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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 第九章 第3講 圓的方程 文 新人教A版
一、選擇題
1．已知點A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是 ( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
解析 AB的中點坐標為(0,0)，
|AB|＝＝2，
∴圓的方程為x2＋y2＝2.
答案 A
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是 ( )
A．(－∞，－2)∪ B．
C．(－2,0) D．
解析 方程為2＋(y＋a)2＝1－a－表示圓，則1－a－＞0，解得－2＜a＜.
答案 D
3．(xx福州質檢)設圓的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
0，
即>，所以原點在圓外．
答案 B
4．圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的方程為 ( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析 設圓心坐標為(0，b)，則由題意知
＝1，解得b＝2，
故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.
答案 A
5．(xx東營模擬)點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 設圓上任一點為Q(x0，y0)，PQ的中點為M(x，y)，則解得因為點Q在圓x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化簡得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案 A
二、填空題
6．若圓x2＋y2－2x－4y＝0的圓心到直線x－y＋a＝0的距離為，則a的值為________．
解析 圓x2＋y2－2x－4y＝0的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5，
則圓心(1,2)到直線x－y＋a＝0的距離為＝，
解得a＝0或2.
答案 0或2
7．已知點M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是________．
解析 過點M的最短弦與CM垂直，圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案 x＋y－1＝0
8．(xx南京調研)已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，則圓C上各點到l的距離的最小值為______．
解析 由題意得C上各點到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去半徑，即－＝.
答案
三、解答題
9．一圓經過A(4,2)，B(－1,3)兩點，且在兩坐標軸上的四個截距的和為2，求此圓的方程．
解 設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.
由題意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①
又因為圓過點A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
解①②③組成的方程組得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12.
故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0.
10．已知圓C和直線x－6y－10＝0相切于點(4，－1)，且經過點(9,6)，求圓C的方程．
解 因為圓C和直線x－6y－10＝0相切于點(4，－1)，
所以過點(4，－1)的直徑所在直線的斜率為－＝－6，
其方程為y＋1＝－6(x－4)，即6x＋y－23＝0.
又因為圓心在以(4，－1)，(9,6)兩點為端點的線段的中垂線y－＝－，
即5x＋7y－50＝0上，
由解得圓心為(3,5)，
所以半徑為＝，
故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－5)2＝37.
能力提升題組
(建議用時：25分鐘)
11．已知圓心(a，b)(a＜0，b＜0)在直線y＝2x＋1上的圓，其圓心到x軸的距離恰好等于圓的半徑，在y軸上截得的弦長為2，則圓的方程為 ( )
A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝9
B．(x＋3)2＋(y＋5)2＝25
C．(x＋6)2＋2＝
D.2＋2＝
解析 由圓心到x軸的距離恰好等于圓的半徑知，所求圓與x軸相切，由題意得圓的半徑為|b|，則圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝b2.由圓心在直線y＝2x＋1上，得b＝2a＋1?、?，由此圓在y軸上截得的弦長為2，得b2－a2＝5?、冢散佗诘没?舍去)．所以所求圓的方程為(x＋2)2＋(y＋3)2＝9.故選A.
答案 A
12．已知圓C的圓心在曲線y＝上，圓C過坐標原點O，且分別與x軸、y軸交于A，B兩點，則△OAB的面積等于 ( )
A．2 B．3
C．4 D．8
解析 設圓心的坐標是.∵圓C過坐標原點，∴|OC|2＝t2＋，∴圓C的方程為(x－t)2＋2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，∴B點的坐標為；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，∴A點的坐標為(2t,0)，∴S△OAB＝|OA||OB|＝|||2t|＝4，即△OAB的面積為4.
答案 C
13．若圓x2＋(y－1)2＝1上任意一點(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析 據題意圓x2＋(y－1)2＝1上所有的點都在直線x＋y＋m＝0的右上方，所以有
解得m≥－1.故m的取值范圍是[－1，＋∞)．
答案 [－1，＋∞)
14．在平面直角坐標系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2，在y軸上截得線段長為2.
(1)求圓心P的軌跡方程；
(2)若P點到直線y＝x的距離為，求圓P的方程．
解 (1)設P(x，y)，圓P的半徑為r.
由題設y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，從而y2＋2＝x2＋3.
故P點的軌跡方程為y2－x2＝1.
(2)設P(x0，y0)，由已知得＝.
又P在雙曲線y2－x2＝1上，從而得
由得此時，圓P的半徑r＝.
由得此時，圓P的半徑r＝.
故圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
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