（浙江專版）2019年高考數(shù)學一輪復習 專題2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性（講）.doc

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第03節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預測 函數(shù)的奇偶性與周期性 理解函數(shù)的奇偶性，會判斷函數(shù)的奇偶性，了解函數(shù)的周期性. 2018浙江.5 1.判斷函數(shù)的奇偶性與周期性； 2.函數(shù)的奇偶性、周期性，通常與抽象函數(shù)、函數(shù)的圖象以及函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合考查，浙江卷常通過三角函數(shù)加以考查． 3.備考重點： (1) 抽象函數(shù)的奇偶性與周期性； (2)利用奇偶性與周期性求參數(shù)取值范圍. 【知識清單】 1.函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù) 關(guān)于y軸對稱 奇函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù) 關(guān)于原點對稱 對點練習 2.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期. (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期. 【重點難點突破】 考點1 函數(shù)奇偶性的判斷 【1-1】【浙江省杭州市學軍中學2018年5月模擬】函數(shù)，則 （ ） A. 是非奇非偶函數(shù) B. 奇偶性與有關(guān) C. 奇偶性與有關(guān) D. 以上均不對 【答案】A 點睛：（1）本題主要考查函數(shù)奇偶性的判定，意在考查學生對該基礎(chǔ)知識的掌握能力.(2)判斷函數(shù)的奇偶性常用定義法，首先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則繼續(xù)求；最后比較和的關(guān)系，如果有=，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果有=-，則函數(shù)是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù). 【1-2】【山東省青島市2018年春季高考二?！肯铝泻瘮?shù)是偶函數(shù)的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：利用偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性. 詳解：對于選項A,，所以函數(shù)是偶函數(shù). 【領(lǐng)悟技法】 判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件： (1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域； (2)判斷與是否具有相等關(guān)系或者相反關(guān)系. 在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式 (奇函數(shù))或 (偶函數(shù))是否成立. 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆河南省南陽市第一中學高三第二十次考】若函數(shù)為偶函數(shù)，則__________． 【答案】或 【解析】分析：根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，觀察其特征，可得為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的特征，若奇函數(shù)在0點有定義，可得一定有，得到相應(yīng)的關(guān)系式，求得結(jié)果. 詳解：令，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)， 可知為奇函數(shù)，利用， 可得，所以或. 【變式二】【2017北京，理5】已知函數(shù)，則 （A）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （C）是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 【答案】A 【解析】，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)， 是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，故選A. 考點2 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及應(yīng)用 【2-1】【2018年浙江卷】函數(shù)y=sin2x的圖象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【2-2】【2018年理數(shù)全國卷II】已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足．若，則 A. B. 0 C. 2 D. 50 【答案】C 【解析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果. 詳解：因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C. 點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解． 【2-3】【2017課標1，理5】函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【領(lǐng)悟技法】 1．已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式． 抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于的方程，從而可得的解析式． 2．已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達式及奇偶性求參數(shù)．常常采用待定系數(shù)法：利用產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對等性可得知字母的值． 3．奇偶性與單調(diào)性綜合時要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反． 【觸類旁通】 【變式一】【2018年理數(shù)全國卷II】函數(shù)的圖像大致為 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 點睛：有關(guān)函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復． 【變式二】【2018屆浙江省杭州市第二中學6月熱身】設(shè)函數(shù)，其中表示中的最小者.下列說法錯誤的（ ） A. 函數(shù)為偶函數(shù) B. 若時，有 C. 若時， D. 若時， 【答案】D 【解析】分析：的圖像可由三個函數(shù)的圖像得到（三圖壘起，取最下者），然后依據(jù)圖像逐個檢驗即可． 詳解：在同一坐標系中畫出的圖像（如圖所示）， 故的圖像為圖中粗線所示． 的圖像關(guān)于軸對稱，故為偶函數(shù)，故A正確． 當時，，； 當時，，； 當時，，； 當時，，此時有，故B成立． 從圖像上看，當時，有成立，令，則，故，故C成立． 取，則，，，故D不成立． 綜上，選D． 點睛：一般地，若（其中表示中的較小者），則的圖像是由這兩個函數(shù)的圖像的較低部分構(gòu)成的． 【變式三】【2018屆黑龍江省雙鴨山市第一中學9月月考】定義在上的偶函數(shù) ，當時，，且在上恒成立，則關(guān)于的方程的根的個數(shù)敘述正確的是（ ） A. 有兩個 B. 有一個 C. 沒有 D. 上述情況都有可能 【答案】A 【解析】 【方法點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、對稱性以及函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于難題.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)把在上恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的圖象位于的圖象上方，然后求出，再利用數(shù)形結(jié)合將方程f(2x+1)=t的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象和直線的交點. 考點3 函數(shù)周期性及綜合應(yīng)用 【3-1】【陜西省咸陽市2018年5月高考信息專遞】已知奇函數(shù)滿足，則（ ） A. 函數(shù)是以為周期的周期函數(shù) B. 函數(shù)是以為周期的周期函數(shù) C. 函數(shù)是奇函數(shù) D. 函數(shù)是偶函數(shù) 【答案】B 【解析】分析: 根據(jù)題意，由奇函數(shù)的定義可得f（﹣x）=﹣f（x），又由f（x+1）=f（1﹣x），分析可得f（x+2）=﹣f（x），進而可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），由函數(shù)周期性的定義分析可得答案． 詳解: 根據(jù)題意，定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)， 則滿足f（﹣x）+f（x）=0，即f（﹣x）=﹣f（x）， 又由， 則f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1﹣（x+1）]=f（﹣x）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x）， f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 故函數(shù)的周期為4， 故選：B． 【3-2】【2018屆廣東省東莞市考前沖刺】已知奇函數(shù)滿足，且當時，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由題意，推出，從而得到，再由時，和函數(shù)的奇偶性，即可計算結(jié)果. 詳解：因為函數(shù)為奇函數(shù)滿足， 所以，即函數(shù)表示以為周期的周期函數(shù)， 因為當時，， 所以，故選D. 【3-3】【2018年江蘇卷】函數(shù)滿足，且在區(qū)間上， 則的值為________． 【答案】 【解析】分析：先根據(jù)函數(shù)周期將自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，代入對應(yīng)函數(shù)解析式求值，再代入對應(yīng)函數(shù)解析式求結(jié)果. 詳解：由得函數(shù)的周期為4，所以因此 【領(lǐng)悟技法】 1．求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝計算．遞推法：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.換元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，則f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． 2．判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題． 3．根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期． 4.關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想． 【觸類旁通】 【變式一】【2017湖南統(tǒng)一考試】已知定義域為的奇函數(shù)滿足，且當時， ，則（ ） A. -2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】因為奇函數(shù)滿足，所以，即周期為3，所以 ，故選D． 【變式二】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 017)＋f(2 019)的值為(　　) A.－1 B.1 C.0 D.2 【答案】C 【解析】由題意，得， 又∵是定義在R上的偶函數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，∴，， ∴，即. ∴. 【變式三】【【衡水金卷】2018屆四省名校第三次大聯(lián)考】已知為定義在上周期為2的奇函數(shù)，當時，，若，則（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】A 【易錯試題常警惕】 易錯典例1：若函數(shù)f(x)＝在定義域上為奇函數(shù)，則實數(shù)k＝________. 易錯分析：解題中忽視函數(shù)f(x)的定義域，直接通過計算f(0)＝0得k＝1. 正確解析：∵， ∴ ，由可得，∴． 溫馨提醒：已知函數(shù)的奇偶性，利用特殊值確定參數(shù)，要注意函數(shù)的定義域． 易錯典例2：定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，T是它的一個正周期．若將方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－T，T]上的根的個數(shù)記為n，則n可能為 (　　) A．0 B．1 C．3 D．5 易錯分析：沒有經(jīng)過嚴密的邏輯分析，直接根據(jù)，就想當然地認為方程的根的個數(shù)就只有3個． 溫馨提醒：對于抽象函數(shù)要善于找具體的“函數(shù)模型”，聯(lián)想其性質(zhì)去推證欲證的函數(shù)性質(zhì)，但不能用具體函數(shù)代替去解決問題；解決“抽象函數(shù)”問題一般采用賦值法，本題可聯(lián)系的圖象和性質(zhì)類比解題． 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結(jié)合思想 我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性.我們認為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 向量的幾何表示，三角形、平行四邊形法則，使向量具備形的特征，而向量的坐標表示和坐標運算又具備數(shù)的特征，因此，向量融數(shù)與形于一身，具備了幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”.因此，在應(yīng)用向量解決問題或解答向量問題時，要注意恰當?shù)剡\用數(shù)形結(jié)合思想，將復雜問題簡單化、將抽象問題具體化，達到事半功倍的效果. 【典例】【2018屆吉林省吉大附中四模】已知定義域為的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期為3的周期函數(shù)，當時， ，則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是__________． 【答案】9 【解析】分析：根據(jù)定義域為R和奇函數(shù)的定義可得 ，利用周期為3和時， 可畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像判定零點個數(shù)。 詳解： 因為函數(shù)定義域為R，周期為3，所以 如圖所示，畫出函數(shù)的函數(shù)圖像，由圖像可知 在 上的零點為 所以共有9個零點