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2019-2020年高一數(shù)學(xué)《函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計
一、內(nèi)容與解析
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一.在中學(xué),函數(shù)的學(xué)習(xí)大致可分為三個階段.第一階段是在義務(wù)教育階段,學(xué)習(xí)了函數(shù)的描述性概念,接觸了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等最簡單的函數(shù),了解了它們的圖象、性質(zhì)等.本節(jié)學(xué)習(xí)的函數(shù)概念與后續(xù)將要學(xué)習(xí)的函數(shù)的基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)(Ⅰ)和基本初等函數(shù)(Ⅱ)是學(xué)習(xí)函數(shù)的第二階段,這是對函數(shù)概念的再認(rèn)識階段.第三階段是在選修系列的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的學(xué)習(xí),這是函數(shù)學(xué)習(xí)的進一步深化和提高.
在學(xué)生學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)之前,學(xué)生已經(jīng)把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系;同時,雖然函數(shù)概念比較抽象,但函數(shù)現(xiàn)象大量存在于學(xué)生周圍.因此,課本采用了從實際例子中抽象出用集合與對應(yīng)的語言定義函數(shù)的方式介紹函數(shù)概念.
二、教學(xué)目標(biāo)及解析
1.會用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù),理解函數(shù)符號y=f(x)的含義;通過學(xué)習(xí)函數(shù)的概念,培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題的探究能力,進一步培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和抽象概括能力;啟發(fā)學(xué)生運用函數(shù)模型表述、思考和解決現(xiàn)實世界中蘊涵的規(guī)律,逐漸形成善于提出問題的習(xí)慣,學(xué)會數(shù)學(xué)表達(dá)和交流,發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.
2.掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域,體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用,使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性和重要性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.
三、問題診斷分析
教學(xué)重點:理解函數(shù)的模型化思想,用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù).
教學(xué)難點:符號“y=f(x)”的含義,不容易認(rèn)識到函數(shù)概念的整體性,而將函數(shù)單一地理解成對應(yīng)關(guān)系,甚至認(rèn)為函數(shù)就是函數(shù)值.
四、教學(xué)支持條件分析
在本節(jié)課()的教學(xué)中,準(zhǔn)備使用(),因為使用(),有利于().
五、教學(xué)過程
第一課時
導(dǎo)入新課
問題:已知函數(shù),請用初中所學(xué)函數(shù)的定義來解釋y與x的函數(shù)關(guān)系？先讓學(xué)生回答后,教師指出:這樣解釋會顯得十分勉強,本節(jié)將用新的觀點來解釋,引出課題.
推進新課
新知探究
提出問題
1.給出下列三種對應(yīng):(幻燈片)
（1）一枚炮彈發(fā)射后,經(jīng)過26 s落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為845 m,且炮彈距地面的高度為h(單位:m)隨時間t(單位:s)變化的規(guī)律是h=130t-5t2.請回答：
①該問題中的自變量與因變量分別是什么？它們的取值范圍用集合如何表示？
②請得出炮彈飛行1s，5s，10s，20s時距地面的高度
③請用集合與對應(yīng)的語言描述變量之間的依賴關(guān)系
④用符號語言描述上述的依賴關(guān)系
時間t的變化范圍是數(shù)集A={t|0≤t≤26},h的變化范圍是數(shù)集B={h|0≤h≤845}.則有對應(yīng)
f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.
（2）近幾十年來,大氣層的臭氧迅速減少,因而出現(xiàn)了臭氧洞問題.圖1-2-1-1中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積S(單位:106 km2)隨時間t(單位:年)從1979~xx年的變化情況.
圖1-2-1-1
請回答：
① 該問題中的自變量與因變量分別是什么？它們的取值范圍用集合如何表示？
② 從圖中可以看出哪一年臭氧空洞面積最大？哪些年的臭氧空洞的面積大約為1500萬平方千米？
③請用集合與對應(yīng)的語言描述變量之間的依賴關(guān)系
④用符號語言描述上述的依賴關(guān)系
根據(jù)圖1-2-1-1中的曲線,可知時間t的變化范圍是數(shù)集A={t|1979≤t≤xx},空臭氧層空洞面積S的變化范圍是數(shù)集B={S|0≤S≤26},則有對應(yīng):
f:t→S,t∈A,S∈B.
（3）國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低,恩格爾系數(shù)越低,生活質(zhì)量越高.下表中的恩格爾系數(shù)y隨時間t(年)變化的情況表明,“八五”計劃以來,我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化.
“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況
時間
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
xx
xx
xx
xx
恩格爾系數(shù)y
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
46.4
44.5
41.9
39.2
37.9
請回答：
①恩格爾系數(shù)與時間之間的關(guān)系是否和前兩個實例中的兩個變量之間的關(guān)系相似？如何用集合與對應(yīng)的語言來描述這個關(guān)系？
②用符號語言描述上述的依賴關(guān)系
根據(jù)上表,可知時間t的變化范圍是數(shù)集A={t|1991≤t≤xx},恩格爾系數(shù)y的變化范圍是數(shù)集B={S|37.9≤S≤53.8}.則有對應(yīng):
f:t→y,t∈A,y∈B.
（2）以上三個實例有什么共同特點？
（3）請用集合的觀點給出函數(shù)的定義. 函數(shù)f:A→B的值域為C,那么集合B=C嗎？
初中函數(shù)定義：在某一變化過程中，有兩個變量x，y。在某一法則的作用下，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與其相對應(yīng)，這時，就稱y是x的函數(shù)。這時，x是自變量，y是因變量。
高中函數(shù)定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：
其中，叫做自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。
（4）初中學(xué)過哪些函數(shù)？它們的定義域、值域、對應(yīng)法則分別是什么？請?zhí)顚懴卤?
函數(shù)
一次函數(shù)
二次函數(shù)
反比例函數(shù)
a>0
a<0
對應(yīng)法則
定義域
值域
（5）在研究函數(shù)時常會用到區(qū)間的概念,設(shè)a,b是兩個實數(shù),且a
a}
(a,b］
{x|x≤a}
(-∞,a］
{x|x0時,求f(a),f(a-1)的值.
活動：
(1)讓學(xué)生回想函數(shù)的定義域指的是什么？函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍,故轉(zhuǎn)化為求使和有意義的自變量的取值范圍;有意義,則x+3≥0, 有意義,則x+2≠0,轉(zhuǎn)化解由x+3≥0和x+2≠0組成的不等式組.
(2)讓學(xué)生回想f(-3),f()表示什么含義？f(-3)表示自變量x=-3時對應(yīng)的函數(shù)值,f()表示自變量x=時對應(yīng)的函數(shù)值.分別將-3,代入函數(shù)的對應(yīng)法則中得f(-3),f()的值.
(3)f(a)表示自變量x=a時對應(yīng)的函數(shù)值,f(a-1)表示自變量x=a-1時對應(yīng)的函數(shù)值.
分別將a,a-1代入函數(shù)的對應(yīng)法則中得f(a),f(a-1)的值.
解：(1)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值需滿足解得-3≤x<-2或x>-2,
即函數(shù)的定義域是［-3,-2)∪(-2,+∞).
(2)f(-3)=+=-1;
f()==.
(3)∵a>0,∴a∈［-3,-2)∪(-2,+∞),
即f(a),f(a-1)有意義.
則f(a)=+;
f(a-1)==.
點評：本題主要考查函數(shù)的定義域以及對符號f(x)的理解.求使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍,通常轉(zhuǎn)化為解不等式組.
f(x)是表示關(guān)于變量x的函數(shù),又可以表示自變量x對應(yīng)的函數(shù)值,是一個整體符號,分開符號f(x)沒有什么意義.符號f可以看作是對“x”施加的某種法則或運算.例如f(x)=x2-x+5,當(dāng)x=2時,看作“2”施加了這樣的運算法則:先平方,再減去2,再加上5;當(dāng)x為某一代數(shù)式(或某一個函數(shù)記號時),則左右兩邊的所有x都用同一個代數(shù)式(或某一個函數(shù))來代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,f［g(x)］=［g(x)］2-g(x)+5等等.
符號y=f(x)表示變量y是變量x的函數(shù),它僅僅是函數(shù)符號,并不表示y等于f與x的乘積;符號f(x)與f(m)既有區(qū)別又有聯(lián)系,當(dāng)m是變量時,函數(shù)f(x)與函數(shù)f(m)是同一個函數(shù);當(dāng)m是常數(shù)時,f(m)表示自變量x=m對應(yīng)的函數(shù)值,是一個常量.
已知函數(shù)的解析式,求函數(shù)的定義域,就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍,即:
(1)如果f(x)是整式,那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.
(2)如果f(x)是分式,那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合.
(3)如果f(x)是二次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合.
(4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合(即求各部分定義域的交集).
(5)對于由實際問題的背景確定的函數(shù),其定義域還要受實際問題的制約.
2.已知函數(shù)f(x)的定義域是［-1,1］,則函數(shù)f(2x-1)的定義域是________.
分析:要使函數(shù)f(2x-1)有意義,自變量x的取值需滿足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.
答案：［0,1］
思路2
若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但是定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”.那么解析式為y=x2,值域是{4}的“同族函數(shù)”共有 個
分析:“同族函數(shù)”的個數(shù)由定義域的個數(shù)來確定,此題中每個“同族函數(shù)”的定義域中至少含有1個絕對值為1的實數(shù)和絕對值為2的實數(shù).
令x2=1,得x=1;令x2=4,得x=2.
所有“同族函數(shù)”的定義域分別是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},
{-1,-2,2},{1,-1,-2,2},則“同族函數(shù)”共有9個.
答案：A
思路3
下列圖象中不能作為函數(shù)的圖象的是（ ）
課堂小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了:函數(shù)的概念、函數(shù)定義域的求法和對函數(shù)符號f(x)的理解.
作業(yè)
課本P24,習(xí)題1.2A組1、5.
第二課時
導(dǎo)入新課
思路1.當(dāng)實數(shù)a、b的符號相同,絕對值相等時,實數(shù)a=b;當(dāng)集合A、B中元素完全相同時,集合A=B;那么兩個函數(shù)滿足什么條件才相等呢？引出課題:函數(shù)相等.
思路2.我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念,y=x與y=是同一個函數(shù)嗎？這就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容,引出課題:函數(shù)相等.
推進新課
新知探究
提出問題
①指出函數(shù)y=x+1的構(gòu)成要素有幾部分？
②一個函數(shù)的構(gòu)成要素有幾部分？
③分別寫出函數(shù)y=x+1和函數(shù)y=t+1的定義域和對應(yīng)關(guān)系,并比較異同.
④函數(shù)y=x+1和函數(shù)y=t+1的值域相同嗎？由此可見兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同,值域相同嗎？
⑤由此你對函數(shù)的三要素有什么新的認(rèn)識？
討論結(jié)果：①函數(shù)y=x+1的構(gòu)成要素為:定義域R,對應(yīng)關(guān)系x→x+1,值域是R.
②一個函數(shù)的構(gòu)成要素為:定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域,簡稱為函數(shù)的三要素.其中定義域是函數(shù)的靈魂,對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心.當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的三要素都相同時,這兩個函數(shù)才相同.
③定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同.
④值域相同.
⑤如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同,那么它們的值域一定相等.因此只要兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同,那么這兩個函數(shù)就相等.
應(yīng)用示例
思路1
1.下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等？
(1)y=()2;(2)y=;(3)y=;(4)y=.
活動：
讓學(xué)生思考兩個函數(shù)相等的條件后,引導(dǎo)學(xué)生求出各個函數(shù)的定義域,化簡函數(shù)關(guān)系式為最簡形式.只要它們定義域和對應(yīng)關(guān)系分別相同,那么這兩個函數(shù)就相等.
解：函數(shù)y=x的定義域是R,對應(yīng)關(guān)系是x→x.
(1)∵函數(shù)y=()2的定義域是［0,+∞),
∴函數(shù)y=()2與函數(shù)y=x的定義域R不相同.
∴函數(shù)y=()2與函數(shù)y=x不相等.
(2)∵函數(shù)y=的定義域是R,
∴函數(shù)y=與函數(shù)y=x的定義域R相同.
又∵y==x,
∴函數(shù)y=與函數(shù)y=x的對應(yīng)關(guān)系也相同.
∴函數(shù)y=與函數(shù)y=x相等.
(3)∵函數(shù)y=的定義域是R,
∴函數(shù)y=與函數(shù)y=x的定義域R相同.
又∵y==|x|,
∴函數(shù)y=與函數(shù)y=x的對應(yīng)關(guān)系不相同.
∴函數(shù)y=與函數(shù)y=x不相等.
(4)∵函數(shù)y=的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),
∴函數(shù)y=與函數(shù)y=x的定義域R不相同,
∴函數(shù)y=()2與函數(shù)y=x不相等.
點評：本題主要考查函數(shù)相等的含義.討論函數(shù)問題時,要保持定義域優(yōu)先的原則.對于判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù),要先求定義域,若定義域不同,則不是同一個函數(shù);若定義域相同,再化簡函數(shù)的解析式,若解析式相同(即對應(yīng)關(guān)系相同),則是同一個函數(shù),否則不是同一個函數(shù).
變式訓(xùn)練
判斷下列各組的兩個函數(shù)是否相同,并說明理由.
①y=x-1,x∈R與y=x-1,x∈N;
②y=與y=;
③y=1+與u=1+;
④y=x2與y=x;
⑤y=2|x|與y=
⑥y=f(x)與y=f(u).
是同一個函數(shù)的是________(把是同一個函數(shù)的序號填上即可).
解：只需判斷函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是否均相同即可.
①前者的定義域是R,后者的定義域是N,由于它們的定義域不同,故不是同一個函數(shù);
②前者的定義域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定義域是{x|x≥2},它們的定義域不同,故不是同一個函數(shù);
③定義域相同均為非零實數(shù),對應(yīng)法則相同都是自變量取倒數(shù)后加1,那么值域必相同,故是同一個函數(shù);
④定義域是相同的,但對應(yīng)法則不同,故不是同一個函數(shù);
⑤函數(shù)y=2|x|=則定義域和對應(yīng)法則均相同,那么值域必相同,故是同一個函數(shù);
⑥定義域相同,對應(yīng)法則相同,那么值域必相同,故是同一個函數(shù).
故填③⑤⑥.
思路2
1.判斷下列函數(shù)f(x)與g(x)是否表示同一個函數(shù),說明理由.
(1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1.
(2)f(x)=x-1,g(x)=.
(3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2.
(4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1.
活動：學(xué)生思考函數(shù)的概念及其三要素,教師引導(dǎo)學(xué)生先判斷定義域是否相同,當(dāng)定義域相同時,再判斷它們的對應(yīng)關(guān)系是否相同.
解：(1)∵f(x)=(x-1)0的定義域是{x|x≠1},函數(shù)g(x)=1的定義域是R,
∴函數(shù)f(x)=(x-1)0與函數(shù)g(x)=1的定義域不同.
∴函數(shù)f(x)=(x-1)0與函數(shù)g(x)=1不表示同一個函數(shù).
(2)∵f(x)=x-1的定義域是R,g(x)==的定義域是R,
∴函數(shù)f(x)=x-1與函數(shù)g(x)=的定義域相同.
又∵g(x)===|x-1|,
∴函數(shù)f(x)=x-1與函數(shù)g(x)=的對應(yīng)關(guān)系不同.
∴函數(shù)f(x)=x-1與函數(shù)g(x)=不表示同一個函數(shù).
(3)很明顯f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的定義域都是R,
又∵f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的對應(yīng)關(guān)系不同,
∴函數(shù)f(x)=x2和g(x)=(x+1)2不表示同一個函數(shù).
(4)很明顯f(x)=x2-1與g(u)=u2-1的定義域都是R,
又∵f(x)=x2-1與g(u)=u2-1的對應(yīng)關(guān)系也相同,
∴函數(shù)f(x)=x2-1與g(u)=u2-1表示同一個函數(shù).
變式訓(xùn)練
1.xx湖北黃岡模擬,理13已知函數(shù)f(x)滿足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,則f(36)=_______.
解：由題意得f(36)=f(66)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(23)=2［f(2)+f(3)］=2p+2q.
答案：2p+2q
2.函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=2的公共點共有( )
A.0個 B.1個 C.0個或1個 D.不確定
答案：C
2.設(shè)y是u的函數(shù)y=f(u),而u又是x的函數(shù)u=g(x),設(shè)M表示u=g(x)的定義域,N是函數(shù)y=f(u)的值域,當(dāng)M∩N≠時,則y成為x的函數(shù),記為y=f[g(x)].這個函數(shù)叫做由y=f(u)及u=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),它的定義域為M∩N,u叫做中間變量,f稱為外層函數(shù),g稱為內(nèi)層函數(shù).指出下列復(fù)合函數(shù)外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù),并且使外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)均為基本初等函數(shù).
(1)y=;(2)y=(x2-2x+3)2;(3)y=-1.
活動：讓學(xué)生思考有哪些基本初等函數(shù),它們的解析式是什么.
解：(1)設(shè)y=,u=x+1,
即y=的外層函數(shù)是反比例函數(shù)y=,內(nèi)層函數(shù)是一次函數(shù)u=x+1.
(2)設(shè)y=u2,u=x2-2x+3,
即y=(x2-2x+3)2的外層函數(shù)是二次函數(shù)y=u2,內(nèi)層函數(shù)是二次函數(shù)u=x2-2x+3.
(3)設(shè)y=u2+u-1,u=,
即y=-1的外層函數(shù)是二次函數(shù)y=u2+u-1,內(nèi)層函數(shù)是反比例函數(shù)u=.
點評：到目前為止,我們所遇到的函數(shù)大部分是復(fù)合函數(shù),并且是由正、反比例函數(shù)和一、二次函數(shù)復(fù)合而成的,隨著學(xué)習(xí)的深入,我們還會學(xué)習(xí)其他復(fù)合函數(shù).復(fù)合函數(shù)是高考重點考查的內(nèi)容之一,應(yīng)引起我們的重視.
變式訓(xùn)練
1.xx重慶高考,文2設(shè)f(x)=,則=_______.
答案：-1
2.xx安徽高考,理15函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足條件f(x+2)=,若f(1)=-5,則f［f(5)］=.
分析:∵函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足條件f(x+2)= ,∴f(x+4)=f［(x+2)+1］==f(x).
∴f(1)=f(1+4)=f(5).
又∵f(1)=-5,∴f(5)=-5.
∴f［f(5)］=f(-5) =f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)==.
答案：
知能訓(xùn)練
1.下列給出的四個圖形中,是函數(shù)圖象的是( )
A.① B.①③④ C.①②③ D.③④
圖1-2-1-2
答案：B
2.函數(shù)y=f(x)的定義域是R,值域是［1,2］,則函數(shù)y=f(2x-1)的值域是_______.
答案：［1,2］
3.下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的有________.
①f(x)=,g(x)=x;②f(x)=x0,g(x)=;
③f(x)=,g(u)=;④f(x)=-x2+2x,g(u)=-u2+2u.
答案：②③④
拓展提升
問題:函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=m有幾個交點？
探究:設(shè)函數(shù)y=f(x)定義域是D,
當(dāng)m∈D時,根據(jù)函數(shù)的定義知f(m)唯一,
則函數(shù)y=f(x)的圖象上橫坐標(biāo)為m的點僅有一個(m,f(m)),
即此時函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=m僅有一個交點;
當(dāng)mD時,根據(jù)函數(shù)的定義知f(m)不存在,
則函數(shù)y=f(x)的圖象上橫坐標(biāo)為m的點不存在,
即此時函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=m沒有交點.
綜上所得,函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=m有交點時僅有一個,或沒有交點.
課堂小結(jié)
(1)復(fù)習(xí)了函數(shù)的概念,總結(jié)了函數(shù)的三要素;
(2)學(xué)習(xí)了復(fù)合函數(shù)的概念;
(3)判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù).
作業(yè)
1.設(shè)M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},給出下列4個圖形,其中能表示以集合M為定義域,N為值域的函數(shù)關(guān)系是( )
圖1-2-1-3
分析:A中,當(dāng)0
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函數(shù)的概念
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