2019高考數(shù)學(xué) 專題四 恒成立問題精準(zhǔn)培優(yōu)專練 文.doc
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培優(yōu)點四 恒成立問題 1.參變分離法 例1:已知函數(shù),若在上恒成立,則的取值范圍是_________. 【答案】 【解析】,其中, 只需要. 令,,,, 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞減, ,. 2.?dāng)?shù)形結(jié)合法 例2:若不等式對于任意的都成立,則實數(shù)的取值范圍是___________. 【答案】 【解析】本題選擇數(shù)形結(jié)合,可先作出在的圖像, 扮演的角色為對數(shù)的底數(shù),決定函數(shù)的增減,根據(jù)不等關(guān)系可得,觀察圖像進一步可得只需 時,, 即,所以. 3.最值分析法 例3:已知函數(shù),在區(qū)間上,恒成立,求的取值范圍___________. 【答案】 【解析】恒成立即不等式恒成立,令, 只需即可,, ,令(分析的單調(diào)性) 當(dāng)時 在單調(diào)遞減,則 (思考:為什么以作為分界點討論?因為找到,若要不等式成立,那么一定從處起要增(不一定在上恒增,但起碼存在一小處區(qū)間是增的),所以時導(dǎo)致在處開始單減,那么一定不符合條件.由此請體會零點對參數(shù)范圍所起的作用) 當(dāng)時,分是否在中討論(最小值點的選?。? 若,單調(diào)性如表所示 ,. (1)可以比較,的大小找到最小的臨界值,再求解,但比較麻煩.由于最小值只會在,處取得,所以讓它們均大于0即可. (2)由于,并不在中,所以求得的只是臨界值,臨界值等于零也符合條件) 若,則在上單調(diào)遞增,,符合題意, 綜上所述:. 對點增分集訓(xùn) 一、選擇題 1.已知函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 若,即有,分別作出函數(shù)和直線的圖象, 由直線與曲線相切于原點時,,則,解得, 由直線繞著原點從軸旋轉(zhuǎn)到與曲線相切,滿足條件. 即有,解得.故選B. 2.已知函數(shù),當(dāng)時,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意可得:, 令可得:,,且:,,,, 據(jù)此可知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為, 結(jié)合恒成立的條件可得:, 求解關(guān)于的不等式可得實數(shù)的取值范圍是.本題選擇C選項. 3.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】,在內(nèi)恒成立,所以, 由于,所以,,所以,故選D. 4.已知對任意不等式恒成立(其中,是自然對數(shù)的底數(shù)),則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由得在上恒成立,即在上恒成立. 令,,則, ∴當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減. ∴,∴,∴. 故實數(shù)的取值范圍是.故選A. 5.已知函數(shù),當(dāng)時,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】若恒成立,則,, 所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.,,所以. 故選D. 6.當(dāng)時,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】時,恒成立不等式等價于,, 設(shè),, ,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,, 當(dāng)時,可知無論為何值,不等式均成立, 當(dāng)時,恒成立不等式等價于,, 同理設(shè),,在單調(diào)遞增, ,,綜上所述:.故選C. 7.函數(shù),若存在使得成立,則實數(shù)的范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】若存在使得成立,則在內(nèi)即可, ,, 故在上單調(diào)遞減,,故選A. 8.設(shè)函數(shù),若存在,使,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】的定義域是,, 當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增,且, 故存在,使; 當(dāng)時,令,解得,令,解得, 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減, ,解得. 綜上,的取值范圍是.故選D. 9.若對于任意實數(shù),函數(shù)恒大于零,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】當(dāng)時,恒成立,若,為任意實數(shù),恒成立, 若時,恒成立, 即當(dāng)時,恒成立,設(shè),則, 當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增, 當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減, 當(dāng)時,取得最大值為. 則要使時,恒成立,的取值范圍是,故選D. 10.已知函數(shù),,若對任意,總有或成立,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由,得,故對時,不成立, 從而對任意,恒成立, 因為,對任意恒成立, 如圖所示,則必有,計算得出.故選B. 11.已知函數(shù),,當(dāng)時,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】不等式,即, 結(jié)合可得恒成立,即恒成立, 構(gòu)造函數(shù),由題意可知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增, 故恒成立,即恒成立, 令,則, 當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增; 則的最小值為,據(jù)此可得實數(shù)的取值范圍為.本題選擇D選項. 12.設(shè)函數(shù),其中,若有且只有一個整數(shù)使得,則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】設(shè),,則, ∴當(dāng),,單調(diào)遞減; 當(dāng),,單調(diào)遞增, ∴當(dāng)時,取得最小值. 如下圖所示. 又,故; ,故. 故當(dāng)時,滿足在直線的下方. ∵直線恒過定點且斜率為,∴要使得有且只有一個整數(shù)使得, 只需,∴, 又,∴實數(shù)的取值范圍.故選C. 二、填空題 13.設(shè)函數(shù),,對于任意的,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】法一:如圖, 因為恒成立,則的圖像在的上方(可以有公共點), 所以即,填. 法2:由題設(shè)有. 當(dāng)時,; 當(dāng)時,有恒成立或恒成立, 故或即,填. 14.函數(shù),其中,若對任意正數(shù)都有,則實數(shù)的取值范圍為____________. 【答案】 【解析】對任意正數(shù)都有,即不等式對于恒成立. 設(shè),則. 故在上是減函數(shù),在上是增函數(shù), 所以的最小值是,所以的取值范圍是. 15.已知函數(shù),若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,則在上恒成立, 即在上恒成立,所以恒成立, 即在上恒成立,所以, 故實數(shù)的取值范圍是. 16.已知關(guān)于的不等式在上恒成立,則實數(shù)的取值范圍為___________. 【答案】 【解析】①當(dāng)時,函數(shù)外層單調(diào)遞減, 內(nèi)層二次函數(shù): 當(dāng),即時,二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,函數(shù)單調(diào)遞減, ,解得; 當(dāng),即時,無意義; 當(dāng),即時,二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增,函數(shù)先遞增后遞減, 則需,,無解; 當(dāng),即時,二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,函數(shù)單調(diào)遞增, ,無解. ②當(dāng)時,函數(shù)外層單調(diào)遞增, ,二次函數(shù)單調(diào)遞增,函數(shù)單調(diào)遞增, 所以,解得:. 綜上所述:或. 三、解答題 17.設(shè)函數(shù),其中, (1)討論函數(shù)極值點的個數(shù),并說明理由; (2)若,成立,求的取值范圍. 【答案】(1)見解析;(2). 【解析】(1),定義域為, , 設(shè), 當(dāng)時,,,函數(shù)在為增函數(shù),無極值點. 當(dāng)時,, 若時,,,函數(shù)在為增函數(shù),無極值點. 若時,設(shè)的兩個不相等的實數(shù)根,,且, 且,而,則, 所以當(dāng),,,單調(diào)遞增; 當(dāng),,,單調(diào)遞減; 當(dāng),,,單調(diào)遞增. 因此此時函數(shù)有兩個極值點; 當(dāng)時,但,, 所以當(dāng),,,單調(diào)遞增; 當(dāng),,,單調(diào)遞減. 所以函數(shù)只有一個極值點. 綜上可知,當(dāng)時有一個極值點;當(dāng)時的無極值點;當(dāng)時,的有兩個極值點. (2)由(1)可知當(dāng)時在單調(diào)遞增,而, 則當(dāng)時,,符合題意; 當(dāng)時,,,在單調(diào)遞增,而, 則當(dāng)時,,符合題意; 當(dāng)時,,,所以函數(shù)在單調(diào)遞減,而, 則當(dāng)時,,不符合題意; 當(dāng)時,設(shè),當(dāng)時, 在單調(diào)遞增,因此當(dāng)時,, 于是,當(dāng)時, 此時,不符合題意. 綜上所述,的取值范圍是. 18.設(shè)函數(shù), (1)證明:在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增; (2)若對于任意,,都有,求的取值范圍. 【答案】(1)見解析;(2). 【解析】,注意到,于是再求導(dǎo)得,,由于,于是為單調(diào)遞增函數(shù), 時,,時,, 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增. (2)若不等式恒成立, 則,在連續(xù), 在有最大最小值, , 由(1)可知在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增, ,, , 設(shè), ,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增 ,,故當(dāng)時,, 當(dāng)時,,,則上式成立. 當(dāng)時,由的單調(diào)性,,即, 當(dāng)時,,即, 綜上,的取值范圍為.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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