2018-2019高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程滾動訓(xùn)練（二）蘇教版選修1 -1.docx

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第2章 圓錐曲線與方程 滾動訓(xùn)練(二) 一、填空題 1.若雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為________. 考點(diǎn)　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求雙曲線焦點(diǎn) 答案　 解析　∵雙曲線方程可化為x2－＝1， ∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，c＝. 2.已知命題p：1≤x≤4，命題q：x2－4x＋3>0，則p是綈q的____________條件. 考點(diǎn)　充分條件、必要條件、充要條件的判斷 題點(diǎn)　邏輯聯(lián)結(jié)詞和充分條件、必要條件、充要條件的判斷 答案　必要不充分 解析　由x2－4x＋3>0，解得x<1或x>3，所以綈q：1≤x≤3，則綈q?p，但是p?綈q，所以p是綈q的必要不充分條件. 3.已知雙曲線C：－＝1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則雙曲線C的方程為________. 考點(diǎn)　雙曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線方程 答案?。? 解析　由已知可得雙曲線的焦距2c＝10，a2＋b2＝52＝25，又由一條漸近線方程為y＝x＝x，得＝，解得a2＝20，b2＝5. 4.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過點(diǎn)P(－5,4)，則橢圓的方程為________. 考點(diǎn)　橢圓的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求橢圓方程 答案?。? 解析　設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)， 將點(diǎn)(－5,4)代入得＋＝1. 又離心率e＝＝， 即e2＝＝＝， 解得a2＝45，b2＝36， 故橢圓的方程為＋＝1. 5.下列命題中： ①“?x∈R，x2－x＋1≤0”的否定； ②“若x2＋x－6≥0，則x>2”的否命題； ③命題“若x2－5x＋6＝0，則x＝2”的逆否命題. 其中真命題的個數(shù)是________. 考點(diǎn)　命題 題點(diǎn)　命題的否定、否命題、逆否命題 答案　2 解析　“?x∈R，x2－x＋1≤0”的否定為“?x∈R，x2－x＋1＝2＋>0”為真命題；“若x2＋x－6≥0，則x>2”的否命題為“若x2＋x－6<0?－30，b>0)和橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________. 考點(diǎn)　雙曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線方程 答案?。? 解析　橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，離心率e＝.由于雙曲線－＝1與橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，因此a2＋b2＝7. 又雙曲線的離心率e＝＝，所以＝， 所以a＝2，b2＝c2－a2＝3， 故雙曲線的方程為－＝1. 7.設(shè)直線x－3y＋m＝0(m≠0)與雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P(m,0)滿足PA＝PB，則該雙曲線的離心率是________. 考點(diǎn)　雙曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線離心率 答案　 解析　聯(lián)立直線方程x－3y＋m＝0與雙曲線漸近線方程y＝x可得交點(diǎn)坐標(biāo)為，，而kAB＝，由PA＝PB，可得AB的中點(diǎn)與點(diǎn)P連線的斜率為－3，即＝－3，化簡得4b2＝a2，所以e＝＝. 8.已知橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，A，B分別是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，若＝，則橢圓的離心率為________. 考點(diǎn)　橢圓的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求橢圓的離心率 答案　 解析　設(shè)M(x0，y0)，則N(x0，－y0). |k1k2|＝＝＝＝＝，可得3a2＝4c2，從而e＝＝. 9.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，則AP＋AF2的最小值為________. 考點(diǎn)　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 題點(diǎn)　求雙曲線方程中的最值問題 答案?。? 解析　由題意知，AP＋AF2＝AP＋AF1－2a，要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值，當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時，取得最小值，則AP＋AF1＝PF1＝， ∴AP＋AF2＝AP＋AF1－2a＝－2. 10.設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點(diǎn)，且滿足＝0，則＝________. 考點(diǎn)　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求圓錐曲線離心率 答案　2 解析　設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實(shí)半軸長為a2，F(xiàn)1F2＝2c，由題意得PF1＋PF2＝2a1，PF1－PF2＝2a2，所以PF＋PF＝2a＋2a. 又因?yàn)椋?，所以PF1⊥PF2. 所以PF＋PF＝F1F，即2a＋2a＝4c2. 所以2＋2＝2， 即＋＝2，即＝2. 二、解答題 11.已知雙曲線3x2－y2＝3，直線l過右焦點(diǎn)F2，且傾斜角為45，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，試問A，B兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上？并求弦AB的長. 考點(diǎn)　直線與雙曲線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與雙曲線的位置關(guān)系 解　雙曲線方程可化為－＝1， 故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2，∴F2(2,0)， ∵直線l的斜率k＝tan45＝1， ∴直線l的方程為y＝x－2， 代入雙曲線方程，得2x2＋4x－7＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1x2＝－<0， ∴A，B兩點(diǎn)不位于雙曲線的同一支上. ∵x1＋x2＝－2，x1x2＝－， ∴AB＝|x1－x2| ＝ ＝＝6. 12.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)P(4，－). (1)求雙曲線方程； (2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：＝0； (3)在(2)的條件下求△F1MF2的面積. 考點(diǎn)　雙曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　雙曲線中的焦點(diǎn)三角形 (1)解　∵e＝，∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ. ∵雙曲線過點(diǎn)P(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴雙曲線方程為－＝1. (2)證明　方法一　由(1)可知，雙曲線中a＝b＝， ∴c＝2. ∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝. kMF1kMF2＝＝－. ∵點(diǎn)(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3. 故kMF1kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2. ∴＝0. 方法二　∵＝(－2－3，－m)， ＝(2－3，－m)， ∴＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2. ∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0. ∴＝0. (3)解　△F1MF2的底F1F2＝4， △F1MF2的高h(yuǎn)＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6. 13.已知橢圓＋＝1(a>b>0)和圓O：x2＋y2＝b2，過橢圓上一點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B. (1)①若圓O過橢圓的兩個焦點(diǎn)，求橢圓的離心率e的值； ②若橢圓上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90，求橢圓離心率e的取值范圍； (2)設(shè)直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)M，N，問當(dāng)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動時，＋是否為定值？請證明你的結(jié)論. 考點(diǎn)　橢圓的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　橢圓幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用 解　(1)①因?yàn)閳AO過橢圓的焦點(diǎn)，圓O：x2＋y2＝b2，所以b＝c， 所以b2＝a2－c2＝c2，a2＝2c2，所以e＝. ②由∠APB＝90及圓的性質(zhì)，可得OP＝b，所以O(shè)P2＝2b2≤a2，所以a2≤2c2，所以e2≥，≤e<1. (2)＋的值為定值，證明如下： 設(shè)P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝－， 整理得x0x1＋y0y1＝x＋y. 因?yàn)閤＋y＝b2，所以x0x1＋y0y1＝b2， 同理x0x2＋y0y2＝b2. 從而直線AB的方程為x0x＋y0y＝b2. 令x＝0，得ON＝|y|＝， 令y＝0，得OM＝|x|＝， 所以＋＝＝＝， 所以＋為定值，定值是. 三、探究與拓展 14.已知橢圓＋＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b－c為半徑作圓F2，過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且PT的最小值為(a－c)，則橢圓的離心率e的取值范圍為________. 考點(diǎn)　橢圓的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求橢圓的離心率范圍 答案　 解析　因?yàn)镻T＝(b＞c)， 而PF2的最小值為a－c， 所以PT的最小值為. 依題意有≥(a－c)， 所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)， 所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)， 所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.① 又b＞c，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以2e2＜1，② 聯(lián)立①②，得≤e＜. 15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切. (1)求橢圓C的方程； (2)已知點(diǎn)P(0,1)，Q(0,2).設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T，求證：點(diǎn)T在橢圓C上. 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　橢圓幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用 (1)解　由題意知b＝＝. 因?yàn)殡x心率e＝＝， 所以＝＝，所以a＝2， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)證明　由題意可設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(－x0，y0)， 則直線PM的方程為y＝x＋1，① 直線QN的方程為y＝x＋2.② 方法一　聯(lián)立①②解得x＝，y＝， 即T. 由＋＝1，可得x＝8－4y. 因?yàn)?＋2＝＝＝＝＝1，所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上. 方法二　設(shè)T(x，y).聯(lián)立①②解得x0＝，y0＝. 因?yàn)椋?，所以2＋2＝1. 整理得＋＝(2y－3)2， 所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9， 即＋＝1. 所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上.