2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2.1 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx

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3.2.1　常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能根據(jù)定義求函數(shù)y＝C，y＝kx＋b，y＝x，y＝x2，y＝的導(dǎo)數(shù).2.準(zhǔn)確記憶基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并靈活運(yùn)用公式求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 知識(shí)點(diǎn)一　冪函數(shù)與一次函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 思考1　函數(shù)y＝kx(k≠0)增(減)的快慢與什么有關(guān)？ 答案　當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)增加的快慢與系數(shù)k有關(guān)，k越大，增加的越快； 當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)減少的快慢與|k|有關(guān)，|k|越大，函數(shù)減少的越快. 思考2　你能結(jié)合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及()′＝歸納出f(x)＝xn的導(dǎo)數(shù)有怎樣的規(guī)律嗎？ 答案　f′(x)＝(xn)′＝nxn－1. 梳理　(1)(kx＋b)′＝k(k，b為常數(shù))，特別地C′＝0(C為常數(shù)). (2)(xα)′＝αxα－1(α為常數(shù)). 知識(shí)點(diǎn)二　基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 思考　計(jì)算過程′＝－sin＝－正確嗎？ 答案　不正確.因?yàn)閏os＝為常數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為0. 梳理　 原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù) f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝lnx f′(x)＝ f(x)＝xα(α為常數(shù)) f′(x)＝αxα－1 1.(ex)′＝ex.(　√　) 2.(lnx)′＝.(　√　) 3.′＝cos＝.(　　) 4.若f(x)＝，則f′(x)＝－.(　√　) 類型一　利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝2sincos；(5)y＝；(6)y＝3x. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 解　(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11. (2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－. (3)y′＝()′＝()′＝＝＝. (4)∵y＝2sincos＝sinx，∴y′＝cosx. (5)y′＝()′＝＝－. (6)y′＝(3x)′＝3xln3. 反思與感悟　若題目中所給出的函數(shù)解析式不符合導(dǎo)數(shù)公式，需通過恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo)，如根式化成指數(shù)冪的形式求導(dǎo). 跟蹤訓(xùn)練1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)f(x)＝；(2)f(x)＝2－x； (3)f(x)＝e2；(4)f(x)＝cosx. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 解　(1)f′(x)＝()′＝＝； (2)f′(x)＝′＝xln＝－2－xln2； (3)f′(x)＝(e2)′＝0； (4)f′(x)＝(cosx)′＝－sinx. 類型二　導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用 例2　已知點(diǎn)P(－1,1)，點(diǎn)Q(2,4)是曲線y＝x2上兩點(diǎn)，是否存在與直線PQ垂直的切線，若有，求出切線方程；若沒有，說明理由. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解　因?yàn)閥′＝(x2)′＝2x，假設(shè)存在與直線PQ垂直的切線. 設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則PQ的斜率為k＝＝1， 而切線與PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－. 所以切點(diǎn)為. 所以所求切線方程為y－＝(－1)， 即4x＋4y＋1＝0. 引申探究 若本例條件不變，求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解　因?yàn)閥′＝(x2)′＝2x，設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)， 則在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為2x0， 又因?yàn)镻Q的斜率為k＝＝1， 而切線平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝. 所以切點(diǎn)為M. 所以所求切線方程為y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 反思與感悟　解決切線問題，關(guān)鍵是確定切點(diǎn)，要充分利用： (1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率； (2)切點(diǎn)在切線上； (3)切點(diǎn)又在曲線上這三個(gè)條件聯(lián)立方程解決. 跟蹤訓(xùn)練2　已知兩條曲線y＝sinx，y＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由. 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解　設(shè)存在一個(gè)公共點(diǎn)(x0，y0)，使兩曲線的切線垂直， 則在點(diǎn)(x0，y0)處的切線斜率分別為k1＝cosx0，k2＝－sinx0. 要使兩切線垂直，必須有k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1， 即sin2x0＝2，這是不可能的. 所以兩條曲線不存在公共點(diǎn)，使在這一點(diǎn)處的兩條切線互相垂直. 例3　求拋物線y＝x2上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解　依題意知拋物線y＝x2與直線x－y－2＝0平行的切線的切點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x). ∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝， ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴所求的最短距離d＝＝. 反思與感悟　利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，可求其圖象在某一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程，可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題，一般都與函數(shù)圖象的切線有關(guān).解題時(shí)可先利用圖象分析取最值時(shí)的位置情況，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算. 跟蹤訓(xùn)練3　已知直線l: 2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，試求與直線l平行的拋物線的切線方程，并在弧上求一點(diǎn)P，使△ABP的面積最大. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解　設(shè)M(x0，y0)為切點(diǎn)，過點(diǎn)M與直線l平行的直線斜率k＝y(tǒng)′＝2x0， ∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1. 故可得M(1,1)，∴切線方程為2x－y－1＝0. 由于直線l: 2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A，B兩點(diǎn)， ∴AB為定值，要使△ABP的面積最大，只要P到AB的距離最大， 故點(diǎn)M(1,1)即為所求弧上的點(diǎn)，使△ABP的面積最大. 1.設(shè)函數(shù)f(x)＝logax，f′(1)＝－1，則a＝________. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　 解析　∵f′(x)＝， 則f′(1)＝＝－1，∴a＝. 2.下列結(jié)論： ①(sinx)′＝－cosx；②′＝；③(log3x)′＝；④(lnx)′＝. 其中正確的結(jié)論是________. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　④ 解析　由求導(dǎo)公式知，(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(lnx)′＝，故④正確. 3.在曲線y＝上求一點(diǎn)P，使得曲線在該點(diǎn)處的切線傾斜角為135，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　(2,1) 解析　y′＝(4x－2)′＝－8x－3，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)， 依題意，得－8x＝tan135＝－1，∴x0＝2. 又P(x0，y0)在曲線y＝上，∴y0＝1. 4.設(shè)正弦函數(shù)y＝sinx上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的取值范圍為________. 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　∪ 解析　∵(sinx)′＝cosx，∴kl＝cosx， ∴－1≤kl≤1，∴αl∈∪. 5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y＝cos；(2)y＝；(3)y＝； (4)y＝lgx；(5)y＝5x；(6)y＝cos. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 解　(1)y′＝0. (2)∵y＝＝x－5，∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－. (3)∵y＝＝，∴y′＝()′＝＝. (4)y′＝. (5)y′＝5xln5. (6)∵y＝cos＝sinx， ∴y′＝(sinx)′＝cosx. 1.利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡(jiǎn)便地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式.解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸. 2.有些函數(shù)可先化簡(jiǎn)再應(yīng)用公式求導(dǎo). 如求y＝1－2sin2的導(dǎo)數(shù).因?yàn)閥＝1－2sin2＝cosx， 所以y′＝(cosx)′＝－sinx. 3.對(duì)于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)名稱的變化，二是注意函數(shù)符號(hào)的變化.  一、填空題 1.已知f(x)＝sinx，則f′＝________. 考點(diǎn)　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 題點(diǎn)　正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　0 解析　∵f′(x)＝cosx，∴f′＝0. 2.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，則x0的值是________. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　1 解析　∵f′(x0)＝3x＝3，∴x0＝1. 3.已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，則m＝________. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案?。? 解析　∵f′(x)＝－，∴f′(2)＝－， 又∵g′(x)＝m，∴g′(2)＝m， 由g′(2)＝，得m＝－4. 4.曲線y＝f(x)＝lnx在x＝a處的切線傾斜角為，則a＝________. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　1 解析　∵y′＝，∴f′(a)＝＝1. ∴a＝1. 5.下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為________. ①f(x)＝ln2，則f′(x)＝； ②f(x)＝，則f′(3)＝－； ③f(x)＝2x，則f′(x)＝2xln2； ④f(x)＝log2x，則f′(x)＝. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　3 解析?、賔(x)＝ln2為常數(shù)，所以f′(x)＝0，①錯(cuò).②③④均正確. 6.曲線y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　e2 解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2， ∴曲線在點(diǎn)(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)， 即y＝e2x－e2. 當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－e2；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1. ∴S＝1|－e2|＝e2. 7.過曲線y＝上一點(diǎn)P的切線的斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　或 解析　∵y′＝(x－1)′＝－＝－4， ∴x2＝，x＝. ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為或. 8.已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實(shí)數(shù)k的值為________. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　e 解析　y′＝ex，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則 ∴＝x0， ∴x0＝1，∴k＝e. 9.曲線y＝log2x在點(diǎn)(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　log2e 解析　∵y′＝，∴k＝， ∴切線方程為y＝(x－1)， ∴三角形面積為S△＝1＝＝log2e. 10.已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，則關(guān)于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集為____________________. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 答案　 解析　∵f′(x)＝－sinx，g′(x)＝1， 由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0， 即sinx≥1，則sinx＝1，解得x＝＋2kπ，k∈Z， ∴其解集為. 二、解答題 11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)f(x)＝log2x2－log2x；(2)f(x)＝－2x； (3)f(x)＝－2sin； (4)y＝(1－)＋. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 解　(1)∵f(x)＝log2x2－log2x＝2log2x－log2x＝log2x， ∴f′(x)＝(log2x)′＝. (2)∵f(x)＝－2x＝2x＋－2x＝， ∴f′(x)＝′＝(x－1)′＝－x－2＝－. (3)∵f(x)＝－2sin＝sinx. ∴f′(x)＝(sinx)′＝cosx. (4)∵f(x)＝(1－)＋＝1－＋－1＋＝ ∴f′(x)＝()′＝＝－. 12.若曲線y＝在點(diǎn)(a，)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，求a的值. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解　∵y＝，∴y′＝， ∴曲線在點(diǎn)(a，a－)處的切線斜率k＝－a－， ∴切線方程為y－＝. 令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝3a. ∴該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 S＝3a＝＝18，∴a＝64. 13.已知曲線y＝f(x)＝5(x＞0)，求： (1)曲線上與直線y＝2x－4平行的切線方程； (2)過點(diǎn)P(0,5)，且與曲線相切的切線方程. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解　(1)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)， 由y＝f(x)＝5，得f′(x0)＝. 因?yàn)榍芯€與直線y＝2x－4平行，所以＝2， 解得x0＝，所以y0＝. 故所求切線方程為y－＝2， 即16x－8y＋25＝0. (2)因?yàn)辄c(diǎn)P(0,5)不在曲線y＝5上， 所以設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M(x1，y1)， 則切線斜率為(x1≠0)， 又因?yàn)榍芯€斜率為， 所以＝＝， 解得x1＝4(x1＝0舍去). 所以切點(diǎn)為M(4,10)，斜率為， 故切線方程為y－10＝(x－4)，即5x－4y＋20＝0. 三、探究與拓展 14.已知函數(shù)f(x)＝－1(a>0)的圖象在x＝1處的切線為l，則l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為________. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　1 解析　∵f′(x)＝，∴f′(1)＝. 又f(1)＝－1， ∴f(x)在x＝1處的切線l的方程是y－＋1＝(x－1). ∴l(xiāng)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 S＝＝ ≥(2＋2)＝1. 故l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為1. 15.點(diǎn)P是曲線y＝ex上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y＝x的最小距離. 考點(diǎn)　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點(diǎn)　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解　如圖，當(dāng)曲線y＝ex在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線y＝x平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y＝x的距離最近. 則曲線y＝ex在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率為1，又y′＝(ex)′＝ex， 所以＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1). 利用點(diǎn)到直線的距離公式得最小距離為.