2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何證明選講第3講 圓中的比例線段與圓內(nèi)接四邊形教案 理 選修4-1.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何證明選講第3講 圓中的比例線段與圓內(nèi)接四邊形教案 理 選修4-1 【xx年高考會(huì)這樣考】 1.考查相交弦定理,切割線定理的應(yīng)用. 2.考查圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)定理. 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí),緊緊抓住相交弦定理、切割線定理以及圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)定理,重點(diǎn)以基本知識(shí)、基本方法為主,通過(guò)典型的題組訓(xùn)練,掌握解決問(wèn)題的基本技能. 基礎(chǔ)梳理 1.圓中的比例線段 定理名稱 基本圖形 條件 結(jié)論 應(yīng)用 相交弦定理 弦AB、CD相交于圓內(nèi)點(diǎn)P (1)PAPB=PCPD; (2)△ACP∽ △DBP (1)在PA、PB、PC、PD四線段中知三求一; (2)求弦長(zhǎng)及角 切割線定理 PA切⊙O于A,PBC是⊙O的割線 (1)PA2=PBPC; (2)△PAB∽△PCA (1)已知PA、PB、PC知二可求一; (2)求解AB、AC 割線定理 PAB、PCD是⊙O的割線 (1)PAPB=PCPD; (2)△PAC∽△PDB (1)求線段PA、PB、PC、PD及AB、CD; (2)應(yīng)用相似求AC、BD 2.圓內(nèi)接四邊形 (1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理:圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ). (2)圓內(nèi)接四邊形判定定理: ①如果四邊形的對(duì)角互補(bǔ),則此四邊形內(nèi)接于圓; ②若兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)且對(duì)該線段張角相等,則此兩點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)共圓,特別的,對(duì)定線段張角為直角的點(diǎn)共圓. 雙基自測(cè) 1.(xx天津)如圖,四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形,延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P.若PB=1,PD=3,則的值為_(kāi)_______. 解析 ∵ABCD為圓內(nèi)接四邊形,∴∠PBC=∠ADP,又∠P=∠P,∴△BCP∽△DAP,∴==. 答案 2.(xx廣州調(diào)研)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,BC是直徑,MN與⊙O相切,切點(diǎn)為A,∠MAB=35,則∠D=________. 解析 連接BD,由題意知,∠ADB=∠MAB=35,∠BDC=90,故∠D=∠ADB+∠BDC=125. 答案 125 3.(xx深圳調(diào)研)如圖,AB是⊙O的直徑,D是⊙O上一點(diǎn),E為的中點(diǎn),⊙O的弦AD與BE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C,若AB=18,BC=12,則AD=________. 解析 如圖,連接AE,∵AB是⊙O的直徑, ∴AE⊥BE,又E是 的中點(diǎn), ∴∠BAE=∠EAC, 從而E是BC的中點(diǎn), ∴BE=EC=6,AB=AC=18, 由CDCA=CECB,得(18-AD)18=612,故AD=14. 答案 14 4.(xx廣州模擬)如圖,過(guò)點(diǎn)D作圓的切線切于B點(diǎn),作割線交圓于A,C兩點(diǎn),其中BD=3,AD=4,AB=2,則BC=________. 解析 ∵∠A=∠DBC,∠D=∠D, ∴△ABD∽△BCD,=,解得BC=. 答案 5.如圖所示,已知⊙O的兩條弦AB、CD相交于AB的中點(diǎn)E,且AB=4,DE=CE+3,則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 解析 由相交弦定理知, EAEB=ECED.(*) 又∵E為AB中點(diǎn),AB=4,DE=CE+3, ∴(*)式可化為22=EC(CE+3)=CE2+3CE, ∴CE=-4(舍去)或CE=1. ∴CD=DE+CE=2CE+3=2+3=5. 答案5 考向一 相交弦定理的應(yīng)用 【例1】?(xx廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢)如圖,半徑為2的⊙O中,∠AOB=90,D為OB的中點(diǎn),AD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E,則線段DE的長(zhǎng)為_(kāi)_______. [審題視點(diǎn)] 由勾股定理求AD,再由相交弦定理求DE. 解析 延長(zhǎng)DO交圓O于另一點(diǎn)F,易知OD=1,則AD==.由相交弦定理得,ADDE=BDDF,即DE=13,DE=. 答案 相交弦定理主要用于與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明,解題時(shí)要與相似三角形及圓周角、弦切角等相關(guān)知識(shí)綜合應(yīng)用 . 【訓(xùn)練1】 (xx廣東)如圖,AB、CD是半徑為a的圓O的兩條弦,它們相交于AB的中點(diǎn)P,PD=,∠OAP=30,則CP=________. 解析 依題AP=PB=a,由PDCP=APPB,得CP==a. 答案 a 考向二 切割線定理的應(yīng)用 【例2】?如圖所示,PA為⊙O的切線,A為切點(diǎn),PBC是過(guò)點(diǎn)O的割線,PA=10,PB=5,∠BAC的平分線與BC和⊙O分別交于點(diǎn)D和E,求ADAE的值. [審題視點(diǎn)] 由切割線定理知PA2=PBPC,可得直徑BC的長(zhǎng),要求ADAE,由△ACE∽△ADB,得ADAE=CABA,只要求出CA,BA的長(zhǎng)即可. 解 如圖所示,連接CE,∵PA是⊙O的切線,PBC是⊙O的割線, ∴PA2=PBPC.又PA=10,PB=5,∴PC=20,BC=15. ∵PA切⊙O于A, ∴∠PAB=∠ACP. 又∠P為公共角,∴△PAB∽△PCA. ∴===. ∵BC為⊙O的直徑,∴∠CAB=90. ∴AC2+AB2=BC2=225.∴AC=6,AB=3. 又∠ABC=∠E,∠CAE=∠EAB, ∴△ACE∽△ADB,∴=. ∴ADAE=ABAC=36=90. 在圓中通過(guò)連接圓上的兩點(diǎn)、作圓的切線等可以創(chuàng)造使用圓周角定理、圓心角定理、弦切角定理的條件,這是在圓的問(wèn)題上解決角之間關(guān)系的重要技巧. 【訓(xùn)練2】 如圖,⊙O與⊙O′外切于P,兩圓公切線AC,分別切⊙O、⊙O′于A、C兩點(diǎn),AB是⊙O的直徑,BE是⊙O′的切線,E為切點(diǎn),連AP、PC、BC. 求證:APBC=BEAC. 證明 由題意可知∠APC=90,連BP,則∠APB=90,∴B、P、C在同一直線上,即P點(diǎn)在BC上,由于AB⊥AC,易證Rt△APB∽R(shí)t△CAB. ∴=,即AB2=BPBC,又由切割線定理,得BE2=BPBC,∴AB=BE,又Rt△APB∽R(shí)t△CAB, ∴=,即APBC=ABAC, ∴APBC=BEAC. 考向三 圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的應(yīng)用 【例3】?(xx遼寧三校聯(lián)考)已知四邊形PQRS是圓內(nèi)接四邊形,∠PSR=90,過(guò)點(diǎn)Q作PR、PS的垂線,垂足分別為點(diǎn)H、K. (1)求證:Q、H、K、P四點(diǎn)共圓; (2)求證:QT=TS. [審題視點(diǎn)] (1)利用∠PHQ=∠PKQ=90; (2)先證∠HKS=∠QSP,TS=TK,再證TS=QT. 證明 (1)∵∠PHQ=∠PKQ=90,∴Q、H、K、P四點(diǎn)共圓. (2)∵Q、H、K、P四點(diǎn)共圓,∴∠HKS=∠HQP,① ∵∠PSR=90,∴PR為圓的直徑, ∴∠PQR=90,∠QRH=∠HQP,② 而∠QSP=∠QRH,③ 由①②③得,∠QSP=∠HKS,TS=TK, 又∠SKQ=90,∵∠SQK=∠TKQ,∴QT=TK,∴QT=TS. (1)四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)P,若PAPC=PBPD,則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓. (2)四邊形ABCD的一組對(duì)邊AB、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,若PAPB=PCPD,則它的四個(gè)頂點(diǎn)共圓. 以上兩個(gè)命題的逆命題也成立.該組性質(zhì)用于處理四邊形與圓的關(guān)系問(wèn)題時(shí)比較有效. 【訓(xùn)練3】 如圖所示,AB是⊙O的直徑,G為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),GCD是⊙O的割線,過(guò)點(diǎn)G作AB的垂線,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)G作⊙O的切線,切點(diǎn)為H. 求證:(1)C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共圓; (2)GH2=CEGF. 證明 (1)如圖,連接BC. ∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90. ∵AG⊥FG,∴∠AGE=90. 又∠EAG=∠BAC, ∴∠ABC=∠AEG. 又∠FDC=∠ABC, ∴∠FDC=∠AEG. ∴∠FDC+∠CEF=180. ∴C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共圓. (2)∵GH為⊙O的切線,GCD為割線, ∴GH2=GCGD. 由C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共圓, 得∠GCE=∠AFE,∠GEC=∠GDF. ∴△GCE∽△GFD. ∴=, 即GCGD=GEGF.∴CH2=GEGF. 如何求解高考中幾何證明選講問(wèn)題 從近兩年的新課標(biāo)高考試題可以看出,高考對(duì)切割線定理的應(yīng)用及四點(diǎn)共圓問(wèn)題重點(diǎn)考查,題型為填空題或解答題. 【示例】? (本題滿分10分)(xx新課標(biāo)全國(guó))如圖,D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且不與△ABC的頂點(diǎn)重合.已知AE的長(zhǎng)為m,AC的長(zhǎng)為n,AD,AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-14x+mn=0的兩個(gè)根. (1)證明:C,B,D,E四點(diǎn)共圓; (2)若∠A=90,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑. 第(1)問(wèn)連DE,證明△ADE∽△ACB,即證∠ADE=∠ACB,根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)判定四點(diǎn)C,B,D,E共圓;第(2)問(wèn)先求AD、AB的長(zhǎng),再確定C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的圓心,進(jìn)一步求半徑. [解答示范] (1)連接DE,根據(jù)題意,在△ADE和△ACB中,ADAB=mn=AEAC,即=.又∠DAE=∠CAB, 從而△ADE∽△ACB.(3分) 因此∠ADE=∠ACB. 所以C,B,D,E四點(diǎn)共圓.(4分) (2)m=4,n=6時(shí),方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12. 故AD=2,AB=12.(6分) 取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F,分別過(guò)G,F(xiàn)作AC,AB的垂線,兩垂線相交于H點(diǎn),連結(jié)DH.因?yàn)镃,B,D,E四點(diǎn)共圓,所以C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的圓心為H,半徑為DH.(8分) 由于∠A=90,故GH∥AB,HF∥AC.從而HF=AG=5,DF=(12-2)=5. 故C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑為5.(10分) 本題主要考查平面幾何證明,四點(diǎn)共圓,三角形相似,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.四點(diǎn)共圓常用的證明方法是求證四邊形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的內(nèi)角,當(dāng)然也可以求出過(guò)其中三點(diǎn)的圓,然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上,也可以證明以兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線與以另兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線相交. 【試一試】 (xx遼寧)如圖,A,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上,AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn),且EC=ED. (1)證明:CD∥AB; (2)延長(zhǎng)CD到F,延長(zhǎng)DC到G,使得EF=EG,證明:A,B,G,F(xiàn)四點(diǎn)共圓. [嘗試解答] (1)因?yàn)镋C=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上,所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA. 所以CD∥AB. (2)由(1)知,AE=BE.因?yàn)镋F=EG,故∠EFD=∠EGC,從而∠FED=∠GEC.連接AF,BG,則△EFA≌△EGB, 故∠FAE=∠GBE.又CD∥AB,∠EDC=∠ECD, 所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180. 故A,B,G,F(xiàn)四點(diǎn)共圓.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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