2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題 理（含解析）湘教版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題 理（含解析）湘教版 【試卷綜析】試題考查的知識(shí)涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等幾章知識(shí)，重視學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考察，同時(shí)側(cè)重考察了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維能力的考察，知識(shí)點(diǎn)綜合與遷移。試卷的整體水準(zhǔn)應(yīng)該說(shuō)比較高，綜合知識(shí)、創(chuàng)新題目的題考的有點(diǎn)少,試題適合階段性質(zhì)考試. 注意事項(xiàng)：請(qǐng)本卷共21道小題，滿分150分，時(shí)間120分鐘。 選擇題（每小題5分，共10小題，滿分50分） 1．設(shè)集合，, 則（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】交集.A1 【答案解析】D 解析：解：因?yàn)镹集合表示大于等于-1的整數(shù)，所以D選項(xiàng)正確. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意求出集合N，再利用交集求出結(jié)果. 2.“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【知識(shí)點(diǎn)】充要條件.A2 【答案解析】B 解析：解：，但a,b屬于實(shí)數(shù)，而，所以“”是“”的必要不充分條件，所以B選項(xiàng)正確. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得兩個(gè)條件的關(guān)系，利用充要關(guān)系可推得B正確. 3. 已知, 則( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)與對(duì)數(shù).B6,B7 【答案解析】B解析：解：由題意可得，所以只有B正確. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系直接代入求出結(jié)果. 4. 已知函數(shù), 則下列結(jié)論正確的是 (　 ) A．是偶函數(shù) B. 是增函數(shù) C．的值域?yàn)閇－1，＋∞) D. 是周期函數(shù) 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.B4 【答案解析】D 解析：解：由分段函數(shù)的圖像可知函數(shù)是不是偶函數(shù)，不是單調(diào)增函數(shù)，在整個(gè)定義域上不是周期函數(shù)，計(jì)算可知的值域?yàn)閇－1，＋∞)，所以C正確. 【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)的值域?yàn)閇－1，＋∞) 5. 已知命題，命題:.下面結(jié)論正確的是（ ） A．命題“”是真命題 B. 命題“”是假命題 C．命題 “”是真命題 D．命題“”是假命題 【知識(shí)點(diǎn)】命題.A2 【答案解析】D 解析：解：由題意可知p為真命題，q為假命題，所以根據(jù)命題的真假可知D為正確選項(xiàng). 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知命題的真假可以找出正確選項(xiàng). 6.曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為（ ) A． B. C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】定積分與面積.B13 【答案解析】D 解析：解：由曲線 與直線y=x-1聯(lián)立，解得，x=-1，x=2， 故所求圖形的面積為 故答案為：4-2ln2． 【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的定積分求出所圍成圖形的面積. 7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,值域?yàn)?，則的值不可能是( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì).B1 【答案解析】A 解析：解：函數(shù)y=2sinx的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇-2，1]，∴x∈[a，b]時(shí)， ∴定義域的區(qū)間長(zhǎng)度b-a最小為 ，最大為 故選 D． 【思路點(diǎn)撥】由定義域的區(qū)間長(zhǎng)度可直接求出結(jié)果. 8.若函數(shù)的圖象 如圖所示，則等于（ ） A． B. C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像.B1,B5 【答案解析】B 解析： 解：由題可知的兩根為，所以在的最大值時(shí)，最得最小值2，所以可得= 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件與圖像可知函數(shù)的取值，再列出關(guān)系式求出比值. 9．已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，若，則（ ） A． B. C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性.B4 【答案解析】B 解析：解：由題可知，所以B正確. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知函數(shù)，代入可得結(jié)果. 10. 已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)形結(jié)合；直線斜率.H1 【答案解析】B 解析：解：令f（x）=|x-2|+1，g（x）=kx， 將方程|x-2|-kx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根， 轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x），g（x）有2個(gè)交點(diǎn)， 由題意可得函數(shù)f（x）的圖象（藍(lán)線） 和函數(shù)g（x）的圖象（紅線）有兩個(gè)交點(diǎn)， 如圖所示： 數(shù)形結(jié)合可得， 故選：B． 【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)的圖像可以滿足條件的k的取值范圍. 二、選擇題（每小題5分，共7小題，滿分35分） 11. . 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.C2 【答案解析】解析：解：由誘導(dǎo)公式可得 【思路點(diǎn)撥】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可直接求出結(jié)果. 12. 已知冪函數(shù)在處有定義，則實(shí)數(shù) . 【知識(shí)點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的定義，函數(shù)的性質(zhì).B8 【答案解析】2 解析：解：因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以 . 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的定義可列出條件，結(jié)合題目中的條件可求出結(jié)果. 13．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為 . 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù).B11 【答案解析】 解析：解： 時(shí) 【思路點(diǎn)撥】由復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可求出M點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即切線的斜率. 14．若函數(shù)在內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與極值.B11 【答案解析】 解析：解：由題意得，函數(shù)f（x）=x3-6bx+3b 的導(dǎo)數(shù)為 =3x2-6b 在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)， 且f（0）＜0，＞0． 即-6b＜0，且（3-6b）＞0．故答案為： 【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)和已知條件可直接求出b的取值范圍. 15. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，給出以下命題： ①當(dāng)時(shí)，； ②函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn)； ③若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是； ④恒成立. 其中，正確命題的序號(hào)是 . 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì).B10 【答案解析】①④ 解析：解：令z<0,所以-x>0,所以，所以，所以①正確；觀察在x<0時(shí)的圖像，令，x=-2, 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而在上，，在， ，所以在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，在上也有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，所以該函?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，做出它的圖像可知 源:] 由圖可知，若關(guān)于的方程有解，則，且對(duì) 恒成立. 【思路點(diǎn)撥】利用數(shù)形結(jié)合方法，我們可以逐一進(jìn)行分析判斷即可. 三、解答題（本大題共6小題, 滿分75分） 16、(本題滿分12分) 設(shè)是單位圓和軸正半軸的交點(diǎn)，，是單位圓上兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且， , . （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)是 其中，求的值. （2）設(shè), 函數(shù)，求的值域． 【知識(shí)點(diǎn)】單位圓與三角函數(shù)的定義.C1 【答案解析】(1)=.(2) 的值域是 解析： 解：（1）由， . …..3分 所以=. …..6分 （2）由已知有, …..8分 因?yàn)?，則，所以. 故的值域是. …..12分 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)單位圓的性質(zhì)可求出三角函數(shù)值，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出值域. 17、(本題滿分12分) 已知函數(shù)滿足，對(duì)任意都有，且． （1）求函數(shù)的解析式. （2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上為減函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由． 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)解析式.B1,B7 【答案解析】(1)(2) 解析：解：（1）由滿足，對(duì)任意都有，且，所以函數(shù)的圖像對(duì)稱軸為直線，任意都有即對(duì)任意成立， (2)由（1）知，其定義域?yàn)镽令要使函數(shù)在上為減函數(shù)，只需要函數(shù)在上為增函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，有，解得，故存在實(shí)數(shù)a,當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù) 【思路點(diǎn)撥】由已知條件可求出函數(shù)，再由復(fù)合函數(shù)的關(guān)系可證明函數(shù)的單調(diào)性. 18、(本題滿分12分) 如圖，已知在直四棱柱（側(cè)棱垂直底面的棱柱）中，，，． （1）求證：平面. （2）求與平面所成的角的的正弦值． 【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直；直線與平面所成角.G4,G5 【答案解析】D 解析： 解法一： （1）設(shè)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則四邊形 為正方形， ．故，，， ，即．……….. 2分 又， ……..3分 E B C D A F M H 平面， …….5分 （2）由（1）知平面， 又平面，， 取的中點(diǎn), 連結(jié)，又， 則． 取的中點(diǎn)，連結(jié)，則, .平面， 則過(guò)向平面引垂線,垂足必落在上 為直線與平面所成的角……8分 連結(jié)，在中，，， 取的中點(diǎn)，連結(jié)，， 在中，，，． ………..10分 ． 與平面所成的角的的正弦值為． ………..12分 解法二： （1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，， ,. ….. 2分 , …..3分 又因?yàn)? 所以，平面. ………..5分 （2）設(shè)為平面的一個(gè)法向量． 由，， 得 取，則． ……….8分 又 …….9分 設(shè)與平面所成的角為，則, 即與平面所成的角的的正弦值． ………..12分 【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的關(guān)系可直接求出結(jié)果. 19、(本題滿分13分) 如圖所示,一座小島距離海岸線上最近的點(diǎn)的距離是，從點(diǎn)沿海岸正東處有一個(gè)城鎮(zhèn)。假設(shè)一個(gè)人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度是，用（單位：）表示他從小島到城鎮(zhèn)的時(shí)間，（單位：）表示此人將船停在海岸處距點(diǎn)的距離。 （1）請(qǐng)將表示為的函數(shù). （2）將船停在海岸處距點(diǎn)多遠(yuǎn)時(shí)從小島到城鎮(zhèn)所花時(shí)間最短？最短時(shí)間是多少? 解： 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值.B3,B10 【答案解析】(1) (2) 時(shí),最小,且最短時(shí)間為.解析：解： （1） ………5分 （2） ………7分 , 令得. ………9分 當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增. ……11分 故當(dāng)時(shí),最小,且最短時(shí)間為. ………13分 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意列出關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值. 20、(本題滿分13分) （1）用導(dǎo)數(shù)證明: 若,則. （2）若對(duì)恒成立，求的最大值與的最小值． 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與不等式;函數(shù)的最值.B3,B11 【答案解析】D 解析： 解：（1）設(shè)f(x) = x - sinx，g(x) = tanx - x，x∈(0，π/2) f(x) = 1 - cosx > 0 g(x) = (1/cosx) - 1 > 0 由 于f(x)和g(x)在(0，π/2)上都是單調(diào)遞增函數(shù) 所以f(x) > f(0) = 0，g(x) > g(0) = 0 ==> x - sinx > 0 ， tanx - x > 0 => x > sinx ，tanx > x ∴sinx < x < tanx，x∈(0，π/2) ………6分 （2）當(dāng)x>0時(shí)，“>a”等價(jià)于“sin x－ax>0”，“0對(duì)任意x∈恒成立． 當(dāng)c≥1時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意x∈，g′(x)＝cos x－c<0，所以g(x)在區(qū)間上單 調(diào)遞減，從而g(x)g(0)＝0. 于是“g(x)>0對(duì)任意x∈恒 成立”當(dāng)且僅當(dāng)g＝1－c≥0，即00對(duì)任意x∈恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)c≥1時(shí)，g(x)<0 對(duì)任意x∈恒成立． 所以，若對(duì)任意恒成立，則的最大值為，的最小值為1. 【思路點(diǎn)撥】利用比較法找出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值證明值的大小及不等關(guān)系，利用函數(shù)性質(zhì)對(duì)不等關(guān)系進(jìn)行證明. 21. （本小題滿分13分) 已知函數(shù) 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． （1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并求出極值. （2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：． 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)證明不等式.B3,B11 【答案解析】略 解析： 解：（1）因?yàn)閒 ′(x)＝－m＝． …1分 ①當(dāng)m≤0時(shí)， f ′(x)＞0，所以函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞增，此時(shí)f (x)無(wú)極值. …2分 ②當(dāng)時(shí)，令f ′(x)＝0，得. 若，即時(shí)，當(dāng)時(shí), f ′(x)<0，函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞 減，此時(shí)f (x)無(wú)極值； ……………………4分 若,即時(shí),由函數(shù)的圖像可知函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞 增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)f (x)有極大值為, 無(wú)極小值。 ………………………6分 綜上，當(dāng)m≤0時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞增，f (x)無(wú)極值. 當(dāng)時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)f (x)有極 大值為,無(wú)極小值. 當(dāng)時(shí)，f (x)在上單調(diào)遞減，f (x)無(wú)極值． ……………7分 （2）不妨設(shè)x1＞x2＞0．因?yàn)閒 (x1)＝f (x2)＝0，所以lnx1－mx1＝0，lnx2－mx2＝0， 可得lnx1＋lnx2＝m(x1＋x2)，lnx1－lnx2＝m(x1－x2)． 要證x1x2e2，即證lnx1＋lnx22，也就是m(x1＋x2)2． 因?yàn)閙＝，所以即證，即ln．………10分 令＝t，則t＞1，于是lnt ． 令j(t)＝lnt－（t＞1），則j ′(t)＝－＝＞0． 故函數(shù)j(t)在（1，＋∞）上是增函數(shù)，所以j(t)＞j(1)＝0，即lnt＞成立． 所以原不等式成立． ……………………13分 【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，找出適合的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.