都不能為分層抽樣 ①、④都可能為系統(tǒng)抽樣 ①、③都可能為分層抽樣 （湖南）設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知， 則 （福建）兩封信隨機(jī)投入三個空郵箱，則郵箱的信件數(shù)的數(shù)學(xué)期望　 （浙江）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，， 則 （全國Ⅱ）在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布．若在內(nèi)取值的概率為，則在內(nèi)取值的概率為 （屆高三浙江嘉興市二檢）已知隨機(jī)變量，若，則 （遼寧文）某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管支，該公司對這些燈管的使用壽命（單位：小時）進(jìn)行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示： 分組 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，) 頻數(shù) 頻率 將各組的頻率填入表中； 根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，計算燈管使用壽命不足小時的頻率； 該公司某辦公室新安裝了這種型號的燈管支，若將上述頻率作為概率，試求至少有支燈管的使用壽命不足小時的概率．