2019-2020年高三數學第一輪復習單元講座 第04講 基本初等函數教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數學第一輪復習單元講座 第04講 基本初等函數教案 新人教版 一．課標要求 1．指數函數 （1）通過具體實例（如細胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內殘留量的變化等），了解指數函數模型的實際背景； （2）理解有理指數冪的含義，通過具體實例了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算。 （3）理解指數函數的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點； （4）在解決簡單實際問題的過程中，體會指數函數是一類重要的函數模型。 2．對數函數 （1）理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；通過閱讀材料，了解對數的發(fā)現歷史以及對簡化運算的作用； （2）通過具體實例，直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，體會對數函數是一類重要的函數模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數函數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點； 3．知道指數函數與對數函數互為反函數（a＞0，a≠1）。 二．命題走向 指數函數、對數函數、冪函數是三類常見的重要函數，在歷年的高考題中都占據著重要的地位。從近幾年的高考形勢來看，對指數函數、對數函數、冪函數的考查，大多以基本函數的性質為依托，結合運算推理，能運用它們的性質解決具體問題。為此，我們要熟練掌握指數、對數運算法則，明確算理，能對常見的指數型函數、對數型函數進行變形處理。 預測xx年對本節(jié)的考察是： 1．題型有兩個選擇題和一個解答題； 2．題目形式多以指數函數、對數函數、冪函數為載體的復合函數來考察函數的性質。同時它們與其它知識點交匯命題，則難度會加大。 三．要點精講 1．指數與對數運算 （1）根式的概念： ①定義：若一個數的次方等于，則這個數稱的次方根。即若，則稱的次方根， 1）當為奇數時，次方根記作； 2）當為偶數時，負數沒有次方根，而正數有兩個次方根且互為相反數，記作。 ②性質：1）；2）當為奇數時，； 3）當為偶數時，。 （2）．冪的有關概念 ①規(guī)定：1）N*；2）； n個 3）Q，4）、N* 且。 ②性質：1）、Q）； 2）、 Q）； 3） Q）。 （注）上述性質對r、R均適用。 （3）．對數的概念 ①定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數稱以為底N的對數，記作其中稱對數的底，N稱真數。 1）以10為底的對數稱常用對數，記作； 2）以無理數為底的對數稱自然對數，，記作； ②基本性質： 1）真數N為正數（負數和零無對數）；2）； 3）；4）對數恒等式：。 ③運算性質：如果則 1）； 2）； 3）R）。 ④換底公式： 1）；2）。 2．指數函數與對數函數 （1）指數函數： ①定義：函數稱指數函數， 1）函數的定義域為R；2）函數的值域為； 3）當時函數為減函數，當時函數為增函數。 ②函數圖像： 1）指數函數的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第一、二象限； 2）指數函數都以軸為漸近線（當時，圖象向左無限接近軸，當時，圖象向右無限接近軸）； 3）對于相同的，函數的圖象關于軸對稱。 ①， ②， ③ ①， ②， ③， ③函數值的變化特征： （2）對數函數： ①定義：函數稱對數函數， 1）函數的定義域為；2）函數的值域為R； 3）當時函數為減函數，當時函數為增函數； 4）對數函數與指數函數互為反函數。 ②函數圖像： 1）對數函數的圖象都經過點（0，1），且圖象都在第一、四象限； 2）對數函數都以軸為漸近線（當時，圖象向上無限接近軸；當時，圖象向下無限接近軸）； 4）對于相同的，函數的圖象關于軸對稱。 ③函數值的變化特征： ①， ②， ③. ①， ②， ③. 四．典例解析 題型1：指數運算 例1．（1）計算：； （2）化簡：。 解：（1）原式= ； （2）原式= 。 點評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分數指數冪的形式，然后利用分數指數冪的運算性質求解，對化簡求值的結果，一般用分數指數冪的形式保留；一般的進行指數冪運算時，化負指數為正指數，化根式為分數指數冪，化小數為分數運算，同時兼顧運算的順序。 例2．已知，求的值。 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴。 點評：本題直接代入條件求解繁瑣，故應先化簡變形，創(chuàng)造條件簡化運算。 題型2：對數運算 例3．計算 （1）；（2）； （3）。 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）分子=； 分母=； 原式=。 點評：這是一組很基本的對數運算的練習題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數式運算是學習數學的基本功，通過這樣的運算練習熟練掌握運算公式、法則，以及學習數式變換的各種技巧。 例4．設、、為正數，且滿足 （1）求證：； （2）若，，求、、的值。 證明：（1）左邊 ； 解：（2）由得， ∴……………① 由得………… ……………② 由①②得……………………………………③ 由①得，代入得， ∵， ∴………………………………④ 由③、④解得，，從而。 點評：對于含對數因式的證明和求值問題，還是以對數運算法則為主，將代數式化簡到最見形式再來處理即可。 題型3：指數、對數方程 例5．設關于的方程R）， （1）若方程有實數解，求實數b的取值范圍； （2）當方程有實數解時，討論方程實根的個數，并求出方程的解。 解：（1）原方程為， ， 時方程有實數解； （2）①當時，，∴方程有唯一解； ②當時，. 的解為； 令 的解為； 綜合①、②，得 1）當時原方程有兩解：； 2）當時，原方程有唯一解； 3）當時，原方程無解。 點評：具有一些綜合性的指數、對數問題，問題的解答涉及指數、對數函數，二次函數、參數討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數、對數問題的特點，題型非常廣泛，應通過解題學習不斷積累經驗。 例6．（xx遼寧 文13）方程的解為 。 解：考察對數運算。原方程變形為，即，得。且有。從而結果為。 點評：上面兩例是關于含指數式、對數式等式的形式，解題思路是轉化為不含指數、對數因式的普通等式或方程的形式，再來求解。 題型4：指數函數的概念與性質 例7．設（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 解：C；，。 點評：利用指數函數、對數函數的概念，求解函數的值。 例8．已知試求函數f(x)的單調區(qū)間。 解：令，則x=，t∈R。 所以即，（x∈R）。 因為f(－x)=f(x)，所以f(x)為偶函數，故只需討論f(x)在[0，+∞）上的單調性。 任取，，且使，則 （1）當a>1時，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上單調遞增。 （2）當0
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