2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題六 解析幾何 第3講 圓錐曲線的綜合問題試題.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題六 解析幾何 第3講 圓錐曲線的綜合問題試題 1．(xx福建)設(shè)P，Q分別為圓x2＋(y－6)2＝2和橢圓＋y2＝1上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是(　　) A．5 B.＋ C．7＋ D．6 2．(xx陜西)如圖，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)，經(jīng)過點(diǎn)A(0，－1)，且離心率為. (1)求橢圓E的方程； (2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2. 　 　 　 1.圓錐曲線的綜合問題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，考查范圍、最值問題，定點(diǎn)、定值問題，探索性問題.2.試題解答往往要綜合應(yīng)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種思想方法，對(duì)計(jì)算能力也有較高要求，難度較大. 熱點(diǎn)一　范圍、最值問題 圓錐曲線中的范圍、最值問題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題(以所求式子或參數(shù)為函數(shù)值)，或者利用式子的幾何意義求解． 例1　(xx重慶)如圖，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQ⊥PF1. (1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ＜，試確定橢圓離心率e的取值范圍． 　 　 　 　 　 　 思維升華　解決范圍問題的常用方法： (1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，數(shù)形結(jié)合求解． (2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解． (3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域． 跟蹤演練1　已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(1，)． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)線段PQ是橢圓過點(diǎn)F2的弦，且＝λ，求△PF1Q內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)λ的值． 　 　 　 　 　 　 　 熱點(diǎn)二　定點(diǎn)、定值問題 1．由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：y－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：y＝kx＋m，則直線必過定點(diǎn)(0，m)． 2．解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等與題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值． 例2　橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左，右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 　 　 　 　 思維升華　(1)動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過定點(diǎn)(－m,0)．(2)動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)． 跟蹤演練2　已知直線l：y＝x＋，圓O：x2＋y2＝5，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等． (1)求橢圓E的方程； (2)過圓O上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩切線的斜率之積為定值． 　 　 　 　 　 　 熱點(diǎn)三　探索性問題 1．解析幾何中的探索性問題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型，解決這類問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在． 2．反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題常用的方法． 例3　如圖，拋物線C：y2＝2px的焦點(diǎn)為F，拋物線上一定點(diǎn)Q(1,2)． (1)求拋物線C的方程及準(zhǔn)線l的方程； (2)過焦點(diǎn)F的直線(不經(jīng)過Q點(diǎn))與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)M，記QA，QB，QM的斜率分別為k1，k2，k3，問是否存在常數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3成立，若存在λ，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 思維升華　解決探索性問題的注意事項(xiàng)： 存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在． (1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類討論． (2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件． (3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開放，采取另外的途徑． 跟蹤演練3　(xx四川)如圖，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且＝－1. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)λ，使得＋λ為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 　 　 已知橢圓C1：＋＝1(a>0)與拋物線C2：y2＝2ax相交于A，B兩點(diǎn)，且兩曲線的焦點(diǎn)F重合． (1)求C1，C2的方程； (2)若過焦點(diǎn)F的直線l與橢圓分別交于M，Q兩點(diǎn)，與拋物線分別交于P，N兩點(diǎn)，是否存在斜率為k(k≠0)的直線l，使得＝2？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 　 　 提醒：完成作業(yè)　專題六　第3講 二輪專題強(qiáng)化練 專題六 第3講　圓錐曲線的綜合問題 A組　專題通關(guān) 1．(xx北京西城區(qū)期末)若曲線ax2＋by2＝1為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a，b滿足(　　) A．a(chǎn)2>b2 B.< C．0b>0)的離心率為e＝，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)(　　) A．必在圓x2＋y2＝2內(nèi) B．必在圓x2＋y2＝2上 C．必在圓x2＋y2＝2外 D．以上三種情形都有可能 5．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 6．已知雙曲線x2－＝1的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則的最小值為_______________________________________________________________． 7．已知A(1,2)，B(－1,2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足⊥.若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡沒有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是________． 8．在直線y＝－2上任取一點(diǎn)Q，過Q作拋物線x2＝4y的切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB恒過定點(diǎn)________． 9．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為，過點(diǎn)M(2,0)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是N，證明：直線AN恒過一定點(diǎn)． B組　能力提高 10．已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)．若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________． 11．直線3x－4y＋4＝0與拋物線x2＝4y和圓x2＋(y－1)2＝1從左到右的交點(diǎn)依次為A、B、C、D，則的值為________． 12．(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知橢圓C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M. (1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值； (2)若l過點(diǎn)，延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由． 學(xué)生用書答案精析 第3講　圓錐曲線的綜合問題 高考真題體驗(yàn) 1．D　[如圖所示，設(shè)以(0,6)為圓心，以r為半徑的圓的方程為x2＋(y－6)2＝r2(r>0)，與橢圓方程＋y2＝1聯(lián)立得方程組，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0. 令Δ＝122－49(r2－46)＝0， 解得r2＝50，即r＝5. 由題意易知P，Q兩點(diǎn)間的最大距離為r＋＝6， 故選D.] 2．(1)解　由題設(shè)知＝，b＝1， 結(jié)合a2＝b2＋c2，解得a＝， 所以橢圓的方程為＋y2＝1. (2)證明　由題設(shè)知，直線PQ的方程為y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 則x1＋x2＝，x1x2＝， 從而直線AP，AQ的斜率之和 kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k) ＝2k＋(2－k) ＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2. 熱點(diǎn)分類突破 例1　解　(1)由橢圓的定義， 2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2. 設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1⊥PF2，因此 2c＝|F1F2|＝ ＝＝2， 即c＝，從而b＝＝1. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)如圖，由PF1⊥PQ， |PQ|＝λ|PF1|，得 |QF1|＝＝|PF1|. 由橢圓的定義，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a， 進(jìn)而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a， 于是(1＋λ＋)|PF1|＝4a， 解得|PF1|＝， 故|PF2|＝2a－|PF1|＝. 由勾股定理得 |PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2， 從而2＋ 2＝4c2， 兩邊除以4a2，得 ＋＝e2. 若記t＝1＋λ＋，則上式變成 e2＝＝82＋. 由≤λ＜，并注意到1＋λ＋關(guān)于λ的單調(diào)性，得3≤t＜4，即＜≤. 進(jìn)而＜e2≤，即＜e≤. 跟蹤演練1　解　(1)e＝＝，P(1，)滿足＋＝1， 又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，b2＝3， ∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)顯然直線PQ不與x軸重合， 當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)， |PQ|＝3，|F1F2|＝2， ＝3； 當(dāng)直線PQ不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線PQ：y＝k(x－1)，k≠0代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程， 整理，得(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0， Δ>0，y1＋y2＝，y1y2＝. ＝|F1F2||y1－y2|＝12， 令t＝3＋4k2，∴t>3，k2＝， ∴＝3， ∵0<<， ∴∈(0,3)， ∴當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)最大，且最大面積為3. 設(shè)△PF1Q內(nèi)切圓半徑為r， 則＝(|PF1|＋|QF1|＋|PQ|)r＝4r≤3. 即rmax＝，此時(shí)直線PQ與x軸垂直，△PF1Q內(nèi)切圓面積最大， ∴＝，∴λ＝1. 例2　解　(1)設(shè)橢圓方程為＋＝1 (a>b>0)， 由e＝＝，得a＝2c，∵a2＝b2＋c2， ∴b2＝3c2， 則橢圓方程變?yōu)椋?. 又由題意知＝，解得c2＝1， 故a2＝4，b2＝3， 即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0. 則① 又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2 ＝. ∵橢圓的右頂點(diǎn)為A2(2,0)，AA2⊥BA2， ∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0， ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， ∴＋＋＋4＝0， ∴7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－， 由①，得3＋4k2－m2>0，② 當(dāng)m1＝－2k時(shí)，l的方程為y＝k(x－2)，直線過定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾． 當(dāng)m2＝－時(shí)，l的方程為y＝k，直線過定點(diǎn)，且滿足②， ∴直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為. 跟蹤演練2　(1)解　設(shè)橢圓的半焦距為c， 圓心O到直線l的距離d＝＝， ∴b＝＝. 由題意得∴a2＝3，b2＝2. ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)證明　設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，過點(diǎn)P的橢圓E的切線l0的方程為y－y0＝k(x－x0)， 聯(lián)立直線l0與橢圓E的方程得 消去y得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0， 整理得，(2－x)k2＋2kx0y0－(y－3)＝0， 設(shè)滿足題意的橢圓E的兩條切線的斜率分別為k1，k2， 則k1k2＝－， ∵點(diǎn)P在圓O上，∴x＋y＝5， ∴k1k2＝－＝－1. ∴兩條切線的斜率之積為常數(shù)－1. 例3　解　(1)把Q(1,2)代入y2＝2px，得2p＝4， 所以拋物線方程為y2＝4x，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1. (2)由條件可設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，k≠0. 由拋物線準(zhǔn)線l：x＝－1， 可知M(－1，－2k)． 又Q(1,2)，所以k3＝＝k＋1， 即k3＝k＋1. 把直線AB的方程y＝k(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x，并整理，可得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，知 x1＋x2＝，x1x2＝1. 又Q(1,2)，則k1＝，k2＝. 因?yàn)锳，F(xiàn)，B共線，所以kAF＝kBF＝k， 即＝＝k. 所以k1＋k2＝＋＝＋－＝2k－＝2k＋2， 即k1＋k2＝2k＋2. 又k3＝k＋1，可得k1＋k2＝2k3. 即存在常數(shù)λ＝2，使得k1＋k2＝λk3成立． 跟蹤演練3　解　(1)由已知，點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(0，－b)，(0，b)， 又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且＝－1， 于是解得a＝2，b＝， 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 聯(lián)立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0， 其判別式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－， 從而，＋λ ＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝ ＝－－λ－2. 所以當(dāng)λ＝1時(shí)，－－λ－2＝－3， 此時(shí)＋λ＝－3為定值． 當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD， 此時(shí)，＋λ＝＋＝－2－1＝－3. 故存在常數(shù)λ＝1，使得＋λ為定值－3. 高考押題精練 解　(1)因?yàn)镃1，C2的焦點(diǎn)重合， 所以＝， 所以a2＝4. 又a>0，所以a＝2. 于是橢圓C1的方程為＋＝1， 拋物線C2的方程為y2＝4x. (2)假設(shè)存在直線l使得＝2， 則可設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)． 由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 則x1＋x4＝，x1x4＝1， 所以|PN|＝＝. 由可得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 則x2＋x3＝，x2x3＝， 所以|MQ|＝＝. 若＝2， 則＝2， 解得k＝. 故存在斜率為k＝的直線l， 使得＝2. 二輪專題強(qiáng)化練答案精析 第3講　圓錐曲線的綜合問題 1．C　[由ax2＋by2＝1，得＋＝1， 因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以>>0， 所以00，b>0)的漸近線方程為y＝x，即bxay＝0， 由題意，可得>1，即>1， 所以e＝<2， 又e>1，故1

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本文標(biāo)題：2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題六 解析幾何 第3講 圓錐曲線的綜合問題試題.doc
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