2019春九年級數(shù)學下冊 第二十八章 銳角三角函數(shù) 28.2 解直角三角形及其應用 28.2.1 解直角三角形教案 新人教版.doc

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28．2．1 解直角三角形 1．理解解直角三角形的意義和條件；(重點) 2．根據(jù)元素間的關系，選擇適當?shù)年P系式，求出所有未知元素．(難點) 一、情境導入 世界遺產(chǎn)意大利比薩斜塔在1350年落成時就已傾斜．設塔頂中心點為B, 塔身中心線與垂直中心線夾角為∠A，過點B向垂直中心線引垂線，垂足為點C.在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度數(shù)． 在上述的Rt△ABC中，你還能求其他未知的邊和角嗎？ 二、合作探究 探究點一：解直角三角形 【類型一】 利用解直角三角形求邊或角 已知在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，按下列條件解直角三角形． (1)若a＝36，∠B＝30，求∠A的度數(shù)和邊b、c的長； (2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度數(shù)和邊c的長． 解析：(1)已知直角邊和一個銳角，解直角三角形；(2)已知兩條直角邊，解直角三角形． 解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30，a＝36，∴∠A＝90－∠B＝60，∵cosB＝，即c＝＝＝24，∴b＝sinBc＝24＝12； (2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴tanA＝＝，∴∠A＝30，∴∠B＝60，∴c＝2a＝12. 方法總結：解直角三角形時應求出所有未知元素，解題時盡可能地選擇包含所求元素與兩個已知元素的關系式求解． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練” 第4題 【類型二】 構造直角三角形解決長度問題 一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90，∠E＝30，∠A＝45，AC＝12，試求CD的長． 解析：過點B作BM⊥FD于點M，求出BM與CM的長度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60，利用解直角三角形解答即可． 解：過點B作BM⊥FD于點M，在△ACB中，∠ACB＝90，∠A＝45，AC＝12，∴BC＝AC＝12.∵AB∥CF，∴BM＝sin45BC＝12＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90，∠E＝30，∴∠EDF＝60，∴MD＝＝4，∴CD＝CM－MD＝12－4. 方法總結：解答此類題目的關鍵是根據(jù)題意構造直角三角形，然后利用所學的三角函數(shù)的關系進行解答． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升” 第4題 【類型三】 運用解直角三角形解決面積問題 如圖，在△ABC中，已知∠C＝90，sinA＝，D為邊AC上一點，∠BDC＝45，DC＝6.求△ABC的面積． 解析：首先利用正弦的定義設BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，從而求得AB的長，然后利用勾股定理求得AC的長，再進一步求解． 解：∵∠C＝90，∴在Rt△ABC中，sinA＝＝，設BC＝3k，則AB＝7k(k＞0)，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90，∴∠BDC＝45，∴∠CBD＝∠BDC＝45，∴BC＝CD＝3k＝6，∴k＝2，∴AB＝14.在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∴S△ABC＝ACBC＝46＝12.所以△ABC的面積是12. 方法總結：若已知條件中有線段的比或可利用的三角函數(shù)，可設出一個輔助未知數(shù)，列方程解答． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第7題 探究點二：解直角三角形的綜合 【類型一】 解直角三角形與等腰三角形的綜合 已知等腰三角形的底邊長為，周長為2＋，求底角的度數(shù)． 解析：先求腰長，作底邊上的高，利用等腰三角形的性質(zhì)，求得底角的余弦，即可求得底角的度數(shù)． 解：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝，∵周長為2＋，∴AB＝AC＝1.過A作AD⊥BC于點D，則BD＝，在Rt△ABD中，cos∠ABD＝＝，∴∠ABD＝45，即等腰三角形的底角為45. 方法總結：求角的度數(shù)時，可考慮利用特殊角的三角函數(shù)值． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第2題 【類型二】 解直角三角形與圓的綜合 已知：如圖，Rt△AOB中，∠O＝90，以OA為半徑作⊙O，BC切⊙O于點C，連接AC交OB于點P. (1)求證：BP＝BC； (2)若sin∠PAO＝，且PC＝7，求⊙O的半徑． 解析：(1)連接OC，由切線的性質(zhì)，可得∠OCB＝90，由OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，再由∠AOB＝90，可得出所要求證的結論；(2)延長AO交⊙O于點E，連接CE，在Rt△AOP和Rt△ACE中，根據(jù)三角函數(shù)和勾股定理，列方程解答． 解：(1)連接OC，∵BC是⊙O的切線，∴∠OCB＝90，∴∠OCA＋∠BCA＝90.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90，∵∠BOA＝90，∴∠OAC＋∠APO＝90，∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP； (2)延長AO交⊙O于點E，連接CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO＝，設OP＝x，AP＝3x，∴AO＝2x.∵AO＝OE，∴OE＝2x，∴AE＝4x.∵sin∠PAO＝，∴在Rt△ACE中＝，∴＝，∴＝，解得x＝3，∴AO＝2x＝6，即⊙O的半徑為6. 方法總結：本題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識，解決問題的關鍵是根據(jù)三角函數(shù)的定義結合勾股定理列出方程． 變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第9題 三、板書設計 1．解直角三角形的基本類型及其解法； 2．解直角三角形的綜合． 本節(jié)課的設計，力求體現(xiàn)新課程理念．給學生自主探索的時間和寬松和諧的氛圍，讓學生學得更主動、更輕松，力求在探索知識的過程中，培養(yǎng)探索能力、創(chuàng)新精神和合作精神，激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性和主動性.