2019高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程 3.1 直線的傾斜角與斜率（第2課時(shí)）兩條直線平行與垂直的判定講義（含解析）新人教A版必修2-.doc

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第2課時(shí)　兩條直線平行與垂直的判定 [核心必知] 1．預(yù)習(xí)教材，問(wèn)題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P86～P89，回答下列問(wèn)題： (1)觀察教材圖3.1－7，設(shè)對(duì)于兩條不重合的直線l1與l2，其傾斜角分別為α1與α2，斜率分別為k1、k2，若l1∥l2，α1與α2之間有什么關(guān)系？k1與k2之間有什么關(guān)系？ 提示：α1與α2之間的關(guān)系為α1＝α2；對(duì)于k1與k2之間的關(guān)系，當(dāng)α1＝α2≠90時(shí)，k1＝k2，因?yàn)棣?＝α2，所以tan_α1＝tan_α2，即k1＝k2.當(dāng)α1＝α2＝90時(shí)，k1、k2不存在． (2)觀察教材圖3.1－10，設(shè)直線l1與l2的傾斜角分別為α1與α2，斜率分別為k1、k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1與α2之間有什么關(guān)系？為什么？ 提示：α2＝α1＋90，因?yàn)槿切稳我庖煌饨堑扔诓幌噜弮蓛?nèi)角之和． 2．歸納總結(jié)，核心必記 (1)兩直線平行的判定 ①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有k1＝k2?l1∥l2. ②若直線l1和l2可能重合時(shí)，我們得到k1＝k2?l1∥l2或l1與l2重合． ③若直線l1和l2的斜率都不存在，且不重合時(shí)，得到l1∥l2. (2)兩直線垂直的判定 ①如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于－1，那么它們垂直，即l1⊥l2?k1k2＝－1. ②若兩條直線中的一條直線沒(méi)有斜率，另一條直線的斜率為0時(shí)，它們互相垂直． [問(wèn)題思考] (1)若兩條直線平行，斜率一定相等嗎？ 提示：不一定，垂直于x軸的兩條直線，雖然平行，但斜率不存在． (2)若兩條直線垂直，它們的斜率之積一定為－1嗎？ 提示：不一定，如果兩條直線l1，l2中的一條與x軸平行(或重合)，另一條與x軸垂直(也即與y軸平行或重合)，即兩條直線中一條的傾斜角為0，另一條的傾斜角為90，從而一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在，但這兩條直線互相垂直． [課前反思] 通過(guò)以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)． (1)怎樣判定兩條直線平行？ ?。? (2)怎樣判斷兩條直線垂直？ 　. [思考]　對(duì)兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意哪幾點(diǎn)？ 名師指津：對(duì)兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)： (1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②l1與l2不重合． (2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時(shí)，l1與l2的傾斜角都是90，則l1∥l2. (3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是： l1∥l2?k1＝k2或l1，l2斜率都不存在． 講一講 1．根據(jù)下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2的位置關(guān)系． (1)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，B(－3,5)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1的傾斜角為60，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,2)，N(－2，－3)． [嘗試解答]　(1)由題意知k1＝＝－，k2＝＝－. 因?yàn)閗1＝k2，且A，B，C，D四點(diǎn)不共線，所以l1∥l2. (2)由題意知k1＝tan 60＝，k2＝＝. 因?yàn)閗1＝k2，所以l1∥l2或l1與l2重合． 判斷兩條直線是否平行的步驟 練一練 1．試確定m的值，使過(guò)點(diǎn)A(m＋1,0)，B(－5，m)的直線與過(guò)點(diǎn)C(－4,3)，D(0,5)的直線平行． 解：由題意直線CD的斜率存在，則與其平行的直線AB的斜率也存在．kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，得m＝－2.經(jīng)驗(yàn)證m＝－2時(shí)直線AB的斜率存在，所以m＝－2. [思考]　對(duì)兩直線垂直與斜率的關(guān)系應(yīng)注意什么？ 名師指津：對(duì)兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)： (1)l1⊥l2?k1k2＝－1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0. (2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直． (3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：l1⊥l2?k1k2＝－1或一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零． 講一講 2．已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，a)，B(a－2，－3)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值． [嘗試解答]　設(shè)直線l1，l2的斜率分別為k1，k2. ∵直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1， ∴l(xiāng)2的斜率存在． 當(dāng)k2＝0時(shí)，a－2＝3，則a＝5，此時(shí)k1不存在，符合題意．當(dāng)k2≠0時(shí)，即a≠5，此時(shí)k1≠0， 由k1k2＝－1，得＝－1，解得a＝－6. 綜上可知，a的值為5或－6. 利用斜率公式來(lái)判定兩直線垂直的方法 (1)一看：就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在只需看另一條直線的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否相等，若相等，則垂直，若不相等，則進(jìn)行第二步． (2)二代：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式． (3)三求：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷．尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論． 練一練 2．已知定點(diǎn)A(－1,3)，B(4,2)，以A、B為直徑作圓，與x軸有交點(diǎn)C，則交點(diǎn)C的坐標(biāo)是__________． 解析：以線段AB為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)為C，則AC⊥BC.設(shè)C(x,0)，則kAC＝，kBC＝， 所以＝－1，得x＝1或2， 所以C(1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0) 　 講一講 3．已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四點(diǎn)，若順次連接A，B，C，D四點(diǎn)，試判定圖形ABCD的形狀．(鏈接教材P89—例6) [思路點(diǎn)撥]　畫出圖形，通過(guò)求四條邊所在直線的斜率，分析它們之間的關(guān)系判斷圖形形狀． [嘗試解答]　由題意知A，B，C，D四點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置，如圖所示， 由斜率公式可得kAB＝＝， kCD＝＝，kAD＝＝－3， kBC＝＝－. 所以kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合， 所以AB∥CD.由kAD≠kBC， 所以AD與BC不平行． 又因?yàn)閗ABkAD＝(－3)＝－1， 所以AB⊥AD， 故四邊形ABCD為直角梯形． 利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟 練一練 3．已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)，使四邊形ABCD為直角梯形(A，B，C，D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?． 解：設(shè)所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，如圖，由于kAB＝3，kBC＝0， ∴kABkBC＝0≠－1， 即AB與BC不垂直， 故AB，BC都不可作為直角梯形的直角腰． 若AD是直角梯形的直角腰， 則AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝，kCD＝， 由于AD⊥AB，∴3＝－1.① 又AB∥CD，∴＝3.② 解①②兩式可得此時(shí)AD與BC不平行． 若DC為直角梯形的直角腰， 則DC⊥BC，且AD∥BC. ∵kBC＝0， ∴DC的斜率不存在． 故x＝3，又AD∥BC，則y＝3. 故D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)． 綜上可知，使四邊形ABCD為直角梯形的點(diǎn)D的坐標(biāo)可以為(3,3)或. ——————————[課堂歸納感悟提升]————————————— 1．本節(jié)課的重點(diǎn)是理解兩條直線平行或垂直的判定條件，會(huì)利用斜率判斷兩條直線平行或垂直，難點(diǎn)是利用斜率判斷兩條直線平行或垂直． 2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)判斷兩條直線平行的步驟，見(jiàn)講1. (2)利用斜率公式判斷兩條直線垂直的方法，見(jiàn)講2. (3)判斷圖形形狀的方法步驟，見(jiàn)講3. 3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是利用斜率判斷含字母參數(shù)的兩直線平行或垂直時(shí)，對(duì)字母分類討論，如講2. 課下能力提升(十六) [學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練] 題組1　兩條直線平行的判定及應(yīng)用 1．若l1與l2為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是α1、α2，斜率分別為k1、k2，有下列命題： ①若l1∥l2，則斜率k1＝k2； ②若k1＝k2，則l1∥l2； ③若l1∥l2，則傾斜角α1＝α2； ④若α1＝α2，則l1∥l2. 其中真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：選C　①錯(cuò)，兩直線不一定有斜率． 2．已知過(guò)A(－2，m)和B(m,4)的直線與斜率為－2的直線平行，則m的值是(　　) A．－8 B．0 C．2 D．10 解析：選A　由題意可知，kAB＝＝－2，所以m＝－8. 3．過(guò)點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(－2,3)的直線與直線y＝0的位置關(guān)系為_(kāi)_______． 解析：∵直線y＝0的斜率為k1＝0，過(guò)A(1,3)，B(－2,3)的直線的斜率k2＝＝0, ∴兩條直線平行． 答案：平行 4．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，則直線EF的斜率為_(kāi)_______． 解析：∵E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AB. ∴kEF＝kAB＝＝－2. 答案：－2 題組2　兩條直線垂直的判定及應(yīng)用 5．(2016淄博高一檢測(cè))直線l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的兩根，則l1與l2的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 解析：選D　設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1k2＝－1. 6．若不同兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為(a，b)，(3－b,3－a)，則線段PQ的垂直平分線的斜率為_(kāi)_______． 解析：由兩點(diǎn)的斜率公式可得：kPQ＝＝1，所以線段PQ的垂直平分線的斜率為－1. 答案：－1 7．已知直線l1⊥l2，若直線l1的傾斜角為30，則直線l2的斜率為_(kāi)_______． 解析：由題意可知直線l1的斜率k1＝tan 30＝， 設(shè)直線l2的斜率為k2，則k1k2＝－1，∴k2＝－. 答案：－ 題組3　兩條直線平行與垂直的綜合應(yīng)用 8．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)為頂點(diǎn)的三角形是(　　) A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形 D．以B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形 解析：選C　kAB＝＝－，kAC＝＝， ∵kABkAC＝－1，∴AB⊥AC， ∴△ABC是以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形． 9．已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，a)，B(a－1,2)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1,2)，D(－2，a＋2)． (1)若l1∥l2，求a的值． (2)若l1⊥l2，求a的值． 解：設(shè)直線l2的斜率為k2， 則k2＝＝－. (1)若l1∥l2，則直線l1的斜率為k1＝，所以＝－，解得a＝1或a＝6， 經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a＝1或a＝6時(shí)，l1∥l2. (2)若l1⊥l2，①當(dāng)k2＝0時(shí)，此時(shí)a＝0，k1＝－，不符合題意；②當(dāng)k2≠0時(shí)，l1的斜率存在，k1＝， 由k1k2＝－1得到＝－1， 解得a＝3或a＝－4. 10．已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，點(diǎn)D滿足AB⊥CD，且AD∥BC，試求點(diǎn)D的坐標(biāo)． 解：設(shè)D(x，y)，則kAB＝＝1，kBC＝＝－，kCD＝，kDA＝. 因?yàn)锳B⊥CD，AD∥BC， 所以kABkCD＝－1，kDA＝kBC，即 解得即D(10，－6)． [能力提升綜合練] 1．下列說(shuō)法正確的有(　　) ①若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行； ②若l1∥l2，則k1＝k2； ③若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直； ④若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：選A　若k1＝k2，則這兩條直線平行或重合，所以①錯(cuò)；當(dāng)兩條直線垂直于x軸時(shí)，兩條直線平行，但斜率不存在，所以②錯(cuò)；若兩直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，才有這兩條直線垂直，所以③錯(cuò)；④正確． 2．已知點(diǎn)A(－2，－5)，B(6,6)，點(diǎn)P在y軸上，且∠APB＝90，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A．(0，－6) B．(0,7) C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0) 解析：選C　由題意可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，y)．因?yàn)椤螦PB＝90，所以AP⊥BP，且直線AP與直線BP的斜率都存在．又kAP＝，kBP＝，kAPkBP＝－1，即＝－1，解得y＝－6或y＝7.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，－6)或(0,7)． 3．(2016邯鄲高一檢測(cè))若點(diǎn)P(a，b)與Q(b－1，a＋1)關(guān)于直線l對(duì)稱，則l的傾斜角為(　　) A．135 B．45 C．30 D．60 解析：選B　kPQ＝＝－1，kPQkl＝－1， ∴l(xiāng)的斜率為1，傾斜角為45. 4．已知點(diǎn)A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，則以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是(　　) A．梯形 B．平行四邊形 C．菱形 D．矩形 解析：選B　如圖所示，易知kAB＝－，kBC＝0，kCD＝－，kAD＝0.kBD＝－，kAC＝，所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kABkAD＝0，kACkBD＝－，故AD∥BC，AB∥CD，AB與AD不垂直，BD與AC不垂直．所以四邊形ABCD為平行四邊形． 5．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，給出下面四個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD.其中正確的是________．(把正確選項(xiàng)的序號(hào)填在橫線上) 解析：∵kAB＝－，kCD＝－，kAC＝，kBD＝－4， ∴AB∥CD，AC⊥BD. 答案：①④ 6．l1過(guò)點(diǎn)A(m,1)，B(－3,4)，l2過(guò)點(diǎn)C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，則m＝________. 解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，∴m＝0. 答案：0 7．直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m,1)，B(－3,4)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1，m)，D(－1，m＋1)，當(dāng)l1∥l2或l1⊥l2時(shí)，分別求實(shí)數(shù)m的值． 解：當(dāng)l1∥l2時(shí)，由于直線l2的斜率存在，則直線l1的斜率也存在，則kAB＝kCD，即＝，解得m＝3；當(dāng)l1⊥l2時(shí)，由于直線l2的斜率存在且不為0，則直線l1的斜率也存在，則kABkCD＝－1， 即＝－1，解得m＝－. 綜上，當(dāng)l1∥l2時(shí)，m的值為3； 當(dāng)l1⊥l2時(shí)，m的值為－. 8．已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三邊的高所在直線的斜率． 解：由斜率公式可得kAB＝＝，kBC＝＝0，kAC＝＝5. 由kBC＝0知直線BC∥x軸， ∴BC邊上的高線與x軸垂直，其斜率不存在． 設(shè)AB、AC邊上高線的斜率分別為k1、k2， 由k1kAB＝－1，k2kAC＝－1， 即k1＝－1，k25＝－1， 解得k1＝－，k2＝－. ∴BC邊上的高所在直線的斜率不存在； AB邊上的高所在直線的斜率為－； AC邊上的高所在直線的斜率為－.