2019-2020年高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)第八章立體幾何課時(shí)撬分練8.5空間向量與立體幾何理.DOC
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)異構(gòu)異模復(fù)習(xí)第八章立體幾何課時(shí)撬分練8.5空間向量與立體幾何理 1.[xx棗強(qiáng)中學(xué)猜題]若直線l的方向向量為a=(1,-1,2),平面α的法向量為u=(-2,2,-4),則( ) A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l與α斜交 答案 B 解析 因?yàn)橹本€l的方向向量a=(1,-1,2)與平面α的法向量u=(-2,2,-4)共線,則說明了直線與平面垂直,故選B. 2.[xx衡水中學(xué)期中]正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,點(diǎn)M在AC1上且=,N為B1B的中點(diǎn),則||為( ) A.a B.a C.a D.a 答案 A 解析?。剑? =-++ =-(++)++ =+-, ∴||= ==a. 3.[xx武邑中學(xué)期中]平面α的一個(gè)法向量為(1,2,0),平面β的一個(gè)法向量為(2,-1,0),則平面α和平面β的位置關(guān)系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合 答案 C 解析 由(1,2,0)(2,-1,0)=12+2(-1)+00=0,知兩平面的法向量互相垂直,所以兩平面互相垂直. 4.[xx衡水中學(xué)期末]如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 設(shè)CB=1,則CA=CC1=2, 故B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1), 則=(0,2,-1),=(-2,2,1), cos〈,〉===, 即直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為.故選A. 5.[xx冀州中學(xué)猜題]如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB,B1C的中點(diǎn),則EF和平面ABCD所成角的正切值為( ) A. B. C. D.2 答案 B 解析 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,則點(diǎn)C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),F(xiàn),E,= =(0,0,1)為底面的一個(gè)法向量, cos〈,〉===, 所以EF和平面ABCD所成角θ的正弦值為 sinθ=,∴tanθ==.故選B. 6.[xx武邑中學(xué)仿真]過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,則平面ABP與平面CDP所成的銳二面角為( ) A.30 B.45 C.60 D.90 答案 B 解析 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)AB=PA=1,知A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1) 由題意得,AD⊥平面ABP,設(shè)E為PD的中點(diǎn), 連接AE,則AE⊥PD, 又∵CD⊥平面PAD,∴AE⊥CD, 又PD∩CD=D,∴AE⊥平面CDP. ∴=(0,1,0),=分別是平面ABP、平面CDP的法向量,而〈,〉=45, ∴平面ABP與平面CDP所成的銳二面角為45. 7.[xx衡水中學(xué)模擬]若平面α的一個(gè)法向量為n=(4,1,1),直線l的一個(gè)方向向量為a=(-2,-3,3),則l與α所成角的正弦值為________. 答案 解析 設(shè)l與α所成角為θ, 則sinθ=|cos〈n,a〉|===. 8.[xx冀州中學(xué)期中]已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離是________. 答案 解析 如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz, 則A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4), =(-2,0,4),=(0,2,4),=(0,0,4), 設(shè)平面AB1D1的法向量為n=(x,y,z), 則即 解得x=2z且y=-2z, 不妨設(shè)n=(2,-2,1), 設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離為d. 則d==. 9.[xx衡水中學(xué)仿真]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90,AC=BC=2,AA1=4,D是棱AA1的中點(diǎn).如圖所示. (1)求證:DC1⊥平面BCD; (2)求二面角A-BD-C的大?。? 解 (1)證明:按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系. 由題意,可得點(diǎn)C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D(2,0,2),A1(2,0,4),C1(0,0,4). 于是,=(-2,0,2),=(-2,0,-2),=(-2,2,-2). 可算得=0,=0. 因此,DC1⊥DC,DC1⊥DB. 又DC∩DB=D,所以DC1⊥平面BDC. (2)設(shè)n=(x,y,z)是平面ABD的法向量,則 又=(-2,2,0),=(0,0,2), 所以取y=1,可得 即平面ABD的一個(gè)法向量是n=(1,1,0). 由(1)知,是平面DBC的一個(gè)法向量, 記n與的夾角為θ, 則cosθ==-,θ=. 結(jié)合三棱柱可知,二面角A-BD-C是銳角, 故所求二面角A-BD-C的大小是. 10. [xx棗強(qiáng)中學(xué)預(yù)測]如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為2的正方形,O為AC與BD的交點(diǎn),BB1=,M是線段B1D1的中點(diǎn). (1)求證:BM∥平面D1AC; (2)求證:D1O⊥平面AB1C; (3)求二面角B-AB1-C的大?。? 解 (1)證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則點(diǎn)O(1,1,0),D1(0,0,), ∴=(-1,-1,), 又點(diǎn)B(2,2,0),M(1,1,), ∴=(-1,-1,), ∴=,又∵OD1與BM不共線, ∴OD1∥BM. 又OD1?平面D1AC,BM?平面D1AC, ∴BM∥平面D1AC. (2)證明:連接OB1,∵=(-1,-1,)(1,1,)=0,=(-1,-1,)(-2,2,0)=0, ∴⊥,⊥,即OD1⊥OB1,OD1⊥AC, 又OB1∩AC=O,∴D1O⊥平面AB1C. (3)∵CB⊥AB,CB⊥BB1,∴CB⊥平面ABB1, ∴=(-2,0,0)為平面ABB1的一個(gè)法向量. ∵⊥,⊥, ∴=(-1,-1,)為平面AB1C的一個(gè)法向量. ∴cos〈,〉===, ∴與的夾角為60,即二面角B-AB1-C的大小為60. 11.[xx冀州中學(xué)一輪檢測]如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=30,∠ABC=90,D為AC中點(diǎn),AE⊥BD于點(diǎn)E,延長AE交BC于點(diǎn)F,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,如圖2所示. (1)求證:AE⊥平面BCD; (2)求二面角A-DC-B的余弦值; (3)在線段AF上是否存在點(diǎn)M使得EM∥平面ADC?若存在,請指明點(diǎn)M的位置;若不存在,請說明理由. 解 (1)證明:因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,交線為BD, 又在△ABD中,AE⊥BD于點(diǎn)E,AE?平面ABD, 所以AE⊥平面BCD. (2)由(1)中AE⊥平面BCD可得AE⊥EF. 由題意可知EF⊥BD,又AE⊥BD, 如圖,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EF,ED,EA所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,不妨設(shè)AB=BD=DC=AD=2,則BE=ED=1. 由圖1條件計(jì)算得AE=,BC=2,BF=,則E(0,0,0),D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,),F(xiàn),C(,2,0),=(,1,0),=(0,1,-).由AE⊥平面BCD可知平面DCB的法向量為,=(0,0,), 設(shè)平面ADC的法向量為n=(x,y,z), 則即 令z=1,則y=,x=-1,所以n=(-1,,1). 因?yàn)槠矫鍰CB的法向量為, 所以cos〈n,〉==. 所以二面角A-DC-B的余弦值為. (3)設(shè)=λ,其中λ∈[0,1]. 由于=, 所以=λ=λ,其中λ∈[0,1]. 所以=+=. 由n=0,即-λ+(1-λ)=0,解得λ=∈(0,1).所以在線段AF上存在點(diǎn)M使EM∥平面ADC,且=. 12.[xx武邑中學(xué)一輪檢測]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動. (1)求證:D1E⊥A1D; (2)當(dāng)E點(diǎn)為AB的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)E到平面ACD1的距離; (3)AE為何值時(shí),二面角D1-EC-D的大小為? 解 (1)證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1).∵E在棱AB上移動,∴設(shè)E(1,a,0),0≤a≤2. ∵=(1,a,-1),=(-1,0,-1),∴=0,∴D1E⊥A1D. (2)設(shè)平面ACD1的法向量為m=(x,y,z),點(diǎn)E到平面ACD1的距離為h. ∵=(-1,2,0),=(-1,0,1), ∴令y=1,則m=(2,1,2). 又E(1,1,0),=(1,-1,0), ∴CE與平面ACD1所成角的正弦值為==,∴h=||=. (3)設(shè)平面D1EC的法向量為n=(x1,y1,z1), ∵=(1,a,-1),=(0,2,-1), ∴令y1=1,得n=(2-a,1,2). 易知平面ECD的一個(gè)法向量為=(0,0,1), 則|cos〈n,〉|==,可得a=2-或a=2+(不符合,舍去), ∴當(dāng)AE=2-時(shí),二面角D1-EC-D的大小為. 能力組 13.[xx武邑中學(xué)月考]如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30的角.求證: (1)CM∥平面PAD; (2)平面PAB⊥平面PAD. 證明 以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB為x軸,CD為y軸,CP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz. ∵PC⊥平面ABCD, ∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角, ∴∠PBC=30, ∵PC=2,∴BC=2,PB=4, ∴D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0), P(0,0,2),M, ∴=(0,-1,2),=(2,3,0),=. (1)設(shè)n=(x,y,z)為平面PAD的一個(gè)法向量, 由 得 令y=2,得n=(-,2,1). ∵n=-+20+1=0, ∴n⊥.又CM?平面PAD, ∴CM∥平面PAD. (2)如圖,取AP的中點(diǎn)E,連接BE, 則E(,2,1),=(-,2,1). ∵PB=AB,∴BE⊥PA. 又∵=(-,2,1)(2,3,0)=0, ∴⊥,∴BE⊥DA. 又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD. 又∵BE? 平面PAB, ∴平面PAB⊥平面PAD. 14.[xx衡水中學(xué)熱身]在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=1,AA1=,D為AA1的中點(diǎn),BD與AB1交于點(diǎn)O,CO⊥側(cè)面ABB1A1. (1)證明:BC⊥AB1; (2)若OC=OA,求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值. 解 (1)證明:由題意tan∠ABD==,tan∠AB1B==, 注意到0<∠ABD,∠AB1B<, 所以∠ABD=∠AB1B. 所以∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=.所以AB1⊥BD. 又CO⊥側(cè)面ABB1A1,所以AB1⊥CO. 又BD與CO交于點(diǎn)O,所以AB1⊥面CBD. 又因?yàn)锽C?面CBD,所以BC⊥AB1. (2)如圖,分別以O(shè)D,OB1,OC所在的直線為x軸、y軸、z軸,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz, 則A,B,C, B1,D.又因?yàn)椋?,所以C1. 所以=, =,=. 設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z), 則根據(jù)n=0,n=0可得n=(1,,-)是平面ABC的一個(gè)法向量,設(shè)直線C1D與平面ABC所成角為α. 則sinα==. 15.[xx冀州中學(xué)期末]如圖,在幾何體ABC-A1B1C1中,點(diǎn)A1,B1,C1在平面ABC內(nèi)的正投影分別為A,B,C,且AB⊥BC,AA1=BB1=4,AB=BC=CC1=2,E為AB1中點(diǎn). (1)求證:CE∥平面A1B1C1; (2)求二面角B1-AC1-C的大?。? 解 (1)證明:由題知AA1⊥平面ABC,BB1⊥平面ABC,CC1⊥平面ABC, ∴AA1∥BB1∥CC1. 如圖,取A1B1中點(diǎn)F,連接EF,F(xiàn)C1, ∵E為AB1中點(diǎn), ∴EF綊A1A.∵AA1=4,CC1=2, ∴CC1綊A1A, ∴EF綊CC1,∴四邊形EFC1C為平行四邊形, ∴CE∥C1F. ∵CE?平面A1B1C1,C1F?平面A1B1C1, ∴CE∥平面A1B1C1. (2)由題知,AB⊥BC,又BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,分別以BA,BC,BB1所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 則A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,4),C1(0,2,2), ∴=(-2,2,0),=(0,0,2),=(-2,0,4),=(0,2,-2). 設(shè)平面ACC1的法向量為m=(x1,y1,z1), 則m=0,m=0, ∴,令x1=1,得m=(1,1,0), 設(shè)平面AB1C1的法向量為n=(x2,y2,z2), 則n=0,n=0, ∴令z2=1,得 ∴n=(2,1,1).∴cos〈m,n〉==.由圖知,二面角B1-AC1-C是鈍角, ∴二面角B1-AC1-C的大小為150. 16. [xx衡水中學(xué)預(yù)測]在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,∠ABC=90,如圖①所示,把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖②所示. (1)求證:CD⊥AB; (2)若點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn),求DM與平面ACD所成角的正弦值; (3)在線段BC上是否存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成的角為60?若存在,求出的值;若不存在,說明理由. 解 (1)證明:由已知條件可得,BD=2,CD=2, 又BD2+CD2=BC2,∴CD⊥BD. ∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴CD⊥平面ABD.∵AB?平面ABD,∴CD⊥AB. (2)以點(diǎn)D為原點(diǎn),BD所在的直線為x軸,DC所在的直線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0). ∴=(0,-2,0),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=(1,1,0). 設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z), 則⊥n,⊥n,∴ 令x=1,得平面ACD的一個(gè)法向量為n=(1,0,-1). 若DM與平面ACD所成的角為θ,則DM與平面ACD所成角的正弦值為sinθ=|cos〈n,〉|==. (3)假設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成的角為60. 設(shè)=λ,0<λ<1,則N(2-2λ,2λ,0),∴=(1-2λ,2λ,-1). ∵平面ACD的一個(gè)法向量為n=(1,0,-1),且直線AN與平面ACD所成的角為60, ∴sin60==,整理得8λ2+2λ-1=0,∴λ=或λ=-(舍去). 綜上所述,在線段BC上存在點(diǎn)N,使AN與平面ACD所成的角為60,此時(shí)=.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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