2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1課時(shí) 坐標(biāo)系練習(xí) 理.doc
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第1課時(shí) 坐標(biāo)系 1.在同一平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過伸縮變換后,曲線C變?yōu)榍€x′2+y′2=1,則曲線C的方程為( ) A.25x2+9y2=1 B.9x2+25y2=1 C.25x+9y=1 D.+=1 答案 A 2.化極坐標(biāo)方程ρ2cosθ-ρ=0為直角坐標(biāo)方程為( ) A.x2+y2=0或y=1 B.x=1 C.x2+y2=0或x=1 D.y=1 答案 C 3.在極坐標(biāo)系中,極坐標(biāo)為(2,)的點(diǎn)到極點(diǎn)和極軸的距離分別為( ) A.1,1 B.1,2 C.2,1 D.2,2 答案 C 解析 點(diǎn)(ρ,θ)到極點(diǎn)和極軸的距離分別為ρ,ρ|sinθ|,所以點(diǎn)(2,)到極點(diǎn)和極軸的距離分別為2,2sin=1. 4.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2,-)到圓ρ=-2cosθ的圓心的距離為( ) A.2 B. C. D. 答案 D 解析 在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2,-)的直角坐標(biāo)為(1,-),圓ρ=-2cosθ的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=-2x,即(x+1)2+y2=1,圓心為(-1,0),所以所求距離為=.故選D. 5.(2017皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中,直線ρ(cosθ-sinθ)=2與圓ρ=4sinθ的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為( ) A.(2,) B.(2,) C.(4,) D.(4,) 答案 A 解析 ρ(cosθ-sinθ)=2可化為直角坐標(biāo)方程x-y=2,即y=x-2. ρ=4sinθ可化為x2+y2=4y,把y=x-2代入x2+y2=4y,得4x2-8x+12=0,即x2-2x+3=0,所以x=,y=1. 所以直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,1),化為極坐標(biāo)為(2,),故選A. 6.在極坐標(biāo)系中,與圓ρ=4sinθ相切的一條直線的方程是( ) A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2 C.ρcosθ=4 D.ρcosθ=-4 答案 B 解析 方法一:圓的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ,所以直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4y=0. 選項(xiàng)A,直線ρsinθ=2的直角坐標(biāo)方程為y=2,代入圓的方程,得x2=4,∴x=2,不符合題意;選項(xiàng)B,直線ρcosθ=2的直角坐標(biāo)方程為x=2,代入圓的方程,得(y-2)2=0,∴y=2,符合題意.同理,以后選項(xiàng)都不符合題意. 方法二:如圖,⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ, CO⊥Ox,OA為直徑,|OA|=4,直線l和圓相切, l交極軸于點(diǎn)B(2,0),點(diǎn)P(ρ,θ)為l上任意一點(diǎn), 則有cosθ==,得ρcosθ=2. 7.在極坐標(biāo)系中,曲線ρ2-6ρcosθ-2ρsinθ+6=0與極軸交于A,B兩點(diǎn),則A,B兩點(diǎn)間的距離等于( ) A. B.2 C.2 D.4 答案 B 解析 化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程得x2+y2-6x-2y+6=0,易知此曲線是圓心為(3,1),半徑為2的圓,如圖所示.可計(jì)算|AB|=2. 8.在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cosθ的圓心的極坐標(biāo)是________,它與方程θ=(ρ>0)所表示的圖形的交點(diǎn)的極坐標(biāo)是________. 答案 (1,0),(,) 解析 ρ=2cosθ表示以點(diǎn)(1,0)為圓心,1為半徑的圓,故圓心的極坐標(biāo)為(1,0). 當(dāng)θ=時(shí),ρ=,故交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(,). 9.(2018廣州綜合測(cè)試一)在極坐標(biāo)系中,直線ρ(sinθ-cosθ)=a與曲線ρ=2cosθ-4sinθ相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則實(shí)數(shù)a的值為________. 答案?。?或-1 解析 將直線ρ(sinθ-cosθ)=a化為普通方程,得y-x=a,即x-y+a=0,將曲線ρ=2cosθ-4sinθ的方程化為普通方程,得x2+y2=2x-4y,即(x-1)2+(y+2)2=5,圓心坐標(biāo)為(1,-2),半徑長(zhǎng)為r=.設(shè)圓心到直線AB的距離為d,由勾股定理可得d===,而d===,所以|a+3|=2,解得a=-5或a=-1. 10.(2017天津,理)在極坐標(biāo)系中,直線4ρcos(θ-)+1=0與圓ρ=2sinθ的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________. 答案 2 解析 依題意,得4ρ(cosθ+sinθ)+1=0,即2ρcosθ+2ρsinθ+1=0,所以直線的直角坐標(biāo)方程為2x+2y+1=0.由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,所以圓的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1,其圓心(0,1)到直線2x+2y+1=0的距離d=<1,則直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2. 11.在極坐標(biāo)系中,曲線ρ2-10ρcosθ-2ρsinθ+10=0與極軸交于M、N兩點(diǎn),則|MN|=________. 答案 2 解析 ∵M(jìn)、N兩點(diǎn)在極軸上, ∴其極角θ=0,代入方程中得ρ2-10ρ+10=0, ∴(ρ-5)2=15,ρ=5, 令M、N對(duì)應(yīng)極徑為ρM和ρN,則|MN|=|ρM-ρN|=2. 12.(2018河北冀州中學(xué)月考)直線2ρcosθ=1與圓ρ=2cosθ相交的弦長(zhǎng)為________. 答案 解析 直線的方程為2x=1,圓的方程為x2+y2-2x=0,圓心為(1,0),半徑r=1,圓心到直線的距離為d==.設(shè)所求的弦長(zhǎng)為l,則12=()2+()2,解得l=. 13.在極坐標(biāo)系中,設(shè)曲線C1:ρ=2sinθ與C2:ρ=2cosθ的交點(diǎn)分別為A,B,則線段AB的垂直平分線的極坐標(biāo)方程為________. 答案 ρsinθ+ρcosθ=1(或ρsin(θ+)=) 解析 曲線C1:ρ=2sinθ的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線C2:ρ=2cosθ的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0,所以AB的方程為-x+y=0.又易知AB的垂直平分線斜率為-1,經(jīng)過圓C1的圓心(0,1),所以AB的垂直平分線的方程為x+y-1=0,化為極坐標(biāo)方程為ρsinθ+ρcosθ=1,或化成ρsin(θ+)=. 14.在極坐標(biāo)系中,直線ρsin(θ+)=2被圓ρ=4截得的弦長(zhǎng)為________. 答案 4 解析 直線ρsin(θ+)=2的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0,圓ρ=4的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=16.圓心的坐標(biāo)是(0,0),半徑是4,圓心到直線的距離d==2,所以直線ρsin(θ+)=2被圓ρ=4截得的弦長(zhǎng)是2=4. 15.(2018廣東肇慶一模)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2(ρ>0,0≤θ<2π),曲線C在點(diǎn)(2,)處的切線為l,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,則l的直角坐標(biāo)方程為________. 答案 x+y-2=0 解析 根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可以得到曲線ρ=2?x2+y2=4,點(diǎn)(2,)?(,).因?yàn)辄c(diǎn)(,)在圓x2+y2=4上,故圓在點(diǎn)(,)處的切線方程為x+y=4?x+y-2=0,故填x+y-2=0. 16.在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知圓C的圓心的極坐標(biāo)為(,),半徑r=,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2,π),過P作直線l交圓C于A,B兩點(diǎn). (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程; (2)求|PA||PB|的值. 答案 (1)(x-1)2+(y-1)2=2 (2)8 解析 (1)圓C的圓心的極坐標(biāo)C(,), ∴x=cos=1,y=sin=1, ∴圓C的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(y-1)2=2. (2)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2,π),化為直角坐標(biāo)為P(-2,0). 當(dāng)直線l與圓C相切于點(diǎn)D時(shí),則 |PD|2=|PC|2-r2=(-2-1)2+(0-1)2-()2=8. ∴|PA||PB|=|PD|2=8. 17.(2018河北唐山模擬)在極坐標(biāo)系Ox中,直線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=2,M是C1上任意一點(diǎn),點(diǎn)P在射線OM上,且滿足|OP||OM|=4,記點(diǎn)P的軌跡為C2. (1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程; (2)求曲線C2上的點(diǎn)到直線C3:ρcos(θ+)=距離的最大值. 答案 (1)ρ=2sinθ(ρ≠0) (2)1+ 解析 (1)設(shè)P(ρ,θ),M(ρ1,θ),依題意有 ρ1sinθ=2,ρρ1=4. 消去ρ1,得曲線C2的極坐標(biāo)方程為 ρ=2sinθ(ρ≠0). (2)將C2,C3的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,得C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2. C2是以點(diǎn)(0,1)為圓心,以1為半徑的圓,圓心到直線C3的距離d=,故曲線C2上的點(diǎn)到直線C3距離的最大值為1+. 18.(2017廣東珠海質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程是ρcos(θ-)=2,圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ. (1)求l與C交點(diǎn)的極坐標(biāo); (2)設(shè)P為C的圓心,Q為l與C交點(diǎn)連線的中點(diǎn),已知直線PQ的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),求a,b的值. 答案 (1)(4,)或(2,) (2)a=-1 b=2 解析 (1)將ρ=4sinθ代入ρcos(θ-)=2,得sinθcosθ=cos2θ,所以cosθ=0或tanθ=1,取θ=或θ=.再由ρ=4sinθ得ρ=4或ρ=2.所以l與C交點(diǎn)的極坐標(biāo)是(4,)或(2,). (2)∵圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ, ∴圓C的直角坐標(biāo)方程是x2+(y-2)2=4.即P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2). 由(1)知l與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,4),(2,2). 即Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,3).將PQ的參數(shù)方程化為普通方程得y=(x-a)+1.將P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,得解得a=-1,b=2. 1.(2015北京)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2,)到直線ρ(cosθ+sinθ)=6的距離為________. 答案 1 解析 點(diǎn)(2,)的直角坐標(biāo)為(1,),直線ρ(cosθ+sinθ)=6的直角坐標(biāo)方程為x+y-6=0,所以點(diǎn)(1,)到直線的距離d==1. 2.(2016北京)在極坐標(biāo)系中,直線ρcosθ-ρsinθ-1=0與圓ρ=2cosθ交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=________. 答案 2 解析 將直線ρcosθ-ρsinθ-1=0化為直角坐標(biāo)方程為x-y-1=0,將圓ρ=2cosθ化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x,則圓心坐標(biāo)(1,0),半徑為1,由于圓心(1,0)在直線x-y-1=0上,因此|AB|=2. 3.(2014陜西)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2,)到直線ρsin(θ-)=1的距離是________. 答案 1 解析 ρsin(θ-)=ρ(sinθcos-sincosθ)=1, 因?yàn)樵跇O坐標(biāo)系中,ρcosθ=x,ρsinθ=y(tǒng), 所以直線可化為x-y+2=0. 同理點(diǎn)(2,)可化為(,1), 所以點(diǎn)到直線距離d==1. 4.在極坐標(biāo)系中,已知圓ρ=2cosθ與直線4ρcosθ+3ρsinθ+a=0相切,則a=________. 答案 1或-9 解析 圓ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ,即(x-1)2+y2=1,直線4ρcosθ+3ρsinθ+a=0,即4x+3y+a=0, 已知圓ρ=2cosθ與直線4ρcosθ+3ρsinθ+a=0相切, ∴圓心到直線的距離等于半徑. 即=1,解得a=1或-9. 5.(2015安徽)在極坐標(biāo)系中,圓ρ=8sinθ上的點(diǎn)到直線θ=(ρ∈R)距離的最大值是________. 答案 6 解析 由ρ=8sinθ?ρ2=8ρsinθ?x2+y2-8y=0,x2+(y-4)2=16,圓心坐標(biāo)為(0,4),半徑r=4.由θ=?y=x,則圓心到直線的距離d=2.∴圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為2+4=6. 6.在極坐標(biāo)系中,曲線C1:ρ=2與曲線C2:ρ=4sinθ(<θ<π)交點(diǎn)的極坐標(biāo)是________. 答案 (2,) 解析 由題意分析可得,曲線C1是圓心為(0,0),半徑為2的圓,曲線C1的方程為x2+y2=4.對(duì)ρ=4sinθ變形得ρ2=4ρsinθ,所以曲線C2的方程為x2+y2=4y.聯(lián)立兩個(gè)方程,解得或又∵<θ<π,∴交點(diǎn)為(-,1),轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)ρ=2,tanθ=,由題意θ=,所以交點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2,). 7.(2017唐山模擬)已知圓C:x2+y2=4,直線l:x+y=2.以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系. (1)將圓C和直線l的方程化為極坐標(biāo)方程; (2)P是l上的點(diǎn),射線OP交圓C于點(diǎn)R,又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ||OP|=|OR|2,當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程. 答案 (1)C:ρ=2 l:ρ(cosθ+sinθ)=2 (2)ρ=2(cosθ+sinθ)(ρ≠0) 解析 (1)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入圓C和直線l的直角坐標(biāo)方程得其極坐標(biāo)方程為 C:ρ=2,l:ρ(cosθ+sinθ)=2. (2)設(shè)P,Q,R的極坐標(biāo)分別為(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ), 則由|OQ||OP|=|OR|2得ρρ1=ρ22. 又ρ2=2,ρ1=, 所以=4, 故點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=2(cosθ+sinθ)(ρ≠0). 8.(2014遼寧)將圓x2+y2=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線C. (1)寫出C的參數(shù)方程; (2)設(shè)直線l:2x+y-2=0與C的交點(diǎn)為P1,P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程. 答案 (1)(t為參數(shù)) (2)ρ= 解析 (1)設(shè)(x1,y1)為圓上的點(diǎn),在已知變換下變?yōu)镃上點(diǎn)(x,y),依題意,得 由x12+y12=1得x2+()2=1,即曲線C的方程為x2+=1. 故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)) (2)由解得或 不妨設(shè)P1(1,0),P2(0,2),則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,1),所求直線斜率為k=,于是所求直線方程為y-1=(x-),化為極坐標(biāo)方程,并整理得 2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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