江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 應(yīng)用題 第1講 函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題學(xué)案.doc
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第1講 函數(shù)、不等式中的應(yīng)用題 [考情考向分析] 應(yīng)用題考查是江蘇高考特色，每年均有考查，試題難度中等或中等偏上．命題主要考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)相關(guān)模型解決實(shí)際問題的能力. 與函數(shù)、不等式有關(guān)的應(yīng)用題，可以通過建立函數(shù)、不等式模型，解決實(shí)際中的優(yōu)化問題或者滿足特定條件的實(shí)際問題． 熱點(diǎn)一 和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題 例1 某工廠現(xiàn)有200人，人均年收入為4萬元．為了提高工人的收入，工廠將進(jìn)行技術(shù)改造．若改造后，有x(100≤x≤150)人繼續(xù)留用，他們的人均年收入為4a(a∈N*)萬元；剩下的人從事其他服務(wù)行業(yè)，這些人的人均年收入有望提高2x%. (1)設(shè)技術(shù)改造后這200人的人均年收入為y萬元，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)x為多少時(shí)，能使這200人的人均年收入達(dá)到最大，并求出最大值． 解 (1)y＝ ＝ ＝－[x－25(a＋3)]2＋(a＋3)2＋4. 其中100≤x≤150，x∈N*. (2)①當(dāng)100≤25(a＋3)≤150，即1≤a≤3，a∈N*時(shí)， 當(dāng)x＝25(a＋3)時(shí)，y取最大值，即ymax＝(a＋3)2＋4； ②當(dāng)25(a＋3)＞150，即a＞3，a∈N*時(shí)， 函數(shù)y在[100,150]上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)x＝150時(shí)，y取最大值，即ymax＝3a＋4. 答 當(dāng)1≤a≤3，a∈N*，x＝25(a＋3)時(shí)，y取最大值(a＋3)2＋4； 當(dāng)a＞3，a∈N*，x＝150時(shí)，y取最大值3a＋4. 思維升華 二次函數(shù)是高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題命題的一個(gè)重要模型，解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì)． 跟蹤演練1 某企業(yè)參加A項(xiàng)目生產(chǎn)的工人為1 000人，平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元．根據(jù)現(xiàn)實(shí)的需要，從A項(xiàng)目中調(diào)出x人參與B項(xiàng)目的售后服務(wù)工作，每人每年可以創(chuàng)造利潤10萬元(a＞0)，A項(xiàng)目余下的工人每人每年創(chuàng)造利潤需要提高0.2x%. (1)若要保證A項(xiàng)目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1 000名工人創(chuàng)造的年總利潤，則最多調(diào)出多少人參加B項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作？ (2)在(1)的條件下，當(dāng)從A項(xiàng)目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的40%時(shí)，能使得A項(xiàng)目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解 (1)根據(jù)題意可得(1 000－x)(10＋100.2x%)≥1 00010， 整理得x2－500x≤0，解得0≤x≤500， 最多調(diào)出的人數(shù)為500. (2)由解得0≤x≤400. 10x≤(1 000－x)(10＋100.2x%) 對(duì)x∈[0,400]恒成立， 即10ax－≤1 00010＋20x－10x－2x2%恒成立， 即ax≤＋x＋1 000對(duì)于任意的x∈[0,400]恒成立． 當(dāng)x＝0時(shí)，不等式顯然成立； 當(dāng)0＜x≤400時(shí)， a≤＋＋1＝＋1. 令函數(shù)f(x)＝x＋， 可知f(x)在區(qū)間[0,400]上是減函數(shù)， 故f(x)min＝f(400)＝1 025， 故＋＋1≥. 故0＜a≤，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 熱點(diǎn)二 和不等式有關(guān)的應(yīng)用題 例2 秸稈還田是當(dāng)今世界上普遍重視的一項(xiàng)培肥地力的增產(chǎn)措施，在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時(shí)還有增肥增產(chǎn)作用．某農(nóng)機(jī)戶為了達(dá)到在收割的同時(shí)讓秸稈還田，花137 600元購買了一臺(tái)新型聯(lián)合收割機(jī)，每年用于收割可以收入6萬元(已減去所用柴油費(fèi))；該收割機(jī)每年都要定期進(jìn)行維修保養(yǎng)，第一年由廠方免費(fèi)維修保養(yǎng)，第二年及以后由該農(nóng)機(jī)戶付費(fèi)維修保養(yǎng)，所付費(fèi)用y(元)與使用年數(shù)n的關(guān)系為y＝kn＋b(n≥2，且n∈N*)，已知第二年付費(fèi)1 800元，第五年付費(fèi)6 000元． (1)試求出該農(nóng)機(jī)戶用于維修保養(yǎng)的費(fèi)用f(n)(元)與使用年數(shù)n(n∈N*)的函數(shù)關(guān)系式； (2)這臺(tái)收割機(jī)使用多少年，可使年平均收益最大？(收益＝收入－維修保養(yǎng)費(fèi)用－購買機(jī)械費(fèi)用) 解 (1)依題意知，當(dāng)n＝2時(shí)，y＝1 800； 當(dāng)n＝5時(shí)，y＝6 000， 即解得 所以f(n)＝ (2)記使用n年，年均收益為W(元)， 則依題意知，當(dāng)n≥2時(shí)，W＝60 000－[137 600＋1 400(2＋3＋…＋n)－1 000(n－1)] ＝60 000－ ＝60 000－(137 200＋700n2－300n) ＝60 300－≤60 300－2＝40 700， 當(dāng)且僅當(dāng)700n＝，即n＝14時(shí)取等號(hào)． 所以這臺(tái)收割機(jī)使用14年，可使年均收益最大． 思維升華 運(yùn)用基本不等式求解應(yīng)用題時(shí)，要注意構(gòu)造符合基本不等式使用的形式，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件． 跟蹤演練2 小張于年初支出50萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運(yùn)輸收入均為25萬元．小張?jiān)谠撥囘\(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售收入為(25－x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年)． (1)大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑祝撥囘\(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出？ (2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小張獲得的年平均利潤最大？ (利潤＝累計(jì)收入＋銷售收入－總支出) 解 (1)設(shè)大貨車到第x年年底的運(yùn)輸累計(jì)收入與總支出的差為y萬元， 則y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50,0＜x≤10，x∈N*， 即y＝－x2＋20x－50,0＜x≤10，x∈N*， 由－x2＋20x－50＞0， 解得10－5＜x＜10＋5，而2＜10－5＜3， 故從第三年開始運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出． (2)因?yàn)槔麧櫍嚼塾?jì)收入＋銷售收入－總支出，所以銷售二手貨車后，小張的年平均利潤為 ＝[y＋(25－x)]＝(－x2＋19x－25) ＝19－， 又19－≤19－2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)等號(hào)成立． 答 第5年年底出售貨車，獲得的年平均利潤最大． 熱點(diǎn)三 和三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題 例3 (2018鎮(zhèn)江期末)如圖，準(zhǔn)備在墻上釘一個(gè)支架，支架由兩直桿AC與BD焊接而成，焊接點(diǎn)D把桿AC分成AD，CD兩段，其中兩固定點(diǎn)A，B間距離為1米， AB與桿AC的夾角為60，桿AC長為1米，若制作AD段的成本為a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作桿BD成本是4a元/米．設(shè)∠ADB＝α，則制作整個(gè)支架的總成本記為S元． (1)求S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并求出α的取值范圍； (2)問AD段多長時(shí)，S最??？ 解 (1)在△ABD中，由正弦定理得＝＝， ∴BD＝， AD＝＋， 則S＝a＋ 2a ＋ 4a＝a， 由題意得α∈. (2)令S′＝a＝0，設(shè)cos α0＝. α α0 cos α S′ － 0 ＋ S 極小值 ∴當(dāng)cos α＝時(shí)， S最小，此時(shí)sin α＝， AD＝＋＝. 思維升華 諸如航行、建橋、測(cè)量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題，常常需要應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì)，用三角函數(shù)知識(shí)來求解． 跟蹤演練3 某單位將舉辦慶典活動(dòng)，要在廣場(chǎng)上豎立一形狀為等腰梯形的彩門BADC(如圖)．設(shè)計(jì)要求彩門的面積為S(單位：m2)，高為h(單位：m)(S，h為常數(shù))．彩門的下底BC固定在廣場(chǎng)底面上，上底和兩腰由不銹鋼支架構(gòu)成，設(shè)腰和下底的夾角為α，不銹鋼支架的長度和記為l. (1)請(qǐng)將l表示成關(guān)于α的函數(shù)l＝f(α)； (2)問當(dāng)α為何值時(shí)l最小，并求最小值． 解 (1)過D作DH⊥BC于點(diǎn)H，如圖所示． 則∠DCB＝α，DH＝h， 則DC＝，CH＝. 設(shè)AD＝x，BC＝x＋. 因?yàn)镾＝h，則x＝－， 則l＝f(α)＝2DC＋AD ＝＋h. (2)由(1)可知，l＝f(α)＝＋h， 則f′(α)＝h＝h， 令f′(α)＝h＝0，得α＝. α f′(α) － 0 ＋ f(α) 極小值 所以lmin＝f＝h＋. 1．某學(xué)校有長度為14 m 的舊墻一面，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形、面積為126 m2的活動(dòng)室，工程條件是：①建1 m新墻的費(fèi)用為a元；②修1 m舊墻的費(fèi)用是元；③ 拆去1 m舊墻所得的材料，建1 m新墻的費(fèi)用為元，經(jīng)過討論有兩種方案： (1)利用舊墻的一段x m(0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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