2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第40講 統(tǒng)計(jì)教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第40講 統(tǒng)計(jì)教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．統(tǒng)計(jì)案例 通過典型案例，學(xué)習(xí)下列一些常見的統(tǒng)計(jì)方法，并能初步應(yīng)用這些方法解決一些實(shí)際問題。 （1）通過對典型案例（如"肺癌與吸煙有關(guān)嗎"等）的探究，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求22列聯(lián)表）的基本思想、方法及初步應(yīng)用； （2）通過對典型案例（如"質(zhì)量控制"、"新藥是否有效"等）的探究，了解實(shí)際推斷原理和假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想、方法及初步應(yīng)用； （3）通過對典型案例（如"昆蟲分類"等）的探究，了解聚類分析的基本思想、方法及初步應(yīng)用； （4）通過對典型案例（如"人的體重與身高的關(guān)系"等）的探究，進(jìn)一步了解回歸的基本思想、方法及初步應(yīng)用。 2．隨機(jī)變量的分布列 （1）在對具體問題的分析中，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，認(rèn)識分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性； （2）通過實(shí)例（如彩票抽獎），理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用； （3）在具體情境中，了解條件概率和兩個事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡單的實(shí)際問題； （4）通過實(shí)例，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題； （5）通過實(shí)際問題，借助直觀（如實(shí)際問題的直方圖），認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義。 二．命題走向 統(tǒng)計(jì)案例 本部分內(nèi)容主要包括回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用和獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和初步應(yīng)用，是教材新增內(nèi)容，估計(jì)高考中比重不會過大。 預(yù)測07年的高考主要有以下幾種情況： （1）知識點(diǎn)將會考察回歸分析的基本思想方法，用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷A與B間的關(guān)系，及22列聯(lián)表； （2）考查的形式主要以選擇、填空題為主，但不會涉及很多； 隨機(jī)變量的分布列 本部分內(nèi)容主要包括隨機(jī)變量的概念及其分布列，離散性隨機(jī)變量的均值和方差，正態(tài)分布，從近幾年的高考觀察，這部分內(nèi)容有加強(qiáng)命題的趨勢。 預(yù)測07年的高考對本部分內(nèi)容的考查有以下情況： （1）考查的重點(diǎn)將以隨機(jī)變量及其分布列的概念和基本計(jì)算為主，題型以選擇、填空為主，有時也以解答題形式出現(xiàn)； （2）預(yù)計(jì)07年高考還是實(shí)際情景為主，建立合適的分布列，通過均值和方差解釋實(shí)際問題； 三．要點(diǎn)精講 統(tǒng)計(jì)案例 1．相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù)是因果統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜提出的，對于變量y與x的一組觀測值，把 叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù)，用它來衡量兩個變量之間的線性相關(guān)程度。 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：≤1，且越接近1，相關(guān)程度越大；且越接近0，相關(guān)程度越小。 顯著性水平:顯著性水平是統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)中的一個概念，它是公認(rèn)的小概率事件的概率值。它必須在每一次統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)之前確定。顯著性檢驗(yàn)：(相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的步驟)由顯著性水平和自由度查表得出臨界值，顯著性水平一般取0.01和0.05，自由度為ｎ－２，其中ｎ是數(shù)據(jù)的個數(shù) 在“相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表”查出與顯著性水平0.05或0.01及自由度n-2（n為觀測值組數(shù)）相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值r0 05或r0 01；例如ｎ＝７時，ｒ0.05＝0.754，ｒ0.01＝0.874 求得的相關(guān)系數(shù)ｒ和臨界值ｒ0.05比較，若ｒ＞ｒ0.05，上面ｙ與ｘ是線性相關(guān)的,當(dāng)≤r0.05或r0.01，認(rèn)為線性關(guān)系不顯著。 結(jié)論：討論若干變量是否線性相關(guān)，必須先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，在確認(rèn)線性相關(guān)后，再求回歸直線； 通過兩個變量是否線性相關(guān)的估計(jì)，實(shí)際上就是把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題來研究； 我們研究的對象是兩個變量的線性相關(guān)關(guān)系，還可以研究多個變量的相關(guān)問題，這在今后的學(xué)習(xí)中會進(jìn)一步學(xué)到。 2．卡方檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)中有一個有用的（讀做“卡方”）統(tǒng)計(jì)量，它的表達(dá)式是： ，經(jīng)過對統(tǒng)計(jì)量分布的研究，已經(jīng)得到了兩個臨界值：3.841與6.635。當(dāng)根據(jù)具體的數(shù)據(jù)算出的k>3.841時，有95%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)k>6.635時，有99%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)k3.841時，認(rèn)為事件A與B是無關(guān)的。 隨機(jī)變量 1．隨機(jī)變量的概念 如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示。 對于隨機(jī)變量可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。 注：隨機(jī)變量ξ是關(guān)于試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù)，即每一個試驗(yàn)結(jié)果對應(yīng)著一個實(shí)數(shù)；隨機(jī)變量ξ的線性組合η=aξ+b(a、b是常數(shù))也是隨機(jī)變量。 2．離散性隨機(jī)變量的分布列 一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取得值為： X1，X2，…，X3，…， 取每一個值Xi（I=1，2，…）的概率為P（，則稱表 X1 X2 … xi … P P1 P2 … Pi … 為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列。 兩條基本性質(zhì)：①…)；②P1+P2+…=1。 3．獨(dú)立 相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨(dú)立事件。 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的。 公式 (1)兩個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P（AB）=P（A）P（B）； 推廣：若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(n)。 (2)如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生k次的概率：Pn(k)=CPk(1－P)n-k。 4．隨機(jī)變量的均值和方差 （1）隨機(jī)變量的均值 …；反映隨機(jī)變量取值的平均水平。 （2）離散型隨機(jī)變量的方差： ……；反映隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度。 基本性質(zhì)：；。 5．幾種特殊的分布列 （1）兩點(diǎn)分步 兩點(diǎn)分布：對于一個隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的結(jié)果只有兩種情況，則我們可用隨機(jī)變量，來描述這個隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。如果甲結(jié)果發(fā)生的概率為P，則乙結(jié)果發(fā)生的概率必定為1－P，所以兩點(diǎn)分布的分布列為： 1 0 P P 1－p 均值為E=p，方差為D=p（1－p）。 （2）超幾何分布 重復(fù)進(jìn)行獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)只有成功、失敗兩種可能，如果每次試驗(yàn)成功的概率為p，重復(fù)試驗(yàn)直到出現(xiàn)一次成功為止，則需要的試驗(yàn)次數(shù)是一個隨機(jī)變量，用ξ表示，因此事件{ξ＝n}表示“第n次試驗(yàn)成功且前n－1次試驗(yàn)均失敗”。所以，其分布列為： ξ 1 2 … n … P p p(1－p) … … （3）二項(xiàng)分布 如果我們設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率都為P，則在n次重復(fù)試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功的次數(shù)是一個隨機(jī)變量，用ξ來表示，則ξ服從二項(xiàng)分布．則在n次試驗(yàn)中恰好成功k次的概率為： 二項(xiàng)分布的分布列為： ξ 0 1 … … n P … … 記ε是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)呈录l(fā)生的次數(shù)，則ε～B（n，p）；其概率…。期望Eε=np，方差Dε=npq。 6．正態(tài)分布 正態(tài)分布密度函數(shù)：，均值為Eε=μ，方差為。 正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)： （1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交。 （2）曲線關(guān)于直線x =μ對稱。 （3）曲線在x =μ時位于最高點(diǎn)。 （4）當(dāng)x <μ時，曲線上升；當(dāng)x >μ時，曲線下降。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近。 （5）當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定。σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。 從理論上講，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的取值范圍是R，但實(shí)際上取區(qū)間(μ-3σ，μ+3σ)外的數(shù)值的可能性微乎其微，在實(shí)際問題中常常認(rèn)為它是不會發(fā)生的。因此，往往認(rèn)為它的取值是個有限區(qū)間，即區(qū)間(μ-3σ，μ+3σ)，這即實(shí)用中的三倍標(biāo)準(zhǔn)差規(guī)則，也叫3σ規(guī)則。在企業(yè)管理中，經(jīng)常應(yīng)用這個規(guī)則進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量檢查和工藝生產(chǎn)過程控制。 四．典例解析 題型1：線性相關(guān)性檢驗(yàn) 例1．一個工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本y（萬元）與該月產(chǎn)量x（萬件）之間由如下一組數(shù)據(jù)： x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 1）畫出散點(diǎn)圖；2）檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平；3）求月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸直線方程. 解析： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xi 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.07 yi 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.50 xiyi 2.43 2.264 2.856 3.264 3.590 4.07 4.643 5.090 5.652 6.096 6.653 7.245 =，==2.8475，=29.808，=99.2081，=54.243 1）畫出散點(diǎn)圖： 2） r= = 在“相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表”查出與顯著性水平0.05及自由度12-2=10相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值r0.05=0.576<0.997891, 這說明每月產(chǎn)品的總成本y（萬元）與該月產(chǎn)量x（萬件）之間存在線性相關(guān)關(guān)系。 3）設(shè)回歸直線方程， 利用 ， 計(jì)算a，b，得b≈1.215, a=≈0.974， ∴回歸直線方程為： 例2．在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上進(jìn)行施化肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)如下（單位：kg） 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量y 330 345 365 405 445 450 455 1）畫出散點(diǎn)圖；2）檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平；3）求月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸直線方程。 解析：1）畫出散點(diǎn)圖如下： 2）檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平： i 1 2 3 4 5 6 7 xi 15 20 25 30 35 40 45 yi 330 345 365 405 445 450 455 xiyi 4950 6950 9125 12150 15575 18000 20475 =30,=399.3,=7000,=1132725,=87175 r==≈0.9733，在“相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表”查出與顯著性水平0.05及自由度7－2=5相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值r0.05=0.754＜0.9733，這說明水稻產(chǎn)量與施化肥量之間存在線性相關(guān)關(guān)系。 3）設(shè)回歸直線方程，利用 計(jì)算a，b， 得b= a=399.3-4.7530≈257，則回歸直線方程 題型2：獨(dú)立性檢驗(yàn) 例3．為了探究患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了339名50歲以上的人，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 患慢性氣管炎 未患慢性氣管炎 合計(jì) 吸煙 43 162 205 不吸煙 13 121 134 合計(jì) 56 283 339 試問：50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)嗎？ 解析：由公式，因?yàn)?.469>6.635,所以我們有99%的把握說：50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)。 例4．對196個接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 又發(fā)作過心臟病 未發(fā)作過心臟病 合計(jì) 心臟搭橋手術(shù) 39 157 196 血管清障手術(shù) 29 167 196 合計(jì) 68 324 392 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別。 解析：由公式，因?yàn)?.78>3.841，所以我們沒有理由說“心臟搭橋手術(shù)”與“又發(fā)作過心臟病”有關(guān)，可以認(rèn)為病人又發(fā)作與否與其做過任何手術(shù)無關(guān)。 題型3：獨(dú)立的概念及應(yīng)用 例5．(xx,江蘇、河南,12分)有三種產(chǎn)品,合格率分別是0.90,0.95和0.95，各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn)。 (1)求恰有一件不合格的概率； (2)求至少有兩件不合格的概率（精確到0.001）； 解析：設(shè)三種產(chǎn)品各抽取一件，抽到合格產(chǎn)品的事件分別為A、B和C， (1)P(A)=0.90，P(B)=P(C)=0.95，則P()=0.10,P()=P()=0.05。 因?yàn)槭录嗀、B、C相互獨(dú)立，恰有一件不合格的概率為： P（AB）+P（AC）+P（BC） =P（A）P（B）P（）+P（A）P（）P（C）+P()P(B)P(C) =20.900.950.05+0.100.950.95≈0.176 答：恰有一件不合格的概率為0.176. (2)解法一：至少有兩件不合格的概率為： P（A）+P（B）+P（C）+P（） =0.900.050.05+20.100.050.95+0.100.050.05≈0.012. 答：至少有兩件不合格的概率為0.012. 解法二：三件產(chǎn)品都合格的概率為： P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.900.950.95≈0.812. 由(1)知，恰有一件不合格的概率為0.176，所以，至少有兩件不合格的概率為1-[P（ABC）+0.176]=1-（0.812+0.176）=0.012. 答：至少有兩件不合格的概率為0.012. 點(diǎn)評：本題主要考查互斥事件有一個發(fā)生的概率和相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。 例6．（06北京卷）某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案。 方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過； 方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過. 假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響. （Ⅰ）分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時考試通過的概率； （Ⅱ）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.（說明理由） 解析：設(shè)三門考試課程考試通過的事件分別為A，B，C，相應(yīng)的概率為a，b，c （1）考試三門課程，至少有兩門及格的事件可表示為AB＋AC＋BC＋ABC，設(shè)其概率為P1，則P1＝ab（1－c）＋a（1－b）c＋（1－a）bc＋abc＝ab＋ac＋bc－2abc 設(shè)在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格的概率為P2，則P2＝ab＋ac＋bc （2）P1－P2＝（ab＋ac＋bc－2abc）－（ab＋ac＋bc）＝ab＋ac＋bc－2abc＝（ab＋ac＋bc－3abc）＝〔ab（1-c）＋ac（1－b）＋bc（1－a）〕>0 \P1>P2即用方案一的概率大于用方案二的概率。 點(diǎn)評：“至少、至多”問題的處理方式是分類到底，利用獨(dú)立、互斥或?qū)α⑹录M(jìn)行轉(zhuǎn)化。 題型4：隨機(jī)變量的分布列 例7．（06廣東卷）．某運(yùn)動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下： 6 7 8 9 10 0 現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為. (I)求該運(yùn)動員兩次都命中7環(huán)的概率 (II)求的分布列 解析：(Ⅰ)求該運(yùn)動員兩次都命中7環(huán)的概率為； (Ⅱ)的可能取值為7、8、9、10 ； ， ， ， 分布列為： 7 8 9 10 P 0.04 0.21 0.39 0.36 (Ⅲ) 的數(shù)學(xué)希望為。 點(diǎn)評：分布列不僅明確給出了（）的概率，而且對任事件（）發(fā)生的概率均可由分布列算出： 。 例8．設(shè)自動生產(chǎn)線在調(diào)整后出現(xiàn)廢品的概率為0.1，而且一旦出現(xiàn)廢品就要重新調(diào)整，求在兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品的數(shù)目不小于5的概率。 分析：如果用隨機(jī)變量η表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的產(chǎn)品的個數(shù)，而且我們知道一旦出現(xiàn)廢品就重新調(diào)整生產(chǎn)線，所以兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品是連續(xù)出現(xiàn)的，那么隨機(jī)變量η的取值就服從幾何分布，我們在解題時應(yīng)先求出η的分布列。然后再計(jì)算事件“合格品數(shù)不小于5”即{η>5}的概率。 解析：設(shè)隨機(jī)變量η表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品的個數(shù)，則η服從幾何分布，事件{η＝k}就表示生產(chǎn)了k－1件合格品，且第k件產(chǎn)品是廢品。容易求得： P(η＝1)＝0.1， P(η＝2)＝(1－0.1)0.1＝0.09， 寫成分布列的形式為： 1 2 3 4 5 6 … P 0.1 0.09 0.81 0.0729 0.06561 0.059049 … 題目中要求計(jì)算“所生產(chǎn)的合格品數(shù)不小于5”的概率，即P(η>5)，因?yàn)槭录η>5}所包含的基本事件為{η＝6}，{η＝7}，…，{η＝n}，…，所以有 P(η>5)＝P(η＝6)＋P(η＝7)＋…＋P(η＝n)＋… 我們應(yīng)用分布列的性質(zhì)計(jì)算上式的值．因?yàn)镻(η>5)＝1－P(η≤5)，所以 P(η>5)＝1－［P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＋P(η＝4)＋P(η＝5)］ ＝1－(0.1＋0.09＋0.081＋0.0729＋0.06561)＝0.49049， 所以事件“兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品數(shù)不小于5”的概率為0.49049 點(diǎn)評：這是一道綜合例題，包括了分列的計(jì)算及分布列的應(yīng)用兩個步驟。該題對于我們鞏固所學(xué)知識，深入了解分布列有很大幫助。 題型5：隨機(jī)變量的均值 例9．（1）（06福建卷）一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)0，兩個面上標(biāo)以數(shù)1,一個面上標(biāo)以數(shù)2，將這個小正方體拋擲2次； 則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是 ； （2）（xx上海文）利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，應(yīng)選擇的方案是_____. 解析：（1）一個均勻小正方體的6個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)0，兩個面上標(biāo)以數(shù)1，一個面上標(biāo)以數(shù)2。將這個小正方體拋擲2次，向上的數(shù)之積可能為ξ=0，1，2，4， 則， ， ， ， ∴ . 點(diǎn)評：掌握離散性隨機(jī)變量均值的計(jì)算方法，以及計(jì)算的先后順序。 （2）答案：A3 解析：A1的數(shù)學(xué)期望：=0.2550+0.3065+0.4526=43.7 A2的數(shù)學(xué)期望：=0.2570+0.3026+0.4516=32.5 A3的數(shù)學(xué)期望：=0.25（－20）+0.3052+0.4578=45.7 A4的數(shù)學(xué)期望：=0.2598+0.3082+0.45（－10）=44.6 點(diǎn)評：本題考查概率與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生識表的能力.對圖表的識別能力，是近年高考突出考查的熱點(diǎn).圖表語言與其數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)換，應(yīng)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重點(diǎn)，應(yīng)引起高度重視。 例10．（06四川卷）設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為1，2，3，4。（1，2，3，4）。又的數(shù)學(xué)期望，則 ; 解析：設(shè)離散性隨機(jī)變量可能取的值為，所以，即， 又的數(shù)學(xué)期望，則，即，,∴ 。 點(diǎn)評：均值計(jì)算時要根據(jù)公式進(jìn)行簡化計(jì)算，從而達(dá)到簡化運(yùn)算的目的。 題型6：隨機(jī)變量的方差 例11．甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為ε、η，ε和η的分布列如下： ε 0 1 2 η 0 1 2 P P 試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較。 分析：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動情況，即方差值的大小。 解析：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)ε的期望和方差分別為： ， ； 工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)η的期望和方差分別為： ， ； 由Eε=Eη知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但Dε>Dη，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定。 點(diǎn)評：期望僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，但有時僅知道均值的大小還不夠。如果兩個隨機(jī)變量的均值相等，還要看隨機(jī)變量的取值如何在均值周圍變化，即計(jì)算方差。方差大說明隨機(jī)變量取值較分散，方差小說明取值分散性小或者取值比較集中、穩(wěn)定。 題型7：正態(tài)分布 例12．（06湖北卷）在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布。已知成績在90分以上（含90分）的學(xué)生有12名。 （Ⅰ）、試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？ （Ⅱ）、若該校計(jì)劃獎勵競賽成績排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為多少分？ 可共查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 解析：（Ⅰ）設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為，因?yàn)椤玁(70，100)，由條件知， P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228. 這說明成績在90分以上（含90分）的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28％，因此， 參賽總?cè)藬?shù)約為≈526（人）。 （Ⅱ）假定設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線為x分，則P(≥x)＝1－P（下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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