2019-2020年高中數(shù)學(xué)集合的基本關(guān)系備課資源.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)集合的基本關(guān)系備課資源 思路分析 　　在現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)研究中，我們常常遇到兩個集合之間存在某些聯(lián)系，如，高一（1）班的男生組成的集合是全班同學(xué)組成的集合的一部分，自然數(shù)集N是實(shí)數(shù)集R的一部分，這種關(guān)系我們稱之為包含關(guān)系． 　　在數(shù)學(xué)中，許多研究對象都是有范圍的，不同的范圍內(nèi)研究同一個問題，常常會有不同的結(jié)果． 　　例如，方程（x2－5）（x＋）＝0的解集，在不同的數(shù)集范圍內(nèi)就有不同的結(jié)果． 　　若在自然數(shù)集內(nèi)，則有｛x∈N｜（x2－5）（x＋）＝0｝＝； 　　若在有理數(shù)集內(nèi)，則有｛x∈Q｜（x2－5）（x＋）＝0｝＝｛－｝； 　　若在實(shí)數(shù)集內(nèi)，則有｛x∈R｜（x2－5）（x＋）＝0｝＝｛－，，－｝． 　　在實(shí)際生活中，也有同樣的問題，如分析某次考試成績，有時在本班范圍內(nèi)比較，有時在全年級內(nèi)比較，但對于不同的范圍來分析，得到的結(jié)論不盡相同． 　　因此，全集是相對于研究的問題而言的一個相對概念，但它應(yīng)涵蓋與研究問題有關(guān)的全部元素．不同問題中，全集的意義不同． 　　子集、補(bǔ)集、全集為并非全新而特殊的集合．這些集合本身與其他集合無特殊之處，關(guān)鍵相對另外其他給定集合而言，從而體現(xiàn)出集合與集合之間的關(guān)系．正如相反數(shù)、倒數(shù)概念一樣，一3叫3的相反數(shù)，一3相對3來講叫3的相反數(shù)，而一3本身不能叫相反數(shù)． 　　在本節(jié)的學(xué)習(xí)中全面理解子集、全集、補(bǔ)集的概念．正確區(qū)分“∈”與“”．在與方程知識、不等式相結(jié)合應(yīng)用之中把握集合間的包含、相等、不包含的關(guān)系。借助數(shù)軸、坐標(biāo)系等加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，力求以形助數(shù)，準(zhǔn)確迅速解答問題． 　　教學(xué)時，通過實(shí)例引出概念，而元素是這些概念的本質(zhì)，教學(xué)中應(yīng)抓住這一關(guān)鍵點(diǎn)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)“AB，AB，，A＝B，A B，A＝｛x｜x∈Ｓ且xA｝其中AＳ”等關(guān)系都是由A、B、C集合中的元素決定的，所以將集合間的關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為處理集合中的元素問題． 　　本節(jié)包含了較多的新概念、新符號，教學(xué)中借用對比、實(shí)例來幫助學(xué)生掃除“符號混淆”的障礙．加強(qiáng)文字語言、符號語言、圖形語言之間的轉(zhuǎn)換． 知識點(diǎn) 文字語言 符號語言 圖形語言 子集 若集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，則稱A是B的子集 若x∈Ax∈B，則AB 真子集 若集合A是集合B的子集，且B中至少有一個元素不在集合A中，則稱A為B的真子集 若A∈B且A≠B，則AB 相等 若A、B互為子集，則A與B相等 若AB且BA則A＝B 集合之間的關(guān)系圖是一種什么性質(zhì)的圖形？使用時要注意些什么？ 　　這種圖在數(shù)學(xué)上也稱為文（Tohn Venn，1834～1923年英國邏輯學(xué)家）氏圖，它僅僅起著說明各集合之間關(guān)系的示意圖的作用（就像交通示意圖只說明各車站之間的位置關(guān)系那樣）．因此，邊界用直線還是曲線，用實(shí)線還是虛線都無關(guān)緊要，只要封閉并把有關(guān)元素或子集統(tǒng)統(tǒng)包在里邊就行．絕不能理解成圈內(nèi)的每一點(diǎn)都是這個集合的元素（事實(shí)上，這個集合可能與點(diǎn)毫無關(guān)系），至于邊界上的點(diǎn)是否屬于這個集合，也都不必考慮． 　　在教學(xué)時應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)、形兩個方面來理解集合．如可以讓學(xué)生看集合后用Venn表示關(guān)系，也可以畫出Venn圖，或要求學(xué)生寫出集合間的關(guān)系．特別指出，任意兩個集合都可以談集合間的關(guān)系，包括空集在內(nèi)．關(guān)系分包含、不包含又分為相等和真包含，對于包含課本講得較多，而對于不包含講得較少，區(qū)別AB與BA． 集合論簡介 　　集合論數(shù)學(xué)的一個基本的分支學(xué)科，它的研究對象是一般集合．集合論在數(shù)學(xué)中占有一個獨(dú)特的地位，它的基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域．按現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)各分支的研究對象或者是本身帶有某種特定結(jié)構(gòu)的集合（如群、環(huán)、拓?fù)淇臻g），或者是可以通過集合來定義的（如自然數(shù)、實(shí)數(shù)、函數(shù)）．從這種意義上說，集合論是整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，至多范疇論除外． 　　集合論是G康托于19世紀(jì)末創(chuàng)立的．20世紀(jì)初對集合論的嚴(yán)格處理產(chǎn)生了公理集合論，由于對它的研究廣泛采用了數(shù)理邏輯工具，集合論（公理集合論）又逐漸成為數(shù)理邏輯的一個分支，并從20世紀(jì)60年代以來獲得迅速的發(fā)展． 　　集合論是在分析數(shù)學(xué)的研究中產(chǎn)生的，直接產(chǎn)生于三角級數(shù)的研究工作中．1854年黎曼提出，如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間內(nèi)除間斷點(diǎn)以外所有點(diǎn)上都能展開為收斂于函數(shù)值的三角級數(shù)，那么這樣的三角級數(shù)是否唯一？但他沒有回答．1870年海涅證明：當(dāng)f（x）連續(xù)，且它的三角級數(shù)展開式一致收斂時，展開式是唯一的．進(jìn)一步的問題是：什么樣的例外的點(diǎn)（間斷點(diǎn)）不影響這種唯一性？表述這些例外的點(diǎn)的整體的需要，產(chǎn)生了點(diǎn)集的概念，G康托引入了直線上的一些點(diǎn)集拓?fù)涞母拍?，探討了前人從未碰到過的結(jié)構(gòu)復(fù)雜的實(shí)數(shù)點(diǎn)集，這是集合論的開端． 　　1874年，G康托越過“數(shù)集”的限制，開始一般地提出“集合”的概念．他給集合下了這樣一個定義：把若干確定的有區(qū)別的（具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素，也說它屬于該集合．有了集合概念，就可以定義出一系列有關(guān)的概念，集合論就產(chǎn)生了． 　　從本質(zhì)上看，集合論是關(guān)于無限集合和超限數(shù)的數(shù)學(xué)理論．G康托創(chuàng)立集合論的卓越貢獻(xiàn)之一，就是把實(shí)數(shù)無限引入數(shù)學(xué)．他把適用于有限集的不用計(jì)數(shù)而判定兩集合大小的一一對應(yīng)準(zhǔn)則推廣到無限集，此后一一對應(yīng)方法成為典型的集合論方法．元素間能建立一一對應(yīng)的集合稱為等勢，G康托指出，無限集的特征就是它可與自己的一個真子集等勢．他稱與全體自然數(shù)N等勢的集合為可數(shù)集，1873年他采用了著名的對角線法，證明了全體實(shí)數(shù)的集合R不是可數(shù)集，因此，無限集也是有差別的．1878年，他引入了“集合的勢”后又稱為基數(shù)的概念，它既適用于無限集也適用于有限集，是“個數(shù)”概念的推廣．G康托把勢定義為等勢集合類共性的抽象，后來弗雷格與羅素改為等勢類本身．1883年，G康托應(yīng)用對角線法證明了康托定理：一個集合S與它的冪集P（S）間不可能建立一一對應(yīng)，≥．這樣，說明了在無限集之間還存在著無限多個層次． 　　1883年，G康托開始研究有序集，特別是其中的良序集，他引入了序數(shù)概念來刻畫良序集的結(jié)構(gòu)．序數(shù)可以比較大小，而且任一序數(shù)之后，恰有一個在大小順序上緊緊尾隨的序數(shù)．因此，后來G康托給出了序數(shù)的一種系統(tǒng)的表示法，相當(dāng)于十進(jìn)制之用于自然數(shù)．利用序數(shù)可以把良序集編號，并把數(shù)學(xué)歸納法推廣到自然數(shù)以外去（見超限歸納法）．序數(shù)的研究加深了對基數(shù)的理解，1904年策梅羅證明了任一集合都可以良序化（良序定理），將基數(shù)等同于一個序數(shù)，這就解決了基數(shù)比較大小的問題．同序數(shù)一樣，任一基數(shù)之后，甚至任一基數(shù)集之后，恰好有一個在大小順序上緊緊尾隨的基數(shù)．因此可將所有超限基數(shù)按序數(shù)來編序，這就是所謂阿列夫的譜系） …（其中是最小無限集可數(shù)集的基數(shù)，w是自然數(shù)集的序數(shù)），它可以無限延伸下去．超限序數(shù)和超限基數(shù)一起刻畫了無限．它們所以還稱為數(shù)，是因?yàn)樗鼈兌加凶约旱乃阈g(shù)． 　　集合論之前的數(shù)學(xué)界只承認(rèn)潛無限，集合論則引入了實(shí)無限，自然數(shù)不是一個一個地潛在地向無限變化，而是“一下子”以完成的姿態(tài)呈現(xiàn)在人們面前．用超限基數(shù)和超限序數(shù)刻畫的無限集，都是實(shí)無限．因而一開始并不被數(shù)學(xué)界所完全接受．但是后來，從非歐里得幾何學(xué)的產(chǎn)生開始的對數(shù)學(xué)無矛盾性（相對無矛盾性）的證明把整個數(shù)學(xué)解釋為集合論（見證明論、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)），集合論成了數(shù)學(xué)無矛盾性的基礎(chǔ)，集合論在數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論地位就逐漸確立起來． 　　19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們發(fā)現(xiàn)了一系列集合論悖論，表明集合論是不協(xié)調(diào)的，這使得人們對數(shù)學(xué)推理的正確性和結(jié)論的真理性產(chǎn)生了懷疑，觸發(fā)了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)．為了克服悖論所帶來的困難，人們開始對集合論進(jìn)行改造，即對G康托的集合定義加以限制，“從現(xiàn)有的集合論成果出發(fā)，反求足以建立這一數(shù)學(xué)分支的原則．這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來”（策梅羅語）．那就是集合論公理化方案．1908年，策梅羅提出第一個公理集合論體系，后經(jīng)弗倫克爾和斯科朗的改進(jìn)，稱為ZF系統(tǒng)．ZF集合論承襲了康托集合論的全部成果，凡數(shù)學(xué)所需的一切有關(guān)集合運(yùn)算、關(guān)系、映射的結(jié)果以及全部基數(shù)、序數(shù)的理論全都可以從ZF公理系統(tǒng)中演繹出來．ZF集合論又排除了康托集合論中可能出現(xiàn)的悖論．因此，在很大程度上彌補(bǔ)了康托集合論（與公理集合論相比較，人們把康托集合論稱為樸素集合論）的缺點(diǎn)．當(dāng)然，由于哥德爾第二不完全性定理，ZF系統(tǒng)作為包括自然數(shù)理論的一階形式系統(tǒng)是不可能在其內(nèi)部解決本身的無矛盾性問題的．這是一切這類系統(tǒng)的固有性質(zhì)． 　　集合論的公理系統(tǒng)除ZF系統(tǒng)外還有多種，其中最常用的要算1925～1937年間形成的馮諾伊曼、伯奈斯、哥德爾提出并完善的公理系統(tǒng)，稱為NBG系統(tǒng)．已經(jīng)證明，如果ZF公理系統(tǒng)是無矛盾的，則NBG公理系統(tǒng)也是無矛盾的（而且后者是前者的一個保守的擴(kuò)張）．（見公理集合論）。 　　雖然證明整個公理系統(tǒng)的無矛盾性已無意義，但關(guān)于公理系統(tǒng)中某一個別公理或某一假設(shè)的相對無矛盾性和相對獨(dú)立性仍是重要的課題，其中選擇公理與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)有重要的地位，是集合論中長期研究的課題．選擇公理（AC）成為數(shù)學(xué)史上繼平行公理之后最有爭議的公理，包括AC的公理系統(tǒng)記為ZFC，以區(qū)別不包括AC的ZF公理系統(tǒng)．連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（CH）是1878年G康托提出來的，簡單地說，就是關(guān)于直線上有多少點(diǎn)的問題，G康托猜測實(shí)數(shù)集合的任一不可數(shù)子集合與實(shí)數(shù)集合等價(jià)．這一假設(shè)的證明至今沒有完全得到解決，它已成為數(shù)學(xué)史上與費(fèi)馬大定理、黎曼猜想齊名的一大難題． 　　近40年來，在AC和CH研究方面取得不少進(jìn)展．1938上，哥德爾證明：從ZF推不出AC的否定，從ZFC推不出CH的否定，即AC對于ZF，CH對于ZFC是相對無矛盾的．1963年，科恩創(chuàng)立著名的力迫方法，證明了AC對于ZF，CH對于ZFC的相對獨(dú)立性，即從ZF推不出AC，從ZFC推不出CH．綜合這兩個成果，得出：AC在ZF中，CH在ZFC中都是不可判定的．這是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成果之一．科恩的力迫方法成為集合論的有力工具，此后20多年中，人們一方面推廣和改進(jìn)科恩的力迫方法，提出諸如迭代力迫、真力迫等新概念和新方法；另一方面則將這些方法應(yīng)用于具體的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如拓?fù)鋵W(xué)中，以證明該領(lǐng)域中的某些命題是不可判定的．此外，大基數(shù)問題、無窮組合論問題的研究亦有很大進(jìn)展，20世紀(jì)70年代以來，決定性公理的研究與它們交織在一起，有新的發(fā)展．同時，人們還在尋找迄今尚未發(fā)現(xiàn)的與其他公理無矛盾的可依賴的新的公理（CH或它的任一具體的否定都不具備這種資格），以期在更有效的途徑上來解決連續(xù)統(tǒng)問題，這方面的工作成為集合論當(dāng)前研究的主流． 　?。綎|教育出版社，杜瑞芝主編《數(shù)學(xué)史》辭典 知識總結(jié) 　　1．本節(jié)知識結(jié)構(gòu) 　　 　　2．本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是集合的基本關(guān)系的理解和判定，難點(diǎn)在于區(qū)分相關(guān)概念及其符號表達(dá)．空集不作為重點(diǎn)，但由于其具有獨(dú)特的性質(zhì)，因此需要特別加強(qiáng)辨析訓(xùn)練． 　　3．子集的有關(guān)性質(zhì) 　?。?）A＝BAB且BA． 　?。?）BAB＝，BA或B≠且A＝B． 　　（3）AB，BC AC． 　　AB，BC AC． 　　AB，BC AC． 　?。?）若集合A有n個元素，則A的子集個數(shù)為2n，真子集個數(shù)2n－1個．