2019-2020年高三數學總復習 誘導公式教案 理.doc

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2019-2020年高三數學總復習 誘導公式教案 理 教材分析 這節(jié)內容以學生在初中已經學習了銳角的三角函數值為基礎，利用單位圓和三角函數的定義，導出三角函數的五組誘導公式，即有關角k360＋α，180＋α，－α，180－α，360－α的公式，并通過運用這些公式，把求任意角的三角函數值轉化為求銳角的三角函數值，從而滲透了把未知問題化歸為已知問題的化歸思想．這節(jié)課的重點是后四組誘導公式以及這五組公式的綜合運用．把這五組公式用一句話歸納出來，并切實理解這句話中每一詞語的含義，是切實掌握這五組公式的難點所在．準確把握每一組公式的意義及其中符號語言的特征，并且把公式二、三與圖形對應起來，是突破上述難點的關鍵． 教學目標 1. 在教師的引導下，啟發(fā)學生探索發(fā)現誘導公式及其證明，培養(yǎng)學生勇于探求新知、善于歸納總結的能力． 2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的誘導公式，并能應用這些公式解決一些求值、化簡、證明等問題． 3. 讓學生體驗探索后的成功喜悅，培養(yǎng)學生的自信心． 4. 使學生認識到轉化“矛盾”是解決問題的有效途徑，進一步樹立化歸思想． 任務分析 誘導公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函數值轉化為求銳角的三角函數值．在五組誘導公式中，關于180＋α與－α的誘導公式是最基本的，也是最重要的．在推導這兩組公式時，應放手讓學生獨立探索，尋求“180＋α與角α的終邊”及“－α與角α的終邊”之間的位置關系，從而完成公式的推導．此外，要把90～360范圍內的三角函數轉化為銳角的三角函數，除了利用第二、四、五個公式外，還可以利用90＋α，270α與α的三角函數值之間的關系．應引導學生在掌握前五組誘導公式的基礎上進一步探求新的關系式，從而使學生在頭腦中形成完整的三角函數的認知結構． 教學設計 一、問題情境 教師提出系列問題 1. 在初中我們學習了求銳角的三角函數值，現在角的概念已經推廣到了任意角，能否把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值呢？ 2. 當α＝390時，能否求出它的正弦、余弦和正切值？ 3. 由2你能否得出一般性的結論？試說明理由． 二、建立模型 1. 分析1 在教師的指導下，學生獨立推出公式（一），即 2. 應用1 在公式的應用中讓學生體會公式的作用，即把任意角的三角函數值轉化為0～360范圍內的角的三角函數值． 練習：求下列各三角函數值． （1）cosπ．　　（2）tan405． 3. 分析2 如果能夠把90～360范圍內的角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值，即可實現“把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值”的目標．例如，能否將120，240，300角與我們熟悉的銳角建立某種聯系，進而求出其余弦值？ 引導學生利用三角函數的定義并借助圖形，得到如下結果： cos120＝cos（180－60）＝－cos60＝－， cos240＝cos（180＋60）＝－cos60＝－， cos300＝cos（360＋60）＝cos60＝． 4. 分析3 一般地，cos（180＋α），cos（180－α），cos（360－α）與cosα的關系如何？你能證明自己的結論嗎？由學生獨立完成下述推導： 設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）．由于角180＋α的終邊就是角α的終邊的反向延長線，則角180＋α的終邊與單位圓的交點P′與點P關于原點O對稱． 由此可知，點P′的坐標是（－x，－y）． 又∵單位圓的半徑r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝，cos（180＋α）＝－x，sin（180＋α）＝－y，tan（180＋α）＝． 從而得到： 5. 分析4 在推導公式三時，學生會遇到如下困難，即：若α為任意角，180－α與角α的終邊的位置關系不容易判斷．這時，教師可引導學生借助公式二，把180－α看成180＋（－α），即：先把180－α的三角函數值轉化為－α的三角函數值，然后通過尋找－α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系，使原問題得到解決． 由學生獨立完成如下推導： 如圖，設任意角α的終邊與單位圓相交于P（x，y），角－α的終邊與單位圓相交于點P′．∵這兩個角的終邊關于ｘ軸對稱，∴點P′的坐標是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x， sin（－α）＝－y，tan（－α）＝ 從而得到： 進而推出： 注：在問題的解決過程中，教師要注意讓學生充分體驗成功的快樂． 6. 教師歸納 公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作誘導公式，利用它們可以把k360＋α，180α，－α，360－α的三角函數轉化為α的三角函數．那么，在轉化過程中，發(fā)生了哪些變化？這種變化是否存在著某種規(guī)律？ 引導學生進行如下概括：α＋k360（k∈Z），－α，180α，360－α的三角函數值，等于α的同名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號．為了便于記憶，還可編成一句口訣“函數名不變，符號看象限”． 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 求下列各三角函數值． 通過應用，讓學生體會誘導公式的作用： ①把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數，其一般步驟為 評注：本題中，若代入cosαcot3α形式，就須先求得cosα的值．由于不能確定角α所在象限，解題過程將變得煩鎖．以此提醒學生注意選取合理形式解決問題． 四、拓展延伸 教師出示問題：前面我們利用三角函數的定義及對稱性研究了角α＋k360（k∈Z），－α，180α，360－α的三角函數與角α的三角函數之間的關系，這些角有一個共同點，即：均為180的整數倍加、減α．但是，在解題過程中，還會遇到另外的情況，如前面遇到的120角，它既可以寫成180－60，也可以寫成90＋30，那么90＋α的三角函數與α的三角函數有著怎樣的關系呢？ 學生探究：經過獨立探求后，有學生可能會得到如下結果： 設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y），角90＋α的終邊與單位圓交于點P′（x′，y′）（如圖），則cosα＝x，sinα＝y，cos（90＋α）＝x′，sin（90＋α）＝y′． 過P作PM⊥x軸，垂足為M，過P′作P′M′⊥y軸，垂足為M′，則△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y′，y＝x′． 進而得到cos（90＋α）＝sinα，sin（90＋α）＝cosα．對此結論和方法，教師不宜作任何評論，而應放手讓學生展開辯論和交流，最后得到正確結果： 由于OM與OM′，MP與M′P′僅是長度相等，而當點P在第一象限時，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0， 又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x． 從而得到： 教師進一步引導： （1）推導上面的公式時，利用了點P在第一象限的條件．當點Ｐ不在第一象限時，是否仍有上面的結論？ （通過多媒體演示角α的終邊在不同象限的情景，使學生理解公式六中的角α可以為任意角） （2）推導公式六時，采用了初中的平面幾何知識．是否也能像推導前五組公式那樣采用對稱變換的方式呢？ 學生探究：學生先針對α為銳角時的情況進行探索，再推廣到α為任意角的情形． 設角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），＋α的終邊與單位圓的交點為P′（x′，y′）（如圖）．由于角α的終邊經過下述變換：2（－α） ＋2a＝，即可得到＋α的終邊．這是兩次對稱變換，即先作P關于直線y＝x的對稱點M（y，x），再作點M關于y軸的對稱點P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x． 由此，可進一步得到： 教師歸納：公式六、七、八、九也稱作誘導公式，利用它們可以把90α，270α的三角函數轉化為α的三角函數． 引導學生總結出： 90α，270α的三角函數值等于α的余名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號． 兩套公式合起來，可統一概括為 對于k90α（k∈Z）的各三角函數值，當k為偶數時，得α的同名函數值；當k為奇數時，得α的余名函數值．然后，均在前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號．為了便于記憶，也可編成口訣：“奇變偶不變，符號看象限”． 點　評 這篇案例從學生的實際出發(fā)，充分尊重學生的思維特點，通過創(chuàng)設問題情境，引發(fā)認知沖突，較好地調動了學生的積極性和主動性，符合新課程理念的精神．在教學設計中，教師以學生活動為主，注意師生互動，體現學生的自主學習．實際的課堂教學表明，在教學過程中，教師對每名同學的發(fā)言都給以充分地鼓勵，即使他的解法不完美，甚至不正確．這對保護學生大膽嘗試、認真思考的積極性至關重要．只有這樣，才能將教學效果落實到學生個體的學習行為上，進而實現預期的教學目標．總之，這篇案例的突出特點就是，注意通過問題驅動的方式，激發(fā)學生主動探究的熱情，完成五組誘導公式的推導．缺陷是，在關注五組誘導公式推導的“一氣呵成”的同時，鞏固、強化工作顯得單?。@是一對棘手的矛盾！