廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢五 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 文.docx

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單元質(zhì)檢五　平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 (時(shí)間:45分鐘　滿分:100分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題6分,共72分) 1.(2018浙江,4)復(fù)數(shù)21-i(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 答案B 解析∵21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i, ∴復(fù)數(shù)21-i的共軛復(fù)數(shù)為1-i. 2.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),D為邊BC的中點(diǎn),且2OA+OB+OC=0,則(　　) A.AO=2OD B.AO=OD C.AO=3OD D.2AO=OD 答案B 解析由2OA+OB+OC=0,得OB+OC=-2OA=2AO, 即OB+OC=2OD=2AO,所以O(shè)D=AO,故選B. 3.若非零向量a,b滿足a⊥(2a+b),且a與b的夾角為2π3,則|a||b|= (　　) A.12 B.14 C.32 D.2 答案B 解析∵a⊥(2a+b),且a與b的夾角為2π3, ∴a(2a+b)=2a2+ab=2|a|2-12|a||b|=0. 又|a|≠0,|b|≠0,∴2|a|=12|b|, ∴|a||b|=14,故選B. 4.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠ABC=60,則BDCD=(　　) A.-32a2 B.-34a2 C.34a2 D.32a2 答案D 解析如圖,設(shè)BA=a,BC=b, 則BDCD=(BA+BC)BA =(a+b)a=a2+ab =a2+aacos60 =a2+12a2=32a2. 5.(2018河北衡水中學(xué)模擬)已知復(fù)數(shù)z=a+a+i3-i(a∈R,i為虛數(shù)單位),若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為-12,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案A 解析由題意,得 z=a+a+i3-i=a+(a+i)(3+i)(3-i)(3+i)=13a-110+(a+3)i10, ∴z=13a-110-(a+3)i10. 又復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為-12, ∴-a+310=-12,解得a=2. ∴z=52+12i, ∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限. 6.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x軸上存在一點(diǎn)P使APBP有最小值,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(　　) A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 答案C 解析設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,0),則AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),APBP=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.當(dāng)x=3時(shí),APBP有最小值1. ∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,0). 7.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ為實(shí)數(shù),(b+λa)⊥c,則λ的值為(　　) A.-311 B.-113 C.12 D.35 答案A 解析由題意,得b+λa=(1,0)+λ(1,2)=(1+λ,2λ). 因?yàn)閏=(3,4),(b+λa)⊥c, 所以(b+λa)c=0,即(1+λ,2λ)(3,4)=3+3λ+8λ=0, 解得λ=-311,故選A. 8. 如圖,在正方形ABCD中,E為BC的中點(diǎn),F為AE的中點(diǎn),則DF=(　　) A.-12AB+34AD B.12AB+23AD C.13AB-12AD D.12AB-34AD 答案D 解析由題意,得DF=AF-AD,AE=AB+BE. ∵E為BC的中點(diǎn),F為AE的中點(diǎn), ∴AF=12AE,BE=12BC. ∴DF=AF-AD=12AE-AD=12(AB+BE)-AD =12AB+14BC-AD.又BC=AD, ∴DF=12AB-34AD. 9.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,且向量a,b的夾角為π4.若a-λb與b垂直,則實(shí)數(shù)λ的值為(　　) A.-12 B.12 C.-24 D.24 答案D 解析因?yàn)閍-λb與b垂直,且ab=12cosπ4=2, 所以(a-λb)b=2-4λ=0,解得λ=24,故選D. 10.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos α,2sin α),則向量OA與向量OB的夾角的取值范圍是(　　) A.0,π4 B.π4,5π12 C.5π12,π2 D.π12,5π12 答案D 解析 由題意,得OA=OC+CA=(2+2cosα,2+2sinα),所以點(diǎn)A的軌跡是圓(x-2)2+(y-2)2=2, 如圖,當(dāng)A為直線OA與圓的切點(diǎn)時(shí),向量OA與向量OB的夾角分別達(dá)到最大值和最小值,故選D. 11.(2018四川重慶二診)已知向量a,b滿足|a-b|=3,且b=(0,-1).若向量a在向量b方向上的投影為-2,則|a|=(　　) A.2 B.23 C.4 D.12 答案A 解析由|a-b|=3,得|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=9, 所以ab=|a|2+|b|2-92=|a|2-82. 由向量a在向量b方向上的投影為-2, 得ab|b|=|a|2-82=-2, 即|a|2=4,所以|a|=2,故選A. 12.已知|OA|=|OB|=2,點(diǎn)C在線段AB上,且|OC|的最小值為1,則|OA-tOB|(t∈R)的最小值為(　　) A.2 B.3 C.2 D.5 答案B 解析依題意,可將點(diǎn)A,B置于圓x2+y2=4上;由點(diǎn)C在線段AB上,且|OC|的最小值為1,得原點(diǎn)O到線段AB的距離為1,∠AOB=180-230=120,(OA-tOB)2=4+4t2-2t22cos120=4t2+4t+4=4t+122+3的最小值為3,因此|OA-tOB|的最小值為3. 二、填空題(本大題共4小題,每小題7分,共28分) 13.已知i為虛數(shù)單位,且復(fù)數(shù)z滿足(z-i)(1+i)2+i=2i,則|z|=　　　　　. 答案17 解析由(z-i)(1+i)2+i=2i,得z=2i(2+i)1+i+i=1+4i, 所以|z|=12+42=17. 14.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E為BC的中點(diǎn).若F為該矩形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn),則AEAF的最大值為　　　　　. 答案92 解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則E2,12. 設(shè)F(x,y),則0≤x≤2,0≤y≤1, 則AEAF=2x+12y, 令z=2x+12y,當(dāng)z=2x+12y過(guò)點(diǎn)(2,1)時(shí),AEAF取最大值92. 15.若向量a,b滿足:a=(-3,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,則|b|=　　　　　. 答案2 解析∵a=(-3,1),∴|a|=2. ∵(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b, ∴(a+2b)a=0,(a+b)b=0, 即|a|2+2ab=0, ① |b|2+ab=0. ② 由①-②2,得|a|2=2|b|2,則|b|=2. 16.在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲線y=1-x2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則BPBA的取值范圍是　　　　　　　. 答案[0,2+1] 解析如圖,畫出函數(shù)y=1-x2的圖象. 這是以O(shè)(0,0)為圓心,以1為半徑的一個(gè)半圓. 不妨用虛線把這個(gè)半圓補(bǔ)充為一個(gè)圓. 設(shè)BP與BA的夾角為θ, 則θ∈[0,90]. 當(dāng)θ∈[0,45]時(shí),cos(45-θ)=|BP|2, 當(dāng)θ∈[45,90]時(shí),cos(θ-45)=|BP|2. 因?yàn)閥=cosx,x∈R是偶函數(shù), 所以|BP|=2cos(θ-45),θ∈[0,90]. BPBA=|BP||BA|cosθ=22cos(θ-45)cosθ =2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1 =2sin(2θ+45)+1. 因?yàn)棣取蔥0,90], 所以2θ+45∈[45,225]. 當(dāng)2θ+45=90,即θ=22.5時(shí),BPBA取最大值2+1, 當(dāng)2θ+45=225,即θ=90時(shí),BPBA取最小值0, 所以BPBA的取值范圍是[0,2+1].