2019高考數(shù)學一輪復習 第6章 數(shù)列 專題研究2 數(shù)列的求和練習 理.doc
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專題研究2 數(shù)列的求和 第一次作業(yè) 1.數(shù)列{1+2n-1}的前n項和為( ) A.1+2n B.2+2n C.n+2n-1 D.n+2+2n 答案 C 2.數(shù)列{(-1)n(2n-1)}的前2 018項和S2 018等于( ) A.-2 016 B.2 018 C.-2 015 D.2 015 答案 B 解析 S2 018=-1+3-5+7+…-(22 017-1)+(22 018-1)=2+2+…+2,1 009個2相加=2 018.故選B. 3.在數(shù)列{an}中,已知對任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,則a12+a22+a32+…+an2等于( ) A.(3n-1)2 B.(9n-1) C.9n-1 D.(3n-1) 答案 B 解析 因為a1+a2+…+an=3n-1,所以a1+a2+…+an-1=3n-1-1(n≥2).則n≥2時,an=23n-1. 當n=1時,a1=3-1=2,適合上式,所以an=23n-1(n∈N*). 則數(shù)列{an2}是首項為4,公比為9的等比數(shù)列,故選B. 4.數(shù)列{an},{bn}滿足anbn=1,an=n2+3n+2,則{bn}的前10項之和為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 bn===-, S10=b1+b2+b3+…+b10=-+-+-+…+-=-=. 5.在數(shù)列{an}中,an=2n+1,則++…+=( ) A.1+ B.1-2n C.1- D.1+2n 答案 C 6.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=,其前n項和Sn=,則項數(shù)n等于( ) A.13 B.10 C.9 D.6 答案 D 解析 ∵an==1-,∴Sn=n-(++…+)=n-1+. 而=5+,∴n-1+=5+.∴n=6. 7.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,且an≠0,d≠0,則++…+可化簡為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 ∵=(-),∴原式=(-+-+…+-) =(-)=,選B. 8.(2017衡水中學調研卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3=6,S5=,則數(shù)列{}的前n項和為( ) A.1- B.2- C.2- D.2- 答案 B 解析 設等差數(shù)列{an}的公差為d,則Sn=na1+d,因為S3=6,S5=,所以解得所以an=n+1,=,設數(shù)列{}的前n項和為Tn,則Tn=+++…++,Tn=+++…++,兩項相減得Tn=+(++…+)-=+(1-)-,所以Tn=2-. 9.Sn=++…+=________. 答案 解析 通項an===(-),∴Sn=(1-+-+…+-)=(1-)=. 10.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-6n,則{|an|}的前n項和Tn=________. 答案 解析 由Sn=n2-6n,得{an}是等差數(shù)列,且首項為-5,公差為2. ∴an=-5+(n-1)2=2n-7. ∴n≤3時,an<0;n>3時,an>0. ∴Tn= 11.(2017衡水中學調研)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),則S2 016=________. 答案 321 008-3 解析 依題意,得an+1an=2n,an+1an+2=2n+1,則=2,即=2, 所以數(shù)列a1,a3,a5,…,a2k-1,…是以a1=1為首項,2為公比的等比數(shù)列;數(shù)列a2,a4,a6,…,a2k,…是以a2=2為首項,2為公比的等比數(shù)列,則 S2 016=(a1+a3+a5+…+a2 015)+(a2+a4+a6+…+a2 016)=+=321 008-3. 12.(2018深圳調研二)數(shù)列{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,a1,a2,a5成等比數(shù)列. (1)證明:S1,S3,S9成等比數(shù)列; (2)設a1=1,bn=a2n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 答案 (1)略 (2)2n+2-n-4 解析 (1)證明:由題意有a22=a1a5, 即(a1+d)2=a1(a1+4d),解得d=2a1. 又∵S1=a1,S3=3a1+3d=9a1, S9=9a1+36d=81a1, ∴S32=S1S9.又∵S1,S3,S9均不為零, ∴S1,S3,S9成等比數(shù)列. (2)由a1=1得d=2a1=2,則an=2n-1,則 Tn=a2+a22+a23+…+a2n =(22-1)+(222-1)+(223-1)+…+(22n-1) =2(2+22+23+…+2n)-n=2n+2-n-4 13.(2017課標全國Ⅲ,文)設數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)求數(shù)列{}的前n項和. 答案 (1)an= (2) 解析 (1)因為a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故當n≥2時, a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1). 兩式相減得(2n-1)an=2,所以an=(n≥2). 又由題設可得a1=2,從而{an}的通項公式為an=. (2)記{}的前n項和為Sn.由(1)知==-. 則Sn=-+-+…+-=. 14.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,Tn=na1+(n-1)a2+…+an,且T1=1,T2=4. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)求數(shù)列{Tn}的通項公式. 答案 (1)an=2n-1 (2)Tn=2n+1-n-2 解析 (1)T1=a1=1, T2=2a1+a2=2+a2=4,∴a2=2. ∴等比數(shù)列{an}的公比q==2. ∴an=2n-1. (2)方法一:Tn=n+(n-1)2+(n-2)22+…+12n-1,① 2Tn=n2+(n-1)22+(n-2)23+…+12n,② ②-①,得 Tn=-n+2+22+…+2n-1+2n=-n+ =-n+2n+1-2=2n+1-n-2. 方法二:設Sn=a1+a2+…+an, ∴Sn=1+2+…+2n-1=2n-1. ∴Tn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an =a1+(a1+a2)+…+(a1+a2+…+an) =S1+S2+…+Sn=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1) =(2+22+…+2n)-n=-n =2n+1-n-2. 15.(2018太原二模)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1-2,數(shù)列{bn}滿足bn=an+an+1(n∈N*). (1)求數(shù)列{bn}的通項公式; (2)若cn=log2an(n∈N*),求數(shù)列{bncn}的前n項和Tn. 答案 (1)32n (2)3(n-1)2n+1+6 解析 (1)當n=1時,a1=S1=2, 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n, 又a1=2滿足上式, ∴an=2n(n∈N*), ∴bn=an+an+1=32n. (2)由(1)得an=2n,bn=32n, ∴cn=log2an=n,∴bncn=3n2n, ∴Tn=3(12+222+323+…+n2n),① ①2得2Tn=3(122+223+324+…+n2n+1),② ①-②得-Tn=3(2+22+…+2n-n2n+1)=3[(1-n)2n+1-2],∴Tn=3(n-1)2n+1+6. 1.(2016天津,文)已知{an}是等比數(shù)列,前n項和為Sn(n∈N*),且-=,S6=63. (1)求{an}的通項公式; (2)若對任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中項,求數(shù)列{(-1)nbn2}的前2n項和. 答案 解析 (1)設數(shù)列{an}的公比為q.由已知,有-=,解得q=2,或q=-1.又由S6=a1=63,知q≠-1,所以a1=63,得a1=1.所以an=2n-1. (2)由題意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-,即{bn}是首項為,公差為1的等差數(shù)列. 設數(shù)列{(-1)nbn2}的前n項和為Tn,則 T2n=(-b12+b22)+(-b32+b42)+…+(-b2n-12+b2n2) =b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n = =2n2. 第二次作業(yè) 1.數(shù)列1,(1+2),(1+2+22),…,(1+2+22+…+2n-1),…的前n項之和為( ) A.2n-1 B.n2n-n C.2n+1-n D.2n+1-n-2 答案 D 解析 記an=1+2+22+…+2n-1=2n-1,∴Sn=-n=2n+1-2-n. 2.(2017寧夏銀川一中模擬)已知數(shù)列2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,….這個數(shù)列的特點是從第二項起,每一項都等于它的前后兩項之和,則這個數(shù)列的前2 018項之和S2 018等于( ) A.2 008 B.4 017 C.1 D.0 答案 B 解析 由已知得an=an-1+an+1(n≥2),∴an+1=an-an-1. 故數(shù)列的前8項依次為2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,-1,2 008,2 009. 由此可知該數(shù)列為周期數(shù)列,周期為6,且S6=0. ∴2 018=6336+2,∴S2 018=S2=2 008+2 009=4 017. 3.(2015江蘇)數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),則數(shù)列{}的前10項和為________. 答案 解析 由題意得:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+n-1+…+2+1=,所以=2(-),Sn=2(1-)=,S10=. 4.(2018衡水中學調研卷)數(shù)列{an}的通項公式an=ncos+1,前n項和為Sn,則S2 020=________. 答案 3 030 解析 ∵an=ncos+1,∴a1+a2+a3+a4=6,a5+a6+a7+a8=6,…,a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=6,k∈N,∴S2 020=505(a1+a2+a3+a4)=5056=3 030. 5.(2018江蘇蘇州調研)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an(1-an+1),a1=1,數(shù)列{bn}滿足bn=anan+1,則數(shù)列{bn}的前10項的和S10=________. 答案 解析 由an+1=an(1-an+1)得-=1,因此數(shù)列{}是以=1為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以=n,即an=,bn=anan+1==-,所以S10=b1+b2+…+b10=(1-)+(-)+…+(-)=1-=. 6.(2013湖南)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn=(-1)nan-(n∈N*),則 (1)a3=________; (2)S1+S2+…+S100=________. 答案 (1)- (2)(-1) 解析 (1)因為Sn=(-1)nan-, 則S3=-a3-,S4=a4-,解得a3=-. (2)當n為偶數(shù)時,Sn=an-,當n為奇數(shù)時,Sn=-an-,可得當n為奇數(shù)時an=-, 又S1+S2+…+S100=(-a1-)+(a2-)+…+(-a99-)+(a100-) =-a1+a2+…-a99+a100-(++…++) =S100-2(a1+a3+…+a99)-(1-) =S101-a101-2(---…-)-(1-) =--(-)+2-(1-)=-(1-)=(-1). 7.(2016北京,文)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通項公式; (2)設cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項和. 答案 (1)an=2n-1 (2)Sn=n2+ 解析 (1)等比數(shù)列{bn}的公比q===3, 所以b1==1,b4=b3q=27.∴bn=3n-1. 設等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a1=b1=1,a14=b4=27, 所以1+13d=27,即d=2. 所以an=2n-1(n=1,2,3,…). (2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1, 因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. 從而數(shù)列{cn}的前n項和 Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1=+=n2+. 8.(2018安徽江南十校聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且滿足Sn-2an=n-4. (1)證明:{Sn-n+2}為等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn. 答案 (1)略 (2) 解析 (1)證明:當n=1時,a1=S1,S1-2a1=1-4,解得a1=3. 由Sn-2an=n-4可得Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n≥2), 即Sn=2Sn-1-n+4,所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2]. 因為S1-1+2=4,所以{Sn-n+2}是首項為4,公比為2的等比數(shù)列. (2)由(1)知Sn-n+2=2n+1,所以Sn=2n+1+n-2, 于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n=+-2n=. 9.(2017重慶抽測二)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=2,an+1=Sn(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設bn=(n-1)an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 答案 (1) (2)(n-2)2n+2(n∈N*) 解析 (1)∵an+1=Sn(n∈N*), ∴Sn+1-Sn=Sn,∴=2. 又S1=a1=2, ∴數(shù)列{Sn}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列, ∴Sn=2n(n∈N*). 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2), ∴an= (2)Tn=0a1+1a2+2a3+…+(n-1)an, 當n=1時,T1=0. 當n≥2時, Tn=12+222+323+…+(n-1)2n-1,① 2Tn=122+223+324+…+(n-2)2n-1+(n-1)2n,② ①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-1)2n =-(n-1)2n =(2-n)2n-2. ∴Tn=(n-2)2n+2(n≥2). 又T1=0也滿足上式, ∴Tn=(n-2)2n+2(n∈N*). 10.(2015課標全國Ⅰ)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知an>0,an2+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通項公式; (2)設bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和. 答案 (1)an=2n+1 (2)Tn= 解析 (1)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3. 可得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1,即 2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an). 由于an>0,可得an+1-an=2. 又a12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3. 所以{an}是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,通項公式為an=2n+1. (2)由an=2n+1可知 bn===(-). 設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則 Tn=b1+b2+…+bn =[(-)+(-)+…+(-)] =. 11.數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1)(n∈N*). (1)證明:數(shù)列{}是等差數(shù)列; (2)設bn=3n,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 答案 (1)略 (2)Sn= 解析 (1)證明:由題意,得=+1,即-=1, 所以{}是以=1為首項,1為公差的等差數(shù)列. (2)解:由(1)得=1+(n-1)1=n,所以an=n2. 所以bn=n3n. Sn=131+232+333+…+n3n,① 3Sn=132+233+…+(n-1)3n+n3n+1.② ①-②得-2Sn=31+32+…+3n-n3n+1=-n3n+1=. 所以Sn=. 1.(2015安徽)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和,bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 答案 (1)an=2n-1 (2)Tn=1- 解析 (1)由題設知,a1a4=a2a3=8, 又a1+a4=9,可解得或(舍去). 由a4=a1q3得公比為q=2,故an=a1qn-1=2n-1. (2)Sn==2n-1,又bn===-, 所以Tn=b1+b2+…+bn=(-)+(-)+…+(-)=-=1-. 2.(2016浙江,文)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通項公式an; (2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項和. 答案 (1)an=3n-1 (2) 解析 (1)由題意知則 又當n≥2時,由 an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an, 得an+1=3an. 所以,數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-1,n∈N*. (2)設bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1. 當n≥3時,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3. 設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則T1=2,T2=3. 當n≥3時, Tn=3+-=, 所以Tn=- 配套講稿:
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