（浙江專用）2020版高考數學一輪復習 專題9 平面解析幾何 第70練 橢圓的定義與標準方程練習（含解析）.docx

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第70練 橢圓的定義與標準方程 [基礎保分練] 1.(2019杭州模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，若長軸的長為6，且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標準方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 2.(2019杭州模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數列，則橢圓C的離心率為(　　) A.B.C.D. 3.以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為(　　) A.1B.C.2D.2 4.已知P為橢圓C上一點，F1，F2為橢圓的焦點，且|F1F2|＝2，若|PF1|與|PF2|的等差中項為|F1F2|，則橢圓C的標準方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 5.設P是橢圓＋＝1上一點，P到兩焦點F1，F2的距離之差為2，則△PF1F2是(　　) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形 6.已知橢圓＋＝1(a>b>0)，M為橢圓上一動點，F1為橢圓的左焦點，則線段MF1的中點P的軌跡是(　　) A.圓B.橢圓C.線段D.直線 7.已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點M在該橢圓上，且＝0，則點M到y(tǒng)軸的距離為(　　) A.B.C.D. 8.設P是橢圓＋＝1上一點，M，N分別是兩圓：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的點，則|PM|＋|PN|的最小值、最大值分別為(　　) A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12 9.(2019學軍中學月考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(1,0)，其關于直線y＝bx的對稱點Q在橢圓上，則離心率e＝________，S△FOQ＝________. 10.(2018廣東五校協(xié)作體考試)已知橢圓C：＋y2＝1的兩焦點為F1，F2，點P(x0，y0)滿足0<＋y<1，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________. [能力提升練] 1.已知橢圓＋＝1的上焦點為F，直線x＋y＋1＝0和x＋y－1＝0與橢圓相交于點A，B，C，D，則|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|等于(　　) A.2B.4C.4D.8 2.(2019浙大附中模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，直線y＝x與C相交于A，B兩點，且AF⊥BF，則C的離心率為(　　) A.B.－1C.D.－1 3.(2019金華十校聯(lián)考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)經過圓x2＋y2－4x－2y＝0的圓心，則ab的取值范圍是(　　) A. B.[4，＋∞) C. D.(0,4] 4.橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P是橢圓上任意一點，則||||的取值范圍是(　　) A.(0,4] B.(0,3] C.[3,4) D.[3,4] 5.已知橢圓＋＝1(m>0)的一個焦點是(0,1)，若橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F2構成的△PF1F2的面積為，則點P的坐標是______________. 6.若橢圓＋＝1的焦點在x軸上，過點作圓x2＋y2＝1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓的方程為__________________________. 答案精析 基礎保分練 1．B　2.A　3.D　4.B　5.B　6.B　7.B　8.C 9.　 解析　設點Q(x，y)，則由點Q與橢圓的右焦點F(1,0)關于直線y＝bx對稱得解得 代入橢圓C的方程得 ＋＝1， 結合a2＝b2＋1解得 則橢圓的離心率e＝＝， S△FOQ＝|OF| ＝1＝. 10．[2,2) 解析　由點P(x0，y0)滿足0<＋y<1， 可知P(x0，y0)一定在橢圓內(不包括原點)，因為a＝，b＝1， 所以由橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2， 當P(x0，y0)與F1或F2重合時， |PF1|＋|PF2|＝2， 又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2， 故|PF1|＋|PF2|的取值范圍是[2,2)． 能力提升練 1．D　[設橢圓的下焦點為F1，連接CF1，DF1，因為＋＝1， 所以c＝1. 所以F(0,1)， F1(0，－1)， 由題意知，直線x＋y－1＝0過點F，直線x＋y＋1＝0過點F1， 由橢圓的對稱性知，四邊形CFBF1為平行四邊形，AFDF1為平行四邊形， 所以|AF|＝|DF1|，|BF1|＝|CF|. 所以|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|DF1|＋|BF|＋|BF1|＋|DF|＝4a＝8.] 2．D　[由 得到(3a2＋b2)x2＝a2b2， 解得x＝， 分別代入y＝x，可得y＝， 不妨令A， B， 則＝， ＝， 因為AF⊥BF，所以＝0， 即c2－－＝0， 即c2＝， 又b2＝a2－c2， 所以c2(3a2＋a2－c2)＝4a2(a2－c2)， 整理得4a2c2－c4＝4a4－4a2c2， 兩邊同除以a4并整理得e4－8e2＋4＝0， 解得e2＝4－2或e2＝4＋2(舍去)， 由e2＝4－2可得e＝－1(舍負)．] 3．B　[x2＋y2－4x－2y＝0即為(x－2)2＋(y－1)2＝5，圓心為(2,1)， ∵＋＝1(a>b>0)經過圓x2＋y2－4x－2y＝0的圓心，∴＋＝1， ∵＋＝1≥2＝， ∴ab≥4， 當且僅當b2＝2，a2＝8時等號成立． 據此可得：ab的取值范圍是[4，＋∞)．] 4．D　[由橢圓定義，知||＋||＝4， 且橢圓＋＝1的長軸長為4，焦距為2， 所以1≤||≤3.令||＝t， 則||＝4－t. 令f(t)＝||||＝t(4－t) ＝－t2＋4t，t∈[1,3]， 由二次函數的性質可知，函數f(t)在t＝2處取得最大值， 即f(t)max＝f(2)＝－22＋42＝4， 函數f(t)在t＝1或t＝3處取得最小值， 由于f(1)＝f(3)＝3， 故f(t)min＝3，即||||的取值范圍是[3,4]，故選D.] 5．(，0) 解析　由題意知焦點在y軸上， 所以a2＝3，b2＝m，由b2＝a2－c2＝2， 得m＝2，由S＝|F1F2||xP|＝， 得xP＝，代入橢圓方程得yP＝0， 故點P的坐標是(，0)． 6.＋＝1 解析　由題意可設斜率存在的切線的方程為y－＝k(x－1)(k為切線的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0， 由＝1，解得k＝－， 所以圓x2＋y2＝1的一條切線方程為3x＋4y－5＝0， 求得切點A， 當直線l與x軸垂直時，k不存在，直線方程為x＝1， 易知另一切點為B(1,0)， 則直線AB的方程為y＝－2x＋2， 令y＝0得右焦點為(1,0)，即c＝1. 令x＝0得上頂點為(0,2)，即b＝2，所以a2＝b2＋c2＝5， 故所求橢圓的方程為＋＝1.