2019-2020年高考數(shù)學(xué)滾動(dòng)檢測(cè)05向量數(shù)列不等式和立體幾何的綜合同步單元雙基雙測(cè)B卷理.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)滾動(dòng)檢測(cè)05向量數(shù)列不等式和立體幾何的綜合同步單元雙基雙測(cè)B卷理 一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分） 1. 【xx廣西柳州兩校聯(lián)考】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖（等腰直角三角形）和俯視圖，且該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】該幾何體為正方體截去一部分后的四棱錐P﹣ABCD，如圖所示， 該幾何體的俯視圖為C．故選：C． 2. 等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析：. 考點(diǎn)：等比數(shù)列. 3. 【xx江西新余一中四?！咳鐖D，已知，若點(diǎn)滿足， ，（ ），則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4. 若對(duì)于任意的,關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為（ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】 試題分析：設(shè)，根據(jù)已知條件知：，該不等式表示的平面區(qū)域如圖所示，設(shè)，所以，所以該方程表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，原點(diǎn)到直線的距離為，所以該圓的半徑，解得，故選A. 考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃求最值. 5. 設(shè)是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是（ ） A．存在唯一直線，使得，且 B．存在唯一直線，使得，且 C．存在唯一平面，使得，且 D．存在唯一平面，使得，且 【答案】C 【解析】 考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系. 6. 在三棱錐中，側(cè)面、側(cè)面、側(cè)兩兩互相垂直，且，設(shè)三棱錐的體積為，三棱錐的外接球的體積為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由側(cè)面、側(cè)面、側(cè)兩兩互相垂直知兩兩相互垂直，不妨設(shè)，，，則．三棱錐的外接球的直徑，所以，所以，故選A． 考點(diǎn)：1、三棱錐的外接球；2、三棱錐與球的體積． 7. 【xx遼寧沈陽四校聯(lián)考】正三角形邊長(zhǎng)為2，將它沿高翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時(shí)四面體外接球表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 外接球的表面積為：4πr2=7π 故選：A． 點(diǎn)睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解． (2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解． 8. 平行四邊形中，, 點(diǎn)在邊上，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算. 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，建模思想，二次函數(shù)求最值，數(shù)形結(jié)合，屬于中檔題，先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求出，再建立坐標(biāo)系，得，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，問題得以解決，因此正確建立直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)最值問題是解題的關(guān)鍵. 9. 設(shè)成等比數(shù)列，其公比為3，則的值為（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析： 考點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式 10. 【xx江西新余一中四模】已知數(shù)列滿足，且（），則的整數(shù)部分是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】（）， ， 則的整數(shù)部分為 故選 點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，需根據(jù)條件利用裂項(xiàng)法構(gòu)造新的數(shù)列，運(yùn)用裂項(xiàng)求和得出和的結(jié)果，然后推導(dǎo)出其整數(shù)部分，注意條件的運(yùn)用及轉(zhuǎn)化 11. 如圖，在正四棱錐（底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心）S﹣ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論中恒成立的個(gè)數(shù)為（ ） （1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】B 【解析】 考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系 12. 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上取一點(diǎn)，以為球心，為半徑作一個(gè)球，設(shè)，記該球面與正方體表面的交線的長(zhǎng)度和為，則函數(shù)的圖像最有可能的是（ ） 【答案】B 【解析】 試題分析：球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個(gè)特殊情形：（1）當(dāng)；（2）當(dāng)；（3）當(dāng).（1）當(dāng)時(shí)，以為球心，為半徑作一個(gè)球，該球面與正方體表面的交線弧長(zhǎng)為，且為函數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，以為球心，為半徑作一個(gè)球，根據(jù)圖形的相似，該球面與正方體表面的交線弧長(zhǎng)為（1）中的一半；（3）當(dāng)時(shí)，以為球心，為半徑作一個(gè)球，其弧長(zhǎng)為，且為函數(shù)的最大值，對(duì)照選項(xiàng)可得B正確. 考點(diǎn)：函數(shù)圖象. 【思路點(diǎn)晴】球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個(gè)特殊情形：（1）當(dāng)；（2）當(dāng)；（3）當(dāng).其中（1）（3）兩種情形所得弧長(zhǎng)相等且為函數(shù)的最大值，根據(jù)圖形的相似，（2）中的弧長(zhǎng)為（1）中弧長(zhǎng)的一半，對(duì)照選項(xiàng)，即可得出答案.本題考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查特殊值、小題小作的小題技巧. 二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分） 13. 若非零向量滿足,則夾角的余弦值為_______． 【答案】 【解析】 試題分析：由，得，即，所以＝． 考點(diǎn)：1、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；2、平面向量的夾角． 14. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則數(shù)列的前項(xiàng)和 . 【答案】 【解析】 考點(diǎn)：等比數(shù)列求通項(xiàng)公式與求和. 【方法點(diǎn)晴】本題考查學(xué)生的是等比數(shù)列求通項(xiàng)公式與求和,屬于基礎(chǔ)題目.首先由和的等式,求出通項(xiàng)公式,基本方法有兩種,一種是用替換原式中的得到另一個(gè)等式,兩式作差消去,是一個(gè)關(guān)于與的遞推關(guān)系式,從而求出;第二種是把代入,消去,先求出再求.求出通項(xiàng)公式后判斷其為等比數(shù)列,用求和公式即可求解. 15. 【xx湖南五市十校聯(lián)考】某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為__________． 【答案】 【解析】由三視圖知，幾何體是一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)是2， 三棱柱的兩個(gè)底面的中心的中點(diǎn)與三棱柱的頂點(diǎn)的連線就是外接球的半徑， ，球的表面積. 點(diǎn)睛：本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點(diǎn)問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系，得到結(jié)果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等，然后同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線（這兩個(gè)多邊形需有公共點(diǎn)），這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點(diǎn)到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時(shí)也可利用補(bǔ)體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，它們是同一個(gè)外接球. 16. 三棱錐內(nèi)接于球，，當(dāng)三棱錐的三個(gè)側(cè)面積和最大時(shí)，球的體積為 ． 【答案】 【解析】 考點(diǎn)：幾何體的外接球． 【思路點(diǎn)晴】設(shè)幾何體底面外接圓半徑為,常見的圖形有正三角形,直角三角形,矩形,它們的外心可用其幾何性質(zhì)求;而其它不規(guī)則圖形的外心,可利用正弦定理來求．若長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為則其體對(duì)角線長(zhǎng)為;長(zhǎng)方體的外接球球心是其體對(duì)角線中點(diǎn)．找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過幾何體各個(gè)面的外心分別做這個(gè)面的垂線,交點(diǎn)即為球心．三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,且棱長(zhǎng)分別為，則其外接球半徑公式為: ． 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，且，為的中點(diǎn). E D C B A P （I）求證：平面； （II）求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（I）詳見解析（II） 【解析】 試題解析：解：（I）連接，交于點(diǎn)，連接，則是的中點(diǎn). 又∵是的中點(diǎn)，∴是的中位線， ∴，又∵平面，平面， ∴平面. （II）∵，，，∴平面， 如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，， ∴，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得， ，令，則，， ∴，又∵， ∴， ∴直線與平面所成角的正弦值為. z y x O E D C B A P 考點(diǎn)：線面平行判定定理，利用空間向量求線面角 【思路點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 18. 在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且向量與向量共線. （1）求； （2）若，，，且，求的長(zhǎng)度. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)條件中的向量共線得到，，滿足的一個(gè)式子，再進(jìn)行三角恒等變形即可求解；考點(diǎn)：1.三角恒等變形；2.正余弦定理解三角形． 19. 【xx江西南昌摸底】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，記. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1）；（2） 【解析】試題分析：（1）利用，同時(shí)驗(yàn)證時(shí)也滿足，可得通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可求得結(jié)果. 試題解析：（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，∴；當(dāng)時(shí)， ，又，∴ （2）由（1）知， ，∴ ． 點(diǎn)睛：解題中，在利用的同時(shí)一定要注意和兩種情況，否則容易出錯(cuò)；常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類似于，錯(cuò)位相減法類似于，其中為等差數(shù)列， 為等比數(shù)列等. 20. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且. （Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列. （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）證明數(shù)列為等比數(shù)列，一般方法為定義法，即確定相鄰兩項(xiàng)的比值為非零常數(shù)：利用代入化簡(jiǎn)，再說明不為零即可（Ⅱ）由（Ⅰ）先根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，即得，代入，可得，因此其前項(xiàng)和應(yīng)用錯(cuò)位相減法求。 試題解析： 解（Ⅰ）證明： ∴ 又，∴， 所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，， 即. ∴. 于是，① ，② 由①-②得，， 即， ∴數(shù)列的前項(xiàng)和. 考點(diǎn)：等比數(shù)列定義及通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求和 21. 如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，． （1）求證平面； （2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值； （3）求直線與平面所成角的余弦值． 【答案】（1）詳見解析（2）（3） 【解析】 試題解析：（1）四邊形為直角梯形，四邊形為矩形， ，， 又平面平面，且 平面平面， 平面． 以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸， 所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系． 根據(jù)題意我們可得以下點(diǎn)的坐標(biāo)： ，，，，，， 則，． ，， 為平面的一個(gè)法向量． 又， 平面． （2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則 ，， ， 取，得． 平面，平面一個(gè)法向量為， 設(shè)平面與平面所成銳二面角的大小為， 則． 因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為． （3）根據(jù)（2）知平面一個(gè)法向量為， ， ， 設(shè)直線與平面所成角為，則． 因此，直線與平面所成角的余弦值為． 考點(diǎn)：1．線面平行的判定；2．二面角求解；3．直線與平面所成角 22. 【xx廣西兩市聯(lián)考】如圖，三棱柱中， 平面， 分別為和的中點(diǎn)， 是邊長(zhǎng)為2 的正三角形， . （1）證明： 平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】(1)證明見解析；(2) . 試題解析：（1）證明:取的中點(diǎn)，連接， ∵分別為和的中點(diǎn)， ∴， ，∴， ， 則四邊形是平行四邊形，則. ∵平面， 平面，∴平面； （2）取中點(diǎn)，∵為等邊三角形， ∴. 又平面， ，∴平面， 建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別為軸的空間直角坐標(biāo)系如圖: 則 ， ， 則設(shè)平面的法向量為， ， ， 則，即 令，則，即， 平面的法向量為， ， ， 則，得，即， 令，則，即， 則 ， 即二面角的余弦值是.