2019-2020年高三數(shù)學經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（3）教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學經(jīng)典示范 函數(shù)的表示法（3）教案 新人教A版 導入新課 思路1.復習初中常見的對應關系 1.對于任何一個實數(shù)a,數(shù)軸上都有唯一的點P和它對應. 2.對于坐標平面內(nèi)任何一個點A,都有唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)和它對應. 3.對于任意一個三角形,都有唯一確定的面積和它對應. 4.某影院的某場電影的每一張電影票有唯一確定的坐位與它對應. 5.函數(shù)的概念. 我們已經(jīng)知道,函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應,若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個非空集合”,按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應關系,這種對應就叫映射(板書課題). 思路2.前面學習了函數(shù)的概念是:一般地,設A,B是兩個非空數(shù)集,如果按照某種對應法則f,對于集合A中的每個元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它對應. (1)對于任意一個實數(shù),在數(shù)軸上都有唯一的點與之對應. (2)班級里的每一位同學在教室都有唯一的坐位與之對應. (3)對于任意的三角形,都有唯一確定的面積與之對應. 那么這些對應又有什么特點呢？ 這種對應稱為映射.引出課題. 推進新課 新知探究 提出問題 ①給出以下對應關系: 圖1-2-2-20 這三個對應關系有什么共同特點？ ②像問題①中的對應我們稱為映射,請給出映射的定義？ ③“都有唯一”是什么意思？ ④函數(shù)與映射有什么關系？ 討論結(jié)果：①集合A、B均為非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素與之對應. ②一般地,設A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那么就稱對應f:A→B為從集合A到集合B的一個映射.記作“f:A→B”. 如果集合A中的元素x對應集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B中元素y叫集合A中的元素x的象. ③包含兩層意思:一是必有一個;二是只有一個,也就是說有且只有一個的意思,即是一對一或多對一. ④函數(shù)是特殊的映射,映射是函數(shù)的推廣. 應用示例 思路1 1.下列哪些對應是從集合A到集合B的映射？ (1)A={P|P是數(shù)軸上的點},B=R,對應關系f:數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應; (2)A={P|P是平面直角坐標系中的點},B={(x,y)|x∈R,y∈R},對應關系f:平面直角坐標系中的點與它的坐標對應; (3)A={三角形},B={x|x是圓},對應關系f:每一個三角形都對應它的內(nèi)切圓; (4)A={x|x是新華中學的班級},B={x|x是新華中學的學生},對應關系f:每一個班級都對應班里的學生. 活動：學生思考映射的定義.判斷一個對應是否是映射,要緊扣映射的定義. (1)中數(shù)軸上的點對應著唯一的實數(shù); (2)中平面直角坐標系中的點對應著唯一的有序?qū)崝?shù)對; (3)中每一個三角形都有唯一的內(nèi)切圓; (4)中新華中學的每個班級對應其班內(nèi)的多個學生. 解：(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射; (4)不是映射.新華中學的每個班級對應其班內(nèi)的多個學生,是一對多,不符合映射的定義. 變式訓練 1.圖1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭頭所標明的A中元素與B中元素的對應法則,是不是映射？ 圖1-2-2-21 答案：(1)不是;(2)是;(3)是;(4)是. 2.在圖1-2-2-22中的映射中,A中元素60的對應的元素是什么？在A中的什么元素與B中元素對應？ 圖1-2-2-22 答案：A中元素60的對應的元素是,在A中的元素45與B中元素對應. 思路2 1.下列對應是不是從集合A到集合B的映射,為什么？ (1)A=R,B={x∈R|x≥0},對應法則是“求平方”; (2)A=R,B={x∈R|x>0},對應法則是“求平方”; (3)A={x∈R|x>0},B=R,對應法則是“求平方根”; (4)A={平面內(nèi)的圓},B={平面內(nèi)的矩形},對應法則是“作圓的內(nèi)接矩形”. 活動：學生回顧映射的對應,教師適時點撥或提示.判斷一個對應是否是映射,關鍵是確定是否是“一對一”或“多對一”的對應,即集合A中的任意一個元素,在集合B中都有唯一確定的元素與之對應. 解：(1)是映射,因為A中的任何一個元素,在B中都能找到唯一的元素與之對應. (2)不是從集合A到集合B的映射,因為A中的元素0,在集合B中沒有對應的元素. (3)不是從集合A到集合B的映射,因為任何正數(shù)的平方根都有兩個值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有兩個元素與之對應. (4)不是從集合A到集合B的映射.因為一個圓有無窮多個內(nèi)接矩形,即集合A中任何一個元素在集合B中有無窮多個元素與之對應. 點評：本題主要考查映射的概念.給定兩集合A、B及對應法則f,判斷是否是從集合A到集合B的映射,主要利用映射的定義.用通俗的語言講:A→B的對應有“多對一”,“一對一”,“一對多”,前兩種對應是A到B的映射,而后一種不是A到B的映射. 變式訓練 1.設集合A={a,b,c},集合B=R,以下對應關系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是( ) A.對集合A中的數(shù)開平方 B.對集合A中的數(shù)取倒數(shù) C.對集合A中的數(shù)取算術(shù)平方根 D.對集合A中的數(shù)立方 分析:當a<0時,對a開平方或取算術(shù)平方根均無意義,則A、C錯;當a=0時,對a取倒數(shù)無意義,則B錯;由于對任何實數(shù)都能立方,并且其立方僅有一個,所以對集合A中的數(shù)立方能建立映射,故選D. 答案：D 2.設f:A→B是A到B的一個映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y),求: (1)A中元素(-1,2)在B中對應的元素; (2)在A中什么元素與B中元素(-1,2)對應？ 分析:這是一個映射的問題,由于A中元素(x,y)對應B中元素為(x-y,x+y),確定了對應法則,轉(zhuǎn)化為解方程組. 解：(1)A中元素(-1,2)在B中對應的元素為(-1-2,-1+2), 即(-3,1). (2)設A中元素(x,y)與B中元素(-1,2)對應, 則 解得 所以A中元素(,)與B中元素(-1,2)對應. 2.xx山東德州二模,理5設映射f:x→-x2+2x是實數(shù)集R=M到實數(shù)集R=N的映射,若對于實數(shù)p∈N,在M中不存在原象,則實數(shù)p的取值范圍是( ) A.(1,+∞) B.［1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1］ 活動：讓學生思考:若對于實數(shù)p∈N,在M中不存在原象,與函數(shù)f(x)=-x2+2x有什么關系?若對于實數(shù)p∈N,在M中不存在原象是指實數(shù)p表示函數(shù)f(x)=-x2+2x值域中的元素,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)=-x2+2x,x∈R的值域.集合M是函數(shù)f(x)=-x2+2x的定義域,集合N是函數(shù)f(x)=-x2+2x的值域. 解：(方法一)由于集合M,N都是數(shù)集, 則映射f:x→-x2+2x就是函數(shù)f(x)=-x2+2x,其定義域是M=R, 則有值域Q={y|y≤1}N=R.對于實數(shù)p∈N,在M中不存在原象, 則實數(shù)p的取值范圍是Q=Q={y|y>1},即p的取值范圍是(1,+∞); (方法二)當p=0時,方程-x2+2x=0有解x=0,2, 即在M中存在原象0和2, 則p=0不合題意,排除C,D; 當p=1時,方程-x2+2x=1有解x=1, 即在M中存在原象1, 則p=1不合題意, 排除B. 答案：A 點評：本題主要考查映射的概念和函數(shù)的值域,以及綜合應用知識解決問題的能力.解決本題的關鍵是轉(zhuǎn)化思想的應用.把映射問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題,進一步轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域在實數(shù)集中的補集.其轉(zhuǎn)化的依據(jù)是對映射概念的理解以及對函數(shù)與映射關系的把握程度. 變式訓練 設f,g都是由A到A的映射,其對應法則如下表(從上到下): 表1 映射f的對應法則 原象 1 2 3 4 象 3 4 2 1 表2 映射g的對應法則 原象 1 2 3 4 象 4 3 1 2 則與f［g(1)］相同的是( ) A.g［f(1)］ B.g［f(2)］ C.g［f(3)］ D.g［f(4)］ 分析:f(a)表示在對應法則f下a對應的象,g(a)表示在對應法則g下a對應的象. 由表1和表2,得f［g(1)］=f(4)=1,g［f(1)］=g(3)=1,g［f(2)］=g(4)=2,g［f(3)］=g(2)=3,g［f(4)］=g(1)=4, 則有f［g(1)］=g［f(1)］=1, 故選A. 答案：A 知能訓練 1.下列對應是從集合S到T的映射的是( ) A.S=N,T={-1,1},對應法則是(-1)n,n∈S B.S={0,1,4,9},T={-3,-2,-1,0,1,2,3},對應法則是開平方 C.S={0,1,2,5},T={,},對應法則是取倒數(shù) D.S={x|x∈R},T={y|y∈R},對應法則是x→y=分析:判斷映射方法簡單地說應考慮A中的元素是否都可以受f作用,作用的結(jié)果是否一定在B中,作用的結(jié)果是否唯一這三個方面.很明顯A符合定義;B是一對多的對應;C命題中的元素0沒有象;D命題集合S中的元素1也無象. 答案：A 2.已知集合M={x|0≤x≤6},P={y|0≤y≤3},則下列對應關系中不能看作從M到P的映射的是( ) A.f:x→y=x B.f:x→y=x C.f:x→y=x D.f:x→y=x 分析:選項C中,集合M中元素6沒有象,其他均是映射. 答案：C 3.已知集合A=N*,B={a|a=2n-1,n∈Z},映射f:A→B,使A中任一元素a與B中元素2a-1對應,則與B中元素17對應的A中元素是( ) A.3 B.5 C.17 D.9 分析:利用對應法則轉(zhuǎn)化為解方程.由題意得2a-1=17,解得a=9. 答案：D 4.若映射f:A→B的象的集合是Y,原象的集合是X,則X與A的關系是;Y與B的關系是. 分析:根據(jù)映射的定義,可知集合A中的元素必有象且唯一;集合B中的元素在集合A中不一定有原象.故象的集合是B的子集.所以X=A,YB. 答案：X=A YB 5.已知集合M={a,b,c,d},P={x,y,z},則從M到P能建立不同映射的個數(shù)是. 分析:集合M中有4個元素,集合P中有3個元素,則從M到P能建立34=81個不同的映射. 答案：81 6.下列對應哪個是集合M到集合N的映射？哪個不是映射？為什么？ (1)設M={矩形},N={實數(shù)},對應法則f為矩形到它的面積的對應. (2)設M={實數(shù)},N={正實數(shù)},對應法則f為x→. (3)設M={x|0≤x≤100},N={x|0≤x≤100},對應法則f為開方再乘10. 解：(1)是M到N的映射,因為它是一對一的對應. (2)不是映射,因為當x=0時,集合M中沒有元素與之對應. (3)是映射,因為它是一對一的對應. 7.設集合A和B都是自然數(shù)集,映射f:A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,則在映射f下,A中的元素_________對應B中的元素3.( ) A.1 B.3 C.9 D.11 分析:對應法則為f:n→2n+n,根據(jù)選項驗證2n+n=3,可得n=1. 答案：A 8.已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},且a∈N,k∈N,x∈A,y∈B,映射f:A→B,使B中元素y=3x+1和A中元素x對應,求a及k的值. 分析:先從集合A和對應法則f入手,同時考慮集合中元素的互異性.可以分析出此映射必為一一映射,再由3→10,求得a值,進而求得k值. 解：∵B中元素y=3x+1和A中元素x對應, ∴A中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,即a4=10或a2+3a=10. ∵a∈N, ∴由a2+3a=10,得a=2. ∵k的象是a4, ∴3k+1=16,得k=5. ∴a=2,k=5. 9.A={(x,y)|x+y<3,x∈N,y∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y,這個對應是否為映射？是否為函數(shù)？說明理由. 解：是映射,不是函數(shù).由題意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},顯然對于A中的每一個有序?qū)崝?shù)對,它們的和是0或1或2,則在B中都有唯一一個數(shù)與它對應,所以是映射,因為集合A不是數(shù)集而是點集,所以不是函數(shù). 拓展提升 問題:集合M中有m個元素,集合N中有n個元素,則從M到N能建立多少個不同的映射？ 探究:當m=1,n=1時,從M到N能建立1=11個不同的映射; 當m=2,n=1時,從M到N能建立1=12個不同的映射; 當m=3,n=1時,從M到N能建立1=13個不同的映射; 當m=2,n=2時,從M到N能建立4=22個不同的映射; 當m=2,n=3時,從M到N能建立9=32個不同的映射. 集合M中有m個元素,集合N中有n個元素,則從M到N能建立nm個不同的映射. 課堂小結(jié) 本節(jié)課學習了: (1)映射的對應是一種特殊的對應,元素之間的對應必須滿足“一對一或多對一”. (2)映射由三個部分組成:集合A,集合B及對應法則f,稱為映射的三要素. (3)映射中集合A,B中的元素可以為任意的. 作業(yè) 課本P23練習4. 補充作業(yè): 已知下列集合A到B的對應,請判斷哪些是A到B的映射,并說明理由. (1)A=N,B=Z,對應法則f為“取相反數(shù)”; (2)A={-1,0,2},B={-1,0,},對應法則:“取倒數(shù)”; (3)A={1,2,3,4,5},B=R,對應法則:“求平方根”; (4)A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},對應法則f:a→b=(a-1)2; (5)A=N+,B={0,1},對應法則:除以2所得的余數(shù). 答案：(1)、(2)不是映射,(3)、(4)、(5)是映射. 設計感想 本節(jié)教學設計的內(nèi)容拓展較深,在實際教學中根據(jù)學生實際選取例題和練習.本節(jié)重點設計了映射的概念,對于映射來說,只需要掌握概念即可,不要求拓展其內(nèi)容,以免加重學生的負擔,也偏離了課標要求和高考的方向. 習題詳解 (課本P19練習) 1.(1)要使分式有意義,需4x+7≠0,即x≠.所以這個函數(shù)的定義域是(-∞,)∪(,+∞); (2)要使根式有意義,需1-x≥0,且x+3≥0, 即-3≤x≤1. 所以這個函數(shù)的定義域是［-3,1］. 2.(1)f(2)=28,f(-2)=-28,f(2)+f(-2)=0; (2)f(a)=3a3+2a,f(-a)=-3a3-2a,f(a)+f(-a)=0. 3.(1)兩個函數(shù)的對應法則相同,而表示導彈飛行高度與時間關系的函數(shù)y=500x-5x2是有實際背景的,這里x≥0;函數(shù)y=500x-5x2,x∈R,這兩個函數(shù)的定義域不同,故這兩個函數(shù)不相等. (2)函數(shù)g(x)=x0=1(x≠0)與函數(shù)f(x)=1,x∈R的對應法則相同,但定義域不同,所以不是相等的函數(shù).已知函數(shù)解析式求函數(shù)值及不同變量的函數(shù)值的關系. (課本P23練習) 1.設矩形一邊長為xcm,則另一邊長為=.由題意,得 y=x,x∈(0,50). 2.圖(A)與事件(2)、圖(B)與事件(3)、圖(D)與事件(1)吻合得最好. 圖(C)可敘述為:我出發(fā)后,為了趕時間,加速行駛,走了一段后,發(fā)現(xiàn)時間還早,于是放慢了速度. 3.解析:由絕對值的知識,有f(x)= 所以,f(x)=|x-2|的圖象如下圖所示. 圖1-2-2-23 4.與A中元素60對應的B中的元素是;與B中元素相對應的A中的元素是45. (課本P24習題1.2) A組 1.(1)(-∞,4)∪(4,+∞). (2)R. (3)要使分式有意義,只需x2-3x+2≠0,即x≠1,且x≠2, 所以這個函數(shù)的定義域是(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞). (4)要使函數(shù)有意義,只需即x≤4,且x≠1.所以這個函數(shù)的定義域是(-∞,1)∪(1,4］. 2.(1)g(x)=-1=x-1,x≠0,該函數(shù)雖然與f(x)的對應關系相同,但是定義域不同,所以f(x)與g(x)不相等. (2)g(x)=()4=x2,x≥0,該函數(shù)雖然與f(x)的對應關系相同,但是定義域不同,所以f(x)與g(x)不相等. (3)g(x)==x2,x∈R,該函數(shù)與f(x)的對應關系相同,定義域相同,所以f(x)與g(x)相等. 3. (1) (2) x∈R,y∈R. x∈(-∞,0)∪(0,+∞), y∈(-∞,0)∪(0,+∞). 圖1-2-2-24 圖1-2-2-25 (3) (4) x∈R,y∈R. x∈R,y∈［-2,+∞). 圖1-2-2-26 圖1-2-2-27 4.f()=8+5,f(-a)=3a2+5a+2,f(a+3)=3a2+13a+14; f(a)+f(3)=3a2-5a+16. 5.(1)點(3,14)不在f(x)的圖象上;(2)f(4)=-3;(3)x=14. 6.解析:由韋達定理知1+3=-b,13=c, ∴b=-4,c=3. ∴f(x)=x2-4x+3. ∴f(-1)=(-1)2-4(-1)+3=8. 答案：f(-1)=8. 7. (1) (2) 圖1-2-2-28 圖1-2-2-29 8.y= x∈(0,+∞),y=l-x x∈(0,l), y= x∈(0,d),l=2x+(x>0),l=2. 9.由題意,可知容器內(nèi)溶液高度為x的體積等于注入的溶液的體積,即π()2x=vt,整理得x=t. 當容器注滿時有π()2h=vt,得t=. 所以該函數(shù)的定義域是t∈［0,］,值域是x∈［0,h］. 10.共8個映射. 圖1-2-2-30 B組 1.(1)［-5,0］∪［2,6);(2)［0,+∞);(3)［0,2)∪(5,+∞). 2. 圖1-2-2-31 (1)點(x,0)和(5,y),即縱坐標為0或橫坐標為5的點不能在圖象上. (2)略. 3.略. 4.(1)t=,x∈［0,12］; (2)t=≈3小時.