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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題5 第2講 圓錐曲線素能訓(xùn)練(文、理)
一、選擇題
1.已知方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A.(,2) B.(1,+∞)
C.(1,2) D.(,1)
[答案] C
[解析] 由題意可得,2k-1>2-k>0,
即解得1
0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作實(shí)軸的垂線,交雙曲線于A、B兩點(diǎn),若線段AB的長(zhǎng)度恰等于焦距,則雙曲線的離心率為( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 依題意得=2c,c2-ac-a2=0,即e2-e-1=0,(e-)2=,又e>1,因此e-=,e=,故選A.
(理)(xx新課標(biāo)Ⅰ理,4)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,則C的漸近線方程為( )
A.y=x B.y=x
C.y=x D.y=x
[答案] C
[解析] e== ∴=
∴b2=a2-a2=
∴=,即漸近線方程為y=x.
3.(文)(xx湛江測(cè)試)從拋物線y2=8x上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,且|PM|=5,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則△PFM的面積為( )
A.5 B.6
C.10 D.5
[答案] A
[解析] 拋物線的焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2.設(shè)P(m,n),則|PM|=m+2=5,解得m=3.代入拋物線方程得n2=24,故|n|=2,則S△PFM=|PM||n|=52=5.
(理)(xx德州模擬)設(shè)F1、F2分別是橢圓E:x2+=1(00,b>0)的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn),若的最小值為9a,則雙曲線的離心率為( )
A.2 B.5
C.3 D.2或5
[答案] B
[解析] 由雙曲線定義得|PF2|=2a+|PF1|,
∴==|PF1|++4a,其中|PF1|≥c-a.當(dāng)c-a≤2a時(shí),y=x+在[c-a,+∞)上為減函數(shù),沒(méi)有最小值,故c-a>2a,即c>3a?e>3,y=x+在[c-a,+∞)上為增函數(shù),故f(x)min=f(c-a)=c-a++4a=9a,化簡(jiǎn)得10a2-7ac+c2=0,兩邊同除以a2可得e2-7a+10=0,解得e=5或e=2(舍去).
6.(xx新鄉(xiāng)、許昌、平頂山二調(diào))若雙曲線-=1(a>0,b>0)和橢圓+=1(m>n>0)有共同的焦點(diǎn)F1、F2,P是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn),則|PF1||PF2| ( )
A.m2-a2 B.-
C.(m-a) D. (m-a)
[答案] D
[解析] 不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點(diǎn),P在雙曲線的右支上,由題意得|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=+,|PF2|=-,故|PF1||PF2|=m-a.
二、填空題
7.(xx安徽理,13)已知直線y=a交拋物線y=x2于A、B兩點(diǎn),若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得∠ACB為直角,則a的取值范圍為_(kāi)_______.
[答案] a≥1
[解析] 顯然a>0,不妨設(shè)A(,a),B(-,a),C(x0,x),則=(--x0,a-x),
=(-x0,a-x),∵∠ACB=90.
∴=(-x0,a-x)(--x0,a-x)=0.
∴x-a+(a-x)2=0,則x-a≠0.
∴(a-x)(a-x-1)=0,∴a-x-1=0.
∴x=a-1,又x≥0.
∴a≥1.
8.(xx長(zhǎng)沙市模擬)設(shè)點(diǎn)P是雙曲線-=1(a>0,b>0)與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點(diǎn),其中F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.
[答案]
[解析] 設(shè)|PF2|=m,則|PF1|=2m,|F1F2|==m,因此雙曲線的離心率為=.
9.(xx湖南理,15)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a、b(a0)經(jīng)過(guò)C、F兩點(diǎn),則=________.
[答案]?。?
[解析] 由題可得C(,-a),F(xiàn)(+b,b),
∵C、F在拋物線y2=2px上,∴
∴=+1,故填+1.
三、解答題
10.(文)(xx廈門(mén)質(zhì)檢)已知雙曲線的方程是16x2-9y2=144.
(1)求這雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程;
(2)設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上,且|PF1||PF2|=32,求∠F1PF2的大?。?
[解析] (1)由16x2-9y2=144得-=1,
∴a=3,b=4,c=5,
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),離心率e=,漸近線方程為y=x.
(2)由(1)知||PF1|-|PF2||=6,
cos∠F1PF2=
=
==0,
∵∠F1PF2∈(0,180),∴∠F1PF2=90.
(理)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,并且直線y=x+b是拋物線y2=4x的一條切線.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)S(0,-)的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問(wèn):在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T?若存在,求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
[解析] (1)由消去y得x2+(2b-4)x+b2=0,
因?yàn)橹本€y=x+b與拋物線y2=4x相切,
所以Δ=(2b-4)2-4b2=0,解得b=1.
因?yàn)閑==,∴==,∴a2=2.
故所求橢圓方程為+y2=1.
(2)當(dāng)l與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為
x2+(y+)2=()2.
當(dāng)l與y軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=1.
由解得
即兩圓相切于點(diǎn)(0,1),
因此,所求的點(diǎn)T如果存在,只能是(0,1).
事實(shí)上,點(diǎn)T(0,1)就是所求的點(diǎn),證明如下:
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T(0,1).
若直線l不垂直于x軸,可設(shè)直線l的方程為y=kx-,
由消去y得(18k2+9)x2-12kx-16=0.
設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
則
又因?yàn)椋?x1,y1-1),=(x2,y2-1),
所以=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+(kx1-)(kx2-)
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+
=(1+k2)-k+=0,
所以TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T(0,1),
所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(0,1)滿足條件.
一、選擇題
11.(文)(xx唐山市一模)雙曲線x2-y2=4左支上一點(diǎn)P(a,b)到直線y=x的距離為, 則a+b= ( )
A.-2 B.2
C.-4 D.4
[答案] A
[解析] 解法1:如圖,雙曲線-=1的左頂點(diǎn)(-2,0)到直線y=x的距離為,又∵點(diǎn)(a,b)為雙曲線左支上的點(diǎn),∴a=-2,b=0,∴a+b=-2.
解法2:由題意得∴a+b=-2.
(理)已知點(diǎn)F是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),△ABE是直角三角形,則該雙曲線的離心率是( )
A.3 B.2
C. D.
[答案] B
[解析] 因?yàn)锳B⊥x軸,又已知△ABE是直角三角形,且顯然AE=BE,所以△ABE是等腰直角三角形.所以∠AEB=90.所以∠AEF=45.所以AF=EF.易知A(-c,)(不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方),
故=a+c.即b2=a(a+c).得c2-ax-2a2=0,
即e2-e-2=0,解得e=2,或e=-1(舍去).故選B.
12.直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn),且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3,則線段AB的長(zhǎng)為( )
A.5 B.6
C.7 D.8
[答案] D
[解析] 焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)l:x=my+1,代入y2=4x中得,y2-4my-4=0,∴y1+y2=4m,∵AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3,∴x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2=6,∴m=1,當(dāng)m=1時(shí),l:y=x-1,代入y2=4x中得x2-6x+1=0,∴x1=3-2,x2=3+2,∴|AB|=|x1-x2|=8,由對(duì)稱(chēng)性知m=-1時(shí),結(jié)論相同.
13.(文)已知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,且它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10,雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2).則該橢圓的離心率的取值范圍是( )
A.(,) B.(,)
C.(,) D.(,1)
[答案] C
[解析] 設(shè)橢圓的半焦距為c,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,由橢圓的定義及題意知,|PF1|=2a-|PF2|=2a-2c=10,得到a-c-5=0,因?yàn)殡p曲線的離心率的取值范圍為(1,2),所以1<<2,∴0,x2>0,
∴|FA|=x1+2,|FB|=x2+2,∴x1+2=2x2+4,
∴x1=2x2+2.
由,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
∴x1x2=4,x1+x2==-4.
由,得x+x2-2=0,∴x2=1,∴x1=4,
∴-4=5,∴k2=,k=.
(理)(xx唐山市二模)已知橢圓C1:+=1(a>b>0)與圓C2:x2+y2=b2,若在橢圓C1上存在點(diǎn)P,使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂直,則橢圓C1的離心率的取值范圍是( )
A.[,1) B.[,]
C.[,1) D.[,1)
[答案] C
[解析] 如圖,設(shè)切點(diǎn)為A、B,則OA⊥PA,OB⊥PB,∵∠APB=90,連結(jié)OP,則∠APO=45,∴AO=PA=b,OP=b,∴a≥b,∴a2≤2c2,∴≥,∴e≥,又∵e<1,∴≤e<1.
二、填空題
15.(xx安徽理,14)若F1、F2分別是橢圓E:x2+=1(00)的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn).
(1)若線段AB的垂直平分線交x軸于N(x0,0),求證:x0>3p;
(2)若直線l的斜率分別為p,p2,p3,…時(shí),相應(yīng)線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)依次為N1,N2,N3,…,當(dāng)00,得0p+2p=3p,∴x0>3p.
(2)∵l的斜率分別為p,p2,p3,…時(shí),對(duì)應(yīng)線段AB的中垂線與x軸交點(diǎn)依次為N1,N2,N3,…(0b>0)的上、下頂點(diǎn)分別為A、B,已知點(diǎn)B在直線l:y=-1上,且橢圓的離心率e=.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn),PQ⊥y軸,Q為垂足,M為線段PQ的中點(diǎn),直線AM交直線l于點(diǎn)C,N為線段BC的中點(diǎn),求證:OM⊥MN.
[解析] (1)依題意,得b=1.
∵e==,a2-c2=b2=1,∴a2=4.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)證明:設(shè)P(x0,y0),x0≠0,則Q(0,y0),且+y=1.
∵M(jìn)為線段PQ中點(diǎn),∴M(,y0).
又A(0,1),∴直線AM的方程為y=x+1.
∵x0≠0,∴y0≠1,令y=-1,得C(,-1).
又B(0,-1),N為線段BC的中點(diǎn),
∴N(,-1).
∴=(-,y0+1).
∴=(-)+y0(y0+1)
=-+y+y0
=(+y)-+y0=1-(1+y0)+y0=0,
∴OM⊥MN.
(理)已知橢圓C:+y2=1(a>1)的上頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,直線AF與圓M:(x-3)2+(y-1)2=3相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),且=0.求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
[解析] (1)A(0,1),F(xiàn)(,0),
直線AF:+y=1,
即x+y-=0,
∵AF與⊙M相切,圓心M(3,1),半徑r=,
∴=,∴a=,
∴橢圓的方程為+y2=1.
(2)由=0知AP⊥AQ,從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為y=-x+1,
將y=kx+1代入橢圓C的方程,
整理得(1+3k2)x2+6kx=0,
解得x=0或x=,
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).
同理,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,).
所以直線l的斜率為=.
則直線l的方程為y=(x-)+,
即y=x-.
所以直線l過(guò)定點(diǎn)(0,-).
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