2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 二次函數(shù)教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 二次函數(shù)教案 新人教A版 知識(shí)梳理 知識(shí)點(diǎn)1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1.二次函數(shù)的定義與解析式 (1)二次函數(shù)的定義 形如：f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù). (2)二次函數(shù)解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝___ ax2＋bx＋c (a≠0)___ ___. ②頂點(diǎn)式：f(x)＝__ a(x－m)2＋n(a≠0)_____ __. ③零點(diǎn)式：f(x)＝___ a(x－x1)(x－x2) (a≠0)_______________ _. 點(diǎn)評(píng)：.求二次函數(shù)解析式的方法：待定系數(shù)法.根據(jù)所給條件的特征，可選擇一般式、頂點(diǎn)式或零點(diǎn)式中的一種來(lái)求. ①已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式. ②已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式. ③已知二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)已知時(shí)，選用零點(diǎn)式求f(x)更方便. 2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 圖象 函數(shù)性質(zhì) a>0 定義域 x∈R(個(gè)別題目有限制的，由解析式確定) 值域 a>0 a<0 y∈[，＋∞) y∈(－∞，] a<0 奇偶性 b＝0時(shí)為偶函數(shù)，b≠0時(shí)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù) 單調(diào)性 x∈(－∞，－]時(shí)遞減， x∈[－，＋∞)時(shí)遞增 x∈(－∞，－] 時(shí)遞增， x∈[－，＋∞) 時(shí)遞減 圖象特點(diǎn) ①對(duì)稱軸：x＝－； ②頂點(diǎn)：(－，) 3.二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，當(dāng)Δ＝b2－4ac>0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M1(x1,0)、M2(x2,0)， |M1M2|＝|x1－x2|＝. 知識(shí)點(diǎn)2 二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系 當(dāng)?shù)膱D像與x軸無(wú)交點(diǎn)無(wú)實(shí)根 的解集為或者是R; 當(dāng)?shù)膱D像與x軸相切有兩個(gè)相等的實(shí)根 的解集為或者是R; 當(dāng)?shù)膱D像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)有兩個(gè)不等的實(shí)根 的解集為或者是。 知識(shí)點(diǎn)3 一元二次方程實(shí)根分布的充要條件 一般地對(duì)于含有字母的一元二次方程的實(shí)根分布問(wèn)題，用圖象求解，有如下結(jié)論： 令（）（同理討論的結(jié)論） (1) x1<α, x2<α ,則; (2) x1>α, x2>α,則 (3) αb (α0，∴g(a)在[，1]上是增函數(shù)，最小值是g()=. ∴g(a)在[，1]上是增函數(shù)，最小值是g()=. 探究提高　(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分析討論求解. 變式訓(xùn)練3：（1）已知函數(shù)f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在區(qū)間[0,1]內(nèi)有一個(gè) 最大值－5，求a的值. 　解　f(x)＝－42－4a，對(duì)稱軸為x＝，頂點(diǎn)為. ①當(dāng)≤0，即a≤0時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,1]上遞減， 此時(shí)f(x)max＝f(0)＝－4a－a2. 令－4a－a2＝－5，即a2＋4a－5＝0， ∴a＝－5或a＝1(舍去)． ②當(dāng)0<<1，即02x＋m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解　(1)由f(0)＝1得，c＝1. ∴f(x)＝ax2＋bx＋1. 又f(x＋1) f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1 (ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x， ∴∴ 因此，f(x)＝x2x＋1. (2)f(x)>2x＋m等價(jià)于x2x＋1>2x＋m， 即x23x＋1m>0，要使此不等式在[1,1]上恒成立， 只需使函數(shù)g(x)＝x23x＋1m在[1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x23x＋1m在[1,1]上單調(diào)遞減， ∴g(x)min＝g(1)＝m1，由m1>0得，m<1. 因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(∞，1)． 變式訓(xùn)練4：(1)已知， ① 如果對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； ②如果對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解析 ：①； ②或或， 解得或或，∴的取值范圍為． (2)已知二次函數(shù)（R，0）．如果[0，1]時(shí)， 總有||．試求的取值范圍． 解：由得對(duì)于任意恒成立， 當(dāng)時(shí)，使成立； ① ② 當(dāng)時(shí)，有 對(duì)于任意的恒成立；，則,故要使①式成立， 則有，又； 又，則有，綜上所述： 題型五　二次函數(shù)與方程 例5已知二次函數(shù) （1）若a>b>c,且f(1)=0,證明f(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn); （2） 在(1)的條件下,是否存在m∈R,使池f(m)= - a成立時(shí),f(m+3)為正數(shù), 若存在,證明你的結(jié)論,若不存在,說(shuō)明理由. （3）若對(duì), 有2個(gè)不等實(shí)根,證明必有一個(gè)根屬于 解:（1） 的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn). （2）的一個(gè)根,由韋達(dá)定理知另一根為， ， 在(1,+∞)單調(diào)遞增,, 即存在這樣的m使； （3）令,則是二次函數(shù). 的根必有一個(gè)屬于. 例6 二次函數(shù) 的零點(diǎn)分別為 （1）證明 （2）證明 （3）若滿足不等式||≤，試求的取值范圍. 解：（1）由題意知x、x是一元二次方程ax的兩個(gè)實(shí)根， 所以x+x=- x+x=-xx.所以(1+x)(1+x)=1. （2）由方程ax(a＞0)的判別式Δ=1-4a>0,解得0＜a＜ 所以y=ax( a＞0)的圖象的對(duì)稱軸-<-2＜-1,且f(-1)=a＞0. 所以二次函數(shù)y=ax( a＞0)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)都在-1點(diǎn)的左側(cè)， 即x＜-1, x＜-1. （3）由|lg|≤1,可得≤≤10.又由(1), x= ∴≤≤10，∴≤≤。 ∴＝- , 所以當(dāng),a取最大值; 當(dāng)=-, a取最小值. 又∵0＜a＜所以a的取值范圍為. 例7 已知二次函數(shù) （1）若在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （2）若對(duì)區(qū)間[-1，1]內(nèi)的一切實(shí)數(shù)m都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解：的對(duì)稱軸，而，， .（1）命題 ①當(dāng)，即， 得； ②當(dāng)，即時(shí)， ，得。 綜上，的取值范圍是（-5，7）。 （2）命題 ①當(dāng)，即時(shí)， ； ②當(dāng)，即時(shí)， ，得； ③當(dāng)，即時(shí)，，得. 綜上，的取值范圍是（-1，3）。 題型六　二次函數(shù)與不等式 例8已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)＝x2＋2x． （1）求函數(shù)g(x)的解析式； （2）解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|； （3）若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：（1）設(shè)函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則 ∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上， ∴。 （2）由。 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式無(wú)解當(dāng)時(shí)，， 解得 ∴原不等式的解集為 （3），① ② ?。? ⅱ） 探究提高　二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們常有機(jī)結(jié)合在一起，而二次函數(shù)又是“三個(gè)二次”的核心，通過(guò)二次函數(shù)的圖象貫穿為一體.因此，有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.用函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn). 變式訓(xùn)練6：設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范圍； (2)求f(x)的最小值； 解　(1)因?yàn)閒(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0， 即a<0，由a2≥1知a≤－1， 因此，a的取值范圍為(－∞，－1]. (2)記f(x)的最小值為g(a)，則有 f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a| (ⅰ)當(dāng)a≥0時(shí)，若x>a，,① 若x≤a，f(－a)＝－2a2，② 由①②知f(x)≥－2a2，此時(shí)g(a)＝－2a2. (ⅱ)當(dāng)a<0時(shí)，若x>a，＝a2， 若x≤a， f(x)≥2a2>a2. 此時(shí)g(a)＝a2， 綜上，得g(a)＝. 　分類討論的思想是高考重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想方法之一.本題充分體現(xiàn)了分類討論的思想方法. 在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分： 一是求實(shí)數(shù)a的值時(shí)，討論的過(guò)程中沒注意a自身的取值范圍，易出錯(cuò)；二是求函數(shù)最值時(shí)，分類討論的結(jié)果不能寫在一起，不能得出最后的結(jié)論. 除此外，解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，以下幾點(diǎn)容易造成失分： 1.含絕對(duì)值問(wèn)題，去絕對(duì)值符號(hào)，易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤； 2.分段函數(shù)求最值時(shí)要分段求，最后寫在一起時(shí)，沒有比較大小或不會(huì)比較出大小關(guān)系； 3.解一元二次不等式時(shí)，不能與一元二次函數(shù)、一元二次方程聯(lián)系在一起，思路受阻. 方法與技巧 1.數(shù)形結(jié)合是討論二次函數(shù)問(wèn)題的基本方法.特別是涉及二次方程、二次不等式的時(shí)候常常結(jié)合圖形尋找思路. 2.含字母系數(shù)的二次函數(shù)問(wèn)題經(jīng)常使用的方法是分類討論.比如討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，又例如涉及二次不等式需討論根的大小等. 3.關(guān)于二次函數(shù)y＝f(x)對(duì)稱軸的判斷方法 (1)對(duì)于二次函數(shù)y＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝. (2)對(duì)于二次函數(shù)y＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝a(a為常數(shù)). (3)對(duì)于二次函數(shù)y＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(x＋2a)＝f(x)，那么函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝a(a為常數(shù)). 注意：(2)(3)中，f(a＋x)＝f(a－x)與f(x＋2a)＝f(x)是等價(jià)的. (4)利用配方法求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a≠0)對(duì)稱軸方程為x＝－； (5)利用方程根法求對(duì)稱軸方程.若二次函數(shù)y＝f(x)對(duì)應(yīng)方程f(x)＝0的兩根為x1、x2，那么函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝. 失誤與防范 1.求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)要經(jīng)過(guò)配方法，要熟練準(zhǔn)確利用配方法. 2.對(duì)于函數(shù)y＝ax2＋bx＋c要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須認(rèn)定a≠0，當(dāng)題目條件中未說(shuō)明a≠0時(shí)，就要討論a＝0和a≠0兩種情況. 3.對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a≠0)給定了定義域?yàn)橐粋€(gè)區(qū)間[k1，k2]時(shí)，利用配方法求函數(shù)的最值是極其危險(xiǎn)的，一般要討論函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在區(qū)間外、內(nèi)的情況，有時(shí)要討論下列四種情況： ①－0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是 ( D　) 2.函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是 (　　) 　A.m＝－2 B.m＝2 C.m＝－1 D.m＝1 3.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(b＋c)x＋1 (a≠0)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)閇a－c，b]，則點(diǎn)(a，b)的軌跡是 (　　) A.線段 B.直線的一部分 C.點(diǎn) D.圓錐曲線 4.設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且f(m)≤f(0)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　) A.(－∞，0] B.[2，＋∞) C.(－∞，0]∪[2，＋∞) D.[0,2] 5.已知函數(shù)f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f(x)與g(x)的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　) A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(－∞，0) 6.函數(shù)f(x)＝－x2＋(2a－1)|x|＋1的定義域被分成了四個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A.a> B. D.a< 二、填空題 7.若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋2滿足f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝___2___. 8.若函數(shù)y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則b＝___6___. 9.二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱軸為x＝2，最小值為－1，則它的解析式為________. 10.若函數(shù)y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是_________. 11.若函數(shù)f(x)＝ax＋b (a≠0)的一個(gè)零點(diǎn)是1，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)是___0,___ －1_______. 12.方程x2－mx＋1＝0的兩根為α，β，且α>0，1<β<2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________________. 13.若方程x2－11x＋30＋a＝0的兩根均大于5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 14.已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閇a－1,2a]，則y＝f(x)的值域?yàn)開________. 三、解答題 15.是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a的定義域?yàn)閇－1,1]時(shí)，值域?yàn)閇－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，說(shuō)明理由. 解　f(x)＝(x－a)2＋a－a2. 當(dāng)a<－1時(shí)，f(x)在[－1,1]上為增函數(shù)， ∴?a＝－1(舍去)； 當(dāng)－1≤a≤0時(shí)， ?a＝－1； 當(dāng)01時(shí)，f(x)在[－1,1]上為減函數(shù)， ∴?a不存在． 綜上可得a＝－1. 16.已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx (a，b為常數(shù)，且a≠0)，滿足條件f(1＋x)＝f(1－x)，且方程f(x)＝x有等根. (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在實(shí)數(shù)m、n (m0時(shí)，方程f(x)＝0只有一個(gè)實(shí)根；③f(x)的圖象關(guān)于(0，c)對(duì)稱；④方程f(x)＝0至多有兩個(gè)實(shí)根．其中正確的命題是__①②③________． 解析：c＝0時(shí)，f(x)＝x|x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故f(x)是奇函數(shù)； b＝0，c>0時(shí)，f(x)＝x|x|＋c＝0，∴x≥0時(shí)，x2＋c＝0無(wú)解，x<0時(shí)，f(x)＝－x2＋c＝0， ∴x＝，有一個(gè)實(shí)數(shù)根． 7．對(duì)于區(qū)間[a，b]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)，如果對(duì)于區(qū)間[a，b]中的任意數(shù)x均有|f(x)－g(x)|≤1，則稱函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間[a，b]上是密切函數(shù)，[a，b]稱為密切區(qū)間．若m(x)＝x2－3x＋4與n(x)＝2x－3在某個(gè)區(qū)間上是“密切函數(shù)”，則它的一個(gè)密切區(qū)間可能是___③_____． ①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4] 解析：|m(x)－n(x)|≤1?|x2－5x＋7|≤1，解此絕對(duì)值不等式得2≤x≤3，故在區(qū)間[2,3]上|m(x)－n(x)|的值域?yàn)閇0,1]，∴|m(x)－n(x)|≤1在[2,3]上恒成立． 8.已知函數(shù)f(x)的自變量的取值區(qū)間為A，若其值域也為A，則稱區(qū)間A為f(x)的保值區(qū)間.函數(shù)f(x)＝x2形如[n，＋∞) (n∈(0，＋∞))的保值區(qū)間是__________. 9.已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t. (1)求證：對(duì)于任意t∈R，方程f(x)＝1必有實(shí)數(shù)根； (2)若0. f(0)＝12t＝2<0. f＝＋(2t1)＋12t＝t>0. 又函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不間斷． 因此f(x)＝0在區(qū)間(1,0)及上各有一個(gè)實(shí)根． 10. 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)滿足條件：①f(0)= 1；②對(duì)任xR，均有 f(x-4)=f(2-x);③函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=x1的圖像相切. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式； (Ⅱ)當(dāng)且僅當(dāng)x[4,m](m>4)時(shí)，f(x-t)g(x)恒成立，試求t，m的值. 解：(Ⅰ)由①得c=1， 由②知，， 即b=2a， 所以f(x)=ax2+2ax-1 由③知:方程ax2+2ax-1=x-1，即ax2+(2a-1)x=0有兩個(gè)相等的實(shí)根， ∴，故。 (Ⅱ)∵當(dāng)且僅當(dāng)x[4,m](m>4)時(shí)，f(x-t)g(x)恒成立, ∴不等式，即x2-2tx+t2-2t0的解集為[4,m]， ∴,解得t=8,m=12或t=2,m=0 ∵m>4, ∴t=8,m=12符合題意。 11設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋2bx＋c(c0， ∴f(m－4)的符號(hào)為正．