2019-2020年高中數(shù)學 第五章《數(shù)系的擴充與復數(shù)》教案 北師大版選修2-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 第五章《數(shù)系的擴充與復數(shù)》教案 北師大版選修2-2 一、教學目標：1、知識與技能：了解引進復數(shù)的必要性；理解并掌握虛數(shù)的單位i；2、過程與方法：理解并掌握虛數(shù)單位與實數(shù)進行四則運算的規(guī)律；3、 情感、態(tài)度與價值觀：理解并掌握復數(shù)的有關(guān)概念(復數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部) 理解并掌握復數(shù)相等的有關(guān)概念。 二、教學重點，難點：復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件。 三、教學方法：閱讀理解，探析歸納，講練結(jié)合 四、教學過程 （一）、問題情境 1、情境：數(shù)的概念的發(fā)展：從正整數(shù)擴充到整數(shù)，從整數(shù)擴充到有理數(shù)，從有理數(shù)擴充到實數(shù)，數(shù)的概念是不斷發(fā)展的，其發(fā)展的動力來自兩個方面．①解決實際問題的需要．由于計數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)；為了刻畫具有相反意義的量的需要產(chǎn)生了負數(shù)；由于測量等需要產(chǎn)生了分數(shù)；為了解決度量正方形對角線長的問題產(chǎn)生了無理數(shù)(即無限不循環(huán)小數(shù))．②解方程的需要．為了使方程有解，就引進了負數(shù)，數(shù)系擴充到了整數(shù)集；為了使方程有解，就要引進分數(shù)，數(shù)系擴充到了有理數(shù)集；為了使方程有解，就要引進無理數(shù)，數(shù)系擴充到了實數(shù)集． 引進無理數(shù)以后，我們已經(jīng)能使方程永遠有解．但是，這并沒有徹底解決問題，當時，方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解．為了使方程有解，就必須把實數(shù)概念進一步擴大，這就必須引進新的數(shù)．（可以以分解因式：為例） 2、問題：實數(shù)集應怎樣擴充呢？ （二）、新課探析 1、為了使方程有解，使實數(shù)的開方運算總可以實施，實數(shù)集的擴充就從引入平方等于的“新數(shù)”開始．為此，我們引入一個新數(shù)，叫做虛數(shù)單位（）．并作如下規(guī)定：①；②實數(shù)可以與進行四則運算，進行四則運算時，原有的加法、乘法運算律仍然成立．在這種規(guī)定下，可以與實數(shù)相乘，再同實數(shù)相加得．由于滿足乘法交換律和加法交換律，上述結(jié)果可以寫成 ()的形式． 2、復數(shù)概念及復數(shù)集 形如()的數(shù)叫做復數(shù)。全體復數(shù)構(gòu)成的集合叫做復數(shù)集，一般用字母來表示， 即．顯然有N*NZQRC． 3、復數(shù)的有關(guān)概念：1) 復數(shù)的表示：通常用字母表示，即()，其中分別叫做復數(shù)的實部與虛部；2）虛數(shù)和純虛數(shù)：①復數(shù)()，當時，就是實數(shù)．②復數(shù)()，當時，叫做虛數(shù)。 特別的，當，時，叫做純虛數(shù)． 4、復數(shù)集的分類 分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統(tǒng)一．根據(jù)上述原則，復數(shù)集的分類如下： 5、兩復數(shù)相等 如果兩個復數(shù)與（）的實部與虛部分別相等，我們就說這兩個復數(shù)相等．即，（復數(shù)相等的充要條件）， 特別地：（復數(shù)為的充要條件）． 復數(shù)相等的充要條件，提供了將復數(shù)問題化歸為實數(shù)問題來解決的途徑． 6、兩個復數(shù)不能比較大?。簝蓚€實數(shù)可以比較大小，但兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)，只有相等與不等關(guān)系，不能比較它們的大小。 7、共軛復數(shù)：當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù)。 (三)、知識運用，能力提高 1、例題：例1．寫出下列復數(shù)的實部與虛部，并指出哪些是實數(shù)， 哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)． 解： 的實部分別是； 虛部分別是．是實數(shù)；是虛數(shù)，其中是純虛數(shù)． 例2、實數(shù)取什么值時，復數(shù)是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？ 分析：由可知，都是實數(shù)，根據(jù)復數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以分別確定的值。 解：（1）當，即時，復數(shù)是實數(shù)；（2）當，即時，復數(shù)是虛數(shù)；（3）當，且，即時復數(shù)是純虛數(shù)。 （變式引申）：已知，復數(shù)，當為何值時： （1）；（2）是虛數(shù)；（3）是純虛數(shù)． 解：（1）當且，即時，是實數(shù)； （2）當且，即且時，是虛數(shù)； （3）當且，即或時，為純虛數(shù)． 思考：是復數(shù)為純虛數(shù)的充分條件嗎？ 答：不是，因為當且時，才是純虛數(shù)，所以是復數(shù)為純虛數(shù)的必要而非充分條件． 例3、已知，求實數(shù)的值． 解：根據(jù)兩個復數(shù)相等的充要條件，可得：，解得：． （變式引申）：已知，求復數(shù)． 解：設(shè)，則， ， 由復數(shù)相等的條件 ． 2．練習：（1）已知復數(shù)，且，則 ． 解：，則．故虛部 或．但時，，不合題意，故舍去，故． 四．回顧小結(jié)：1、能夠識別復數(shù)，并能說出復數(shù)在什么條件下是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)；2、復數(shù)相等的充要條件。 （三）小結(jié)：復數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系及兩復數(shù)相等的充要條件。 （四）、鞏固練習： 1．指出下列復數(shù)哪些是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，是虛數(shù)的找出其實部與虛部。 2．判斷① 兩復數(shù)，若虛部都是3，則實部大的那個復數(shù)較大。②　復平面內(nèi)，所有純虛數(shù)都落在虛軸上，所有虛軸上的點都是純虛數(shù)。 3若，則的值是 。 4．．已知是虛數(shù)單位，復數(shù)，當取何實數(shù)時，是： （1）實數(shù) （2） 虛數(shù) （3）純虛數(shù) （4）零 （五）、課外練習：第96頁練習 （六）、課后作業(yè)：第100頁習題A:1,2,3 五、教后反思： 第二課時 復數(shù)的幾何意義 一、教學目標：理解復數(shù)與復平面內(nèi)的點、平面向量是一一對應的，能根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式描出其對應的點及向量。 二、教學重點：理解復數(shù)的幾何意義，根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式描出其對應的點及向量。 教學難點: 根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式描出其對應的點及向量。 三、教學方法：閱讀理解，探析歸納，講練結(jié)合 四、教學過程 （一）、復習準備： 1. 說出下列復數(shù)的實部和虛部，哪些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)。 2．復數(shù)，當取何值時為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)？ 3. 若，試求的值，（呢？） 4.虛數(shù)單位:(1)它的平方等于-1，即　; (2)實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.（3）. 與－1的關(guān)系: 就是－1的一個平方根，即方程x2=－1的一個根，方程x2=－1的另一個根是－!?。?）. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 5.復數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復數(shù)，叫復數(shù)的實部，叫復數(shù)的虛部全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集，用字母C表示*　 6. 復數(shù)的代數(shù)形式: 復數(shù)通常用字母z表示，即，把復數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復數(shù)的代數(shù)形式 7. 復數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對于復數(shù)，當且僅當b=0時，復數(shù)a+bi(a、b∈R)是實數(shù)a；當b≠0時，復數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當且僅當a=b=0時，z就是實數(shù)0. 8.復數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC. 9. 兩個復數(shù)相等的定義：如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數(shù)相等 這就是說，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d　 復數(shù)相等的定義是求復數(shù)值，在復數(shù)集中解方程的重要依據(jù)　一般地，兩個復數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小. 現(xiàn)有一個命題：“任何兩個復數(shù)都不能比較大小”對嗎？不對　如果兩個復數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小　只有當兩個復數(shù)不全是實數(shù)時才不能比較大小 (二)、探析新課： 1. 復數(shù)的幾何意義： ① 討論：實數(shù)可以與數(shù)軸上的點一一對應，類比實數(shù)，復數(shù)能與什么一一對應呢？ （分析復數(shù)的代數(shù)形式，因為它是由實部和虛部同時確定，即有順序的兩實數(shù)，不難想到有序?qū)崝?shù)對或點的坐標） 結(jié)論：復數(shù)與平面內(nèi)的點或序?qū)崝?shù)一一對應。 ②復平面：以軸為實軸， 軸為虛軸建立直角坐標系，得到的平面叫復平面。 復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應。 ③例1、在復平面內(nèi)描出復數(shù)分別對應的點。 （先建立直角坐標系，標注點時注意縱坐標是而不是） 觀察例1中我們所描出的點，從中我們可以得出什么結(jié)論？ ④實數(shù)都落在實軸上，純虛數(shù)落在虛軸上，除原點外，虛軸表示純虛數(shù)。 思考：我們所學過的知識當中，與平面內(nèi)的點一一對應的東西還有哪些？ ⑤，， 注意：人們常將復數(shù)說成點或向量，規(guī)定相等的向量表示同一復數(shù)。 2．應用 例2、在我們剛才例1中，分別畫出各復數(shù)所對應的向量。 練習：在復平面內(nèi)畫出所對應的向量。 （三）、小結(jié)：復數(shù)與復平面內(nèi)的點及平面向量一一對應，復數(shù)的幾何意義。 (四)、課堂練習：第99頁練習 （五）、課后作業(yè)：第100頁習題A:4,5,8 五、教后反思 2復數(shù)的四則運算 第三課時 復數(shù)的加法與減法 一、教學目標：1、知識與技能：掌握復數(shù)的加法運算及意義；2、過程與方法：理解并掌握實數(shù)進行四則運算的規(guī)律；3、情感、態(tài)度與價值觀：理解并掌握復數(shù)的有關(guān)概念(復數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部) 理解并掌握復數(shù)相等的有關(guān)概念。 二、教學重點：復數(shù)的代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義 教學難點：加、減運算的幾何意義 三、教學方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學過程 （一）、復習準備： 1. 與復數(shù)一一對應的有？ 2. 試判斷下列復數(shù)在復平面中落在哪象限？并畫出其對應的向量。 3. 同時用坐標和幾何形式表示復數(shù)所對應的向量，并計算。向量的加減運算滿足何種法則？ 4. 類比向量坐標形式的加減運算，復數(shù)的加減運算如何？ （二）、探析新課： 1.復數(shù)的加法運算及幾何意義 ①.復數(shù)的加法法則：，則。 例1、計算（1） （2） （3） （4） ②．觀察上述計算，復數(shù)的加法運算是否滿足交換、結(jié)合律，試給予驗證。 例2、例1中的（1）、（3）兩小題，分別標出，所對應的向量，再畫出求和后所對應的向量，看有所發(fā)現(xiàn)。 ③復數(shù)加法的幾何意義：復數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行（滿足平行四邊形、三角形法則） 2、復數(shù)的減法及幾何意義：類比實數(shù)，規(guī)定復數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算,即若，則。 ④討論：若，試確定是否是一個確定的值？ （引導學生用待定系數(shù)法，結(jié)合復數(shù)的加法運算進行推導，師生一起板演） ⑤復數(shù)的加法法則及幾何意義：，復數(shù)的減法運算也可以按向量的減法來進行。 3、例題探析： 例1．計算（1） （2） （3） 練習：已知復數(shù)，試畫出，， 例2、復數(shù)=1+2i，=－2+i，=－1－2i，它們在復平面上的對應點是一個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應的復數(shù). 分析一：利用 ，求點D的對應復數(shù). 解法一：設(shè)復數(shù)所對應的點為A、B、C，正方形的第四個頂點D對應的復數(shù)為x+yi(x，y∈R)，是： (x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i; (－1－2i)－(－2+i)=1－3i. 即(x－1)+(y－2)i=1－3i，∴ 解得∴x=2，y=－1.故點D對應的復數(shù)為2－i. 分析二：利用原點O正好是正方形ABCD的中心來解. 解法二：因為點A與點C關(guān)于原點對稱，所以原點O為正方形的中心，于是(－2+i)+ (x+yi)=0，∴x=2，y=－1.故點D對應的復數(shù)為2－i. 點評：根據(jù)題意畫圖得到的結(jié)論，不能代替論證，然而通過對圖形的觀察，往往能起到啟迪解題思路的作用 （三）．小結(jié)：兩復數(shù)相加減，結(jié)果是實部、虛部分別相加減，復數(shù)的加減運算都可以按照向量的加減法進行。 （四）、鞏固練習： 1．計算（1）（2）（3） 2．若，求實數(shù)的取值。 變式：若表示的點在復平面的左（右）半平面，試求實數(shù)的取值。 3．三個復數(shù)，其中，是純虛數(shù)，若這三個復數(shù)所對應的向量能構(gòu)成等邊三角形，試確定的值。 (五)、課外練習：第103頁練習 (六)、課后作業(yè)：第108頁習題A:1,2,3,4 五、教后反思 第四課時 復數(shù)復數(shù)的乘法與除法 一、教學目標：1、知識與技能：理解并掌握復數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運算法則，深刻理解它是乘法運算的逆運算。2、過程與方法：理解并掌握復數(shù)的除法運算實質(zhì)是分母實數(shù)化類問題。3、情感、態(tài)度與價值觀：復數(shù)的幾何意義單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學生不易接受，教學時，我們采用講解或體驗已學過的數(shù)集的擴充的，讓學生體會到這是生產(chǎn)實踐的需要從而讓學生積極主動地建構(gòu)知識體系。 二、教學重點：復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算及共軛復數(shù)的概念 教學難點：乘除運算 三、教學方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學過程 （一）、復習準備 1. 復數(shù)的加減法的幾何意義是什么？ 2. 計算（1） （2） （3） 3. 計算：（1） （2） （類比多項式的乘法引入復數(shù)的乘法） （二）、探析新課 1.復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算 ①.復數(shù)的乘法法則：。 例1．計算（1） （2） （3） （4） 探究：觀察上述計算，試驗證復數(shù)的乘法運算是否滿足交換、結(jié)合、分配律？ 例2．1、計算（1） （2）（3） 2、已知復數(shù)，若，試求的值。變：若，試求的值。 ②共軛復數(shù)：兩復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)，當時，它們叫做共軛虛數(shù)。 注：兩復數(shù)互為共軛復數(shù)，則它們的乘積為實數(shù)。 練習：說出下列復數(shù)的共軛復數(shù)。 ③類比，試寫出復數(shù)的除法法則。 2．復數(shù)的除法法則： 其中叫做實數(shù)化因子 除法運算規(guī)則：①設(shè)復數(shù)a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商為x+yi(x，y∈R)， 即(a+bi)(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由復數(shù)相等定義可知 解這個方程組，得于是有:(a+bi)(c+di)= i. ②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是將的分母有理化得： 原式= .∴(a+bi)(c+di)=. 例3．計算，（師生共同板演一道，再學生練習） 練習：計算， （三）．小結(jié)：兩復數(shù)的乘除法，共軛復數(shù)，共軛虛數(shù)。 （四）、鞏固練習： 1．計算（1） （2） （3） 2．若，且為純虛數(shù)，求實數(shù)的取值。變：在復平面的下方，求 （五）、課外練習：第106頁練習 （六）、課后作業(yè)：第108頁習題A:5,6,7 五、教后反思 第五章《數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入》全章小結(jié)與復習 一、教學目標：1、了解數(shù)的概念發(fā)展和數(shù)系擴充的過程，了解引進虛數(shù)單位的必要性和作用，體會數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，以及數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的客觀需求；2、理解復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件；3、理解并掌握復數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則與規(guī)律 二、教學重難點：復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件；復數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則與規(guī)律。 三、教學方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學過程 （一）、基礎(chǔ)梳理 1、復數(shù)的概念及其表示形式： 通常復數(shù)z的實部記作Rez；復數(shù)z的虛部記作Imz. 兩個重要命題： （2）復數(shù)的幾何形式：復數(shù)集與平面上的點集之間能建立一一對應關(guān)系，故可用平 這是解決復數(shù)問題時進行虛實轉(zhuǎn)化的工具： 在復平面上，互為共軛復數(shù)的兩個點關(guān)于實軸對稱： 2.、復數(shù)的運算： （1）四則運算法則（可類比多項式的運算） 簡記為“分母實數(shù)化”。 特例： 利用復數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為解實方程組。 （二）、例題探析 例1、1、若，其中a、b∈R，i是虛數(shù)單位，則= 。 答案5 2、已知復數(shù)，則在復平面內(nèi)所對應的點位于（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 答案：Ａ 3、已知，復數(shù)，當為何值時： （1）；（2）是虛數(shù)；（3）是純虛數(shù)． 解：（1）當且，即時，是實數(shù)； （2）當且，即且時，是虛數(shù)； （3）當且，即或時，為純虛數(shù)． 學生練習，教師準對問題講評。 例2、計算①； ②；③+ 答案：①；②；③-1 學生練習，教師準對問題講評。 例3、已知復數(shù)z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求|z1z2|的最大值和最小值。 解：|z1z2|=|1+sinθcosθ+（cosθ－sinθ）i| = ==. 故|z1z2|的最大值為，最小值為 （三）、小結(jié)：本課要求1、了解數(shù)的概念發(fā)展和數(shù)系擴充的過程，了解引進虛數(shù)單位的必要性和作用，體會數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，以及數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的客觀需求；2、理解復數(shù)的基本概念以及復數(shù)相等的充要條件；3、理解并掌握復數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則與規(guī)律。 （四）作業(yè)布置：課本P112頁復習題五中A組4、6 B組1、2 五、教后反思：