陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法（2）教案 北師大版選修2-2.doc

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4 數(shù)學(xué)歸納法(2) 課標(biāo)要求 使學(xué)生了解歸納法, 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實(shí)質(zhì) 三維目標(biāo) 1． 掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題． 2． 培養(yǎng)學(xué)生觀察, 分析, 論證的能力, 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程, 體會類比的數(shù)學(xué)思想． 3． 努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率． 4． 通過對例題的探究，體會研究數(shù)學(xué)問題的一種方法(先猜想后證明), 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生初步形成做數(shù)學(xué)的意識和科學(xué)精神． 學(xué)情分析 數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點(diǎn)不應(yīng)該是方法的應(yīng)用．我認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．為此，我設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認(rèn)識當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)． 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】： 借助具體實(shí)例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用)，運(yùn)用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。 【教學(xué)難點(diǎn)】： 如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性；遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)。 提煉的課題 如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性 教學(xué)手段運(yùn)用 教學(xué)資源選擇 類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法；多媒體輔助課堂教學(xué) 教 學(xué) 過 程 環(huán)節(jié) 學(xué)生要解決的問題或任務(wù) 教師教與學(xué)生學(xué) 設(shè)計(jì)意圖 問題1 已知＝（n∈N）， (1)分別求；；；． (2)由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論？這個(gè)結(jié)論正確嗎？ 問題2 費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時(shí)，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n＝0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的．后來，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了＝4 294 967 297＝6 700 417641，從而否定了費(fèi)馬的推測．沒想到當(dāng)n＝5這一結(jié)論便不成立． 問題3 , 當(dāng)n∈N時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？ 驗(yàn)證： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝，是合數(shù)． 例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明 板書解答過程，注意解題規(guī)范，嚴(yán)防出現(xiàn)“依次類推”式的不完全歸納法；強(qiáng)調(diào)n=k成立必須應(yīng)用在證明n=k+1成立的過程中，不可應(yīng)用等差數(shù)列求和公式證明n=k+1成立。 證明： （1）當(dāng)n=1時(shí)，左式=1，右式=12，等式成立。 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立 即成立 則當(dāng)n=k+1時(shí) 所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立 綜合（1）（2）知，等式對于任意n∈N*都成立。 演示此求證式的含義 在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強(qiáng)學(xué)生對教學(xué)過程的參與．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥 培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識和數(shù)學(xué)概括能力．概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，我找的突破口就是學(xué)生的概括過程． 課堂檢測內(nèi)容 專家伴讀P13 打基礎(chǔ)， 測水平7，8不做 補(bǔ)充 若n為正整數(shù)，求證：n3+5n能被6整除。 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立； （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，則k3+5k能被6整除 則當(dāng)n=k+1時(shí)，（k+1）3+5(k+1)= k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6 由假設(shè)知 k3+5k能被6整除，而k(k+1)是2的倍數(shù)，即3k(k+1)為6的倍數(shù)， 第三項(xiàng)6也能被6整除，因此，(k3+5k)+3k (k+1)+6能被6整除。 綜合(1)(2)知，原命題成立。