2018-2019學年高中數學 第1章 計數原理 1.3 二項式定理 1.3.1 二項式定理學案 新人教B版選修2-3.docx

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1.3.1　二項式定理 課時目標1.掌握二項式定理，掌握通項公式.2.弄清二項式系數與展開式中某項系數的聯(lián)系和區(qū)別.3.能夠用二項式定理進行有關的計算和證明． 1．二項式定理 (1)二項展開式：(a＋b)n＝________________________________________，叫做二項式定理． (2)(a＋b)n的二項展開式共有________項，其中各項的系數________(r＝0,1,2，…，n)叫做展開式的二項式系數． 2．二項展開式的通項 (a＋b)n的二項展開式中的____________叫做二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝____________. 一、選擇題 1．(2x＋3y)8展開式的項數為(　　) A．8 B．9 C．10 D．7 2．1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC等于(　　) A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n 3．在(x2－)5的二項展開式中，含x4的項的系數是(　　) A．－10 B．10 C．－5 D．5 4．(－)10的展開式中含x的正整數指數冪的項數是(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 5．如果(3x2－)n的展開式中含有非零常數項，則正整數n的最小值為(　　) A．3 B．5 C．6 D．10 6．(1＋)6(1＋)10展開式的常數項為(　　) A．1 B．46 C．4 245 D．4 246 二、填空題 7．(－)6的展開式中，x3的系數為________． 8．已知(1＋kx2)6(k是正整數)的展開式中，x8的系數小于120，則k＝________. 9．(1＋x＋x2)(x－)6的展開式中的常數項為______． 三、解答題 10．求230－3除以7的余數． 11．已知(－)n(n∈N*)的展開式中第5項的系數與第3項的系數的比是10∶1， (1)證明展開式中沒有常數項； (2)求展開式中含x的項． 能力提升 12．若(x－)9的展開式中x3的系數是－84，則a＝________. 13．若(＋)n的展開式中前三項系數成等差數列，求：(1)展開式中含x的一次冪的項； (2)展開式中所有x的有理項． 1．通項公式Tr＋1＝Can－rbr(n∈N＋，r＝0,1,2，…，n)中含有a，b，n，r，Tr＋1五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素，在有關二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題(如判斷和計算二項展開式中的特殊項)． 2．運用二項式定理可以解決一些多項式化簡、整除問題、近似計算問題等． 1．3　二項式定理 1．3.1　二項式定理 答案 知識梳理 1．(1)Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)　(2)n＋1　C 2．Can－rbr　Can－rbr 作業(yè)設計 1．B 2．C　[1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC＝(1－2)n＝(－1)n.] 3．B　[∵(x2－)5的二項展開式的通項 Tr＋1＝C(x2)5－r(－)r＝C(－1)rx10－3r 令10－3r＝4，∴r＝2.∴x4的系數是C(－1)2＝10.] 4．B　[Tr＋1＝Cx(－)rx－r ＝C(－)rx. 若是正整數指數冪，則有為正整數， ∴r可以取0,2，∴項數為2.] 5．B　[因為Tr＋1＝C(3x2)n－r(－2x－3)r＝(－2)r3n－rCx2n－5r，則2n－5r＝0，即5r＝2n， 所以或….故n的最小值為5.] 6．D　[(1＋)6的展開式有7項，通項為Tr＋1＝C()r＝Cx(r＝0,1,2，…，6)； (1＋)10的展開式有11項，通項為Ts＋1＝C()s＝Cx－(s＝0,1,2，…，10)； (1＋)6(1＋)10的展開式有77項，通項為CxCx－＝CCx，由4r－3s＝0 得或或.故常數項為1＋CC＋CC＝4 246.] 7．15 解析　設含有x3項為第(r＋1)項，則Tr＋1＝C()6－r()r＝Cx6－ry(－y)rx－＝Cx6－r－y(－y)r， 令6－r－＝3，即r＝2， ∴T3＝Cx3y2＝Cx3，系數為C＝＝15. 8．1 解析　x8是(1＋kx2)6的展開式的第5項，x8的系數為Ck4＝15k4，由已知，得15k4<120，即k4<8，又k是正整數，故k＝1. 9．－5 解析　(1＋x＋x2)(x－)6 ＝(1＋x＋x2)[Cx6(－)0＋Cx5(－)1＋Cx4(－)2＋Cx3(－)3＋Cx2(－)4＋Cx(－)5＋Cx0(－)6]＝(1＋x＋x2)(x6－6x4＋15x2－20＋－＋)，所以常數項為1(－20)＋x2＝－5. 10．解　230－3＝(23)10－3＝810－3 ＝(7＋1)10－3 ＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3 ＝7(C79＋C78＋…＋C)－2 ＝7(C79＋C78＋…＋C)－7＋5. ∴余數為5. 11．(1)證明　由題意知第5項的系數為C(－2)4， 第3項的系數為C(－2)2， 則＝， 解得n＝8，或n＝－3(舍去)． 通項公式Tr＋1＝C()8－r(－)r ＝C(－2)rx. 若Tr＋1為常數項，當且僅當＝0，即5r＝8，且r∈N，這是不可能的，所以展開式中沒有常數項． (2)解　由(1)知，展開式中含x的項需＝， 則r＝1，故展開式中含x的項為T2＝－16x. 12．1 解析　由Tr＋1＝Cx9－r(－)r＝(－a)rCx9－2r，令9－2r＝3，則r＝3，即(－a)3C＝－84，解得a＝1. 13．解　由已知條件得：C＋C＝2C， 解得n＝8或n＝1(舍去)． (1)Tr＋1＝C()8－r()r＝C2－rx4－r， 令4－r＝1，得r＝4， ∴含x的一次冪的項為T4＋1＝C2－4x＝x. (2)令4－r∈Z(r≤8)，則只有當r＝0,4,8時，對應的項才是有理項，有理項分別為： T1＝x4，T5＝x，T9＝.