（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題11 函數(shù)零點 理.doc

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專題11 函數(shù)零點 【母題原題1】【2018江蘇，理11】若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為 ▲ ． 分析：先結(jié)合三次函數(shù)圖象確定在上有且僅有一個零點的條件，求出參數(shù)a,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得結(jié)果. 點睛：對于函數(shù)零點個數(shù)問題，可利用函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)取值條件．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等． 【母題原題2】【2017江蘇，理14】設(shè)是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上, 其中集合，則方程的解的個數(shù)是 ▲ . 【答案】8 【解析】由于，則需考慮的情況 在此范圍內(nèi)，且時，設(shè)，且互質(zhì) 【考點】函數(shù)與方程 【母題原題3】【2015江蘇，理13】已知函數(shù)，，則方程實根的個數(shù)為 【答案】4 【解析】由題意得：求函數(shù)與交點個數(shù)以及函數(shù)與交點個數(shù)之和，因為，所以函數(shù)與有兩個交點，又，所以函數(shù)與有兩個交點，因此共有4個交點 【考點定位】函數(shù)與方程 【命題意圖】 高考對本部分內(nèi)容的考查以能力與思想方法為主，重點考查函數(shù)與方程. 【命題規(guī)律】1．函數(shù)的零點問題是命題熱點，經(jīng)常考查函數(shù)零點存在的區(qū)間和零點個數(shù)的判斷，難度不大． 2．函數(shù)零點性質(zhì)的應(yīng)用主要是利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的范圍． 【答題模板】解答本類題目，以2018年試題為例，一般考慮如下三步： 第一步：明確目標(biāo)函數(shù). 第二步：根據(jù)函數(shù)圖像與性質(zhì)研究零點問題. 第三步：結(jié)合圖像討論參數(shù)取值范圍. 【方法總結(jié)】函數(shù)零點應(yīng)用問題的常見類型及解題策略 (1)已知函數(shù)零點存在求參數(shù)．根據(jù)函數(shù)零點或方程的根求解參數(shù)應(yīng)分三步：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍． (2)已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)．常利用數(shù)形結(jié)合法． (3)借助函數(shù)零點比較大小．要比較f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)，f(b)與0的大小． 1．【江蘇省南通市2018屆高三最后一卷 --- 備用題數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若函數(shù)恰有個零點，則的取值范圍是__________． 【答案】. 在上有兩個交點， 只需在有一個交點即可， 畫出兩函數(shù)圖象，如圖， 由圖可得， ， 故答案為. 點睛：本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題. 數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)． 2．【江蘇省蘇州市2018屆高三調(diào)研測試（三）數(shù)學(xué)試題】如果函數(shù)在其定義域內(nèi)總存在三個不同實數(shù)，滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì).已知函數(shù)具有性質(zhì) ，則實數(shù)的取值范圍為__________. 【答案】 ， . 故答案為： 點睛：（1）零點問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題進(jìn)行求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想． （2）求零點范圍時用數(shù)形結(jié)合求解可減少思維量，作圖時要盡量準(zhǔn)確. 3．【江蘇省鹽城中學(xué)2018屆高三考前熱身2數(shù)學(xué)試卷】已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為____． 【答案】. 綜上，范圍是. 給答案為：. 點睛：本題中涉及根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)取值，是高考經(jīng)常涉及的重點問題，（1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解. 4．【江蘇省南京師大附中2018屆高三高考考前模擬考試數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f (x)]－a＝0（a＞0）有6個實數(shù)根（互不相同），則實數(shù)a的取值范圍是______． 【答案】 ，由g[f（x）]-a=0（a＞0）得g[f（x）]=a，（a＞0）設(shè)t=f（x），則g（t）=a，（a＞0）由y=g（t）的圖象知，①當(dāng)0＜a＜1時，方程g（t）=a有兩個根-4＜t1＜-3，或-4＜t2＜-2，由t=f（x）的圖象知，當(dāng)-4＜t1＜-3時，t=f（x）有0個根，當(dāng)-4＜t2＜-2時，t=f（x）有0個根，此時 點睛：本題主要考查根的個數(shù)的判斷，利用換元法轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大． 5．【江蘇省海門中學(xué)2018屆高三5月考試（最后一卷）數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且只有2個零點，則實數(shù)m的取值范圍是______. 【答案】. 【解析】分析：將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點的問題，結(jié)合函數(shù)的圖象整理計算即可求得最終結(jié)果. 詳解：當(dāng)時，函數(shù)的零點滿足：， 很明顯不是其零點，則：， 當(dāng)時，函數(shù)的零點滿足：，則：， 則原問題等價于函數(shù)與函數(shù)有兩個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍. 很明顯單調(diào)遞減， 且當(dāng)時，， 繪制函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可知，實數(shù)m的取值范圍是. 點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法： (1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點． (2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點． (3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點． 6．【江蘇省揚州樹人學(xué)校2018屆高三模擬考試（四）數(shù)學(xué)試題】已知等邊的邊長為2，點在線段上，若滿足的點恰有兩個，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】. ∴關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)根． 設(shè)， 則函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點， ∴，解得． ∴實數(shù)的取值范圍是． 點睛：（1）用定義進(jìn)行向量的數(shù)量積運算時，有時要注意選擇合適的基底，將所有向量用同一基底表示，然后再根據(jù)數(shù)量積的運算律求解． （2）對于一元二次方程根的分布問題，可根據(jù)“三個二次”間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為不等式（組），通過解不等式（組）可得所求． 7．【江蘇省揚州樹人學(xué)校2018屆高三模擬考試（四）數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)（，為正實數(shù)）只有一個零點，則的最小值為__________． 【答案】. ∴的最小值為. 點睛：應(yīng)用基本不等式求最值時，一定要滿足不等式成立的條件，即“一正、二定、三相等”，若題目中不滿足使用基本不等式的條件，則需要通過“拆”、“拼”、“湊”等手段進(jìn)行變形，以得到能使用不等式的條件，然后再利用不等式． 8．【江蘇省南京市2018屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題】已知為自然對數(shù)的底數(shù)．若存在，使得函數(shù)在上存在零點，則的取值范圍為_________． 【答案】 點睛：(1)本題主要考查函數(shù)的零點問題和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合的能力. (2)本題的關(guān)鍵有兩點，其一是轉(zhuǎn)化為存在零點，其二是如何數(shù)形結(jié)合分析兩個函數(shù)的圖像求出a的最大值和最小值. 9．【江蘇省2018年高考沖刺預(yù)測卷一數(shù)學(xué)】已知，若函數(shù)且有且只有五個零點，則的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】由題意可知，是的一個零點， 當(dāng)式，由可得： 點睛：本題考查了函數(shù)的零點問題，先求出一個零點，然后分離含參量，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，求出有四個交點的情況，即最值問題。本題較為綜合，有一定難度。 10．【江蘇省姜堰、溧陽、前黃中學(xué)2018屆高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】若方程有四個不同的實數(shù)根，且，則的取值范圍是____. 【答案】 【解析】如圖，由|x2﹣2x﹣1|﹣t=0得到：t=|（x﹣1）2﹣2|，則0＜t＜2． 點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決； (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．