（京津?qū)Ｓ茫?019高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 優(yōu)編增分練：8＋6分項練4 平面向量與數(shù)學(xué)文化 理.doc

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8＋6分項練4　平面向量與數(shù)學(xué)文化 1．(2018貴陽模擬)如圖，在△ABC中，BE是邊AC的中線，O是BE邊的中點，若＝a，＝b，則等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案　B 解析　∵在△ABC中，BE是AC邊上的中線， ∴＝， ∵O是BE邊的中點， ∴＝(＋)， ∴＝＋， ∵＝a，＝b， ∴＝a＋b. 2．若兩個非零向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　設(shè)a，b的夾角為θ，θ∈[0，π]， 則由|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2， 得(2a＋b)2＝12， 即(2a)2＋4ab＋b2＝4＋4ab＋4＝12， 所以ab＝1，所以cos θ＝，所以θ＝. 3．(2018上饒模擬)設(shè)D，E為正三角形ABC中BC邊上的兩個三等分點，且BC＝2，則等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如圖， ||＝||＝2，〈，〉＝60， ∵D，E是邊BC的兩個三等分點， ∴＝＝ ＝||2＋＋||2＝4＋22＋4＝. 4．(2018南昌模擬)在《周易》中，長橫“”表示陽爻，兩個短橫“”表示陰爻．有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有23＝8(種)組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”．有放回地取陽爻和陰爻一次有兩種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次有八種情況．所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應(yīng)不同的解析．在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻和三個陰爻的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在一次所謂“算卦”中得到六爻， 基本事件的總數(shù)為n＝26＝64， 這六爻恰好有三個陽爻包含的基本事件數(shù)為m＝C＝20， 所以這六爻恰好有三個陽爻和三個陰爻的概率是P＝＝＝. 5．(2018聊城模擬)在△ABC中，BC邊上的中線AD的長為2，點P是△ABC所在平面上的任意一點，則＋的最小值為(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案　C 解析　建立如圖所示的平面直角坐標系，使得點D在原點處，點A在y軸上，則A(0,2)． 設(shè)點P的坐標為(x，y)， 則＝，＝(－x，－y)， 故＋＝＝2＝2 ＝2－2≥－2，當且僅當x＝0，y＝1時等號成立． 所以＋的最小值為－2. 6．(2018大連模擬)關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的試驗來估計π的值，試驗步驟如下：①先請高二年級 500名同學(xué)每人在小卡片上隨機寫下一個實數(shù)對(x，y)(00且 即x2＋y2>1且 面積為1－， 因為統(tǒng)計能與1構(gòu)成銳角三角形三邊的數(shù)對(x，y)的個數(shù)m＝113， 所以＝1－，所以π＝. 7．(2018南平質(zhì)檢)我國古代著名的數(shù)學(xué)著作有《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《孫丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、《緝古算機》等10部算書，被稱為“算經(jīng)十書”．某校數(shù)學(xué)興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學(xué)對古代著名的數(shù)學(xué)著作產(chǎn)生濃厚的興趣．一天，他們根據(jù)最近對這十部書的閱讀本數(shù)情況說了這些話，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；?。骸氨纫叶唷?，有趣的是，他們說的這些話中，只有一個人說的是真實的，而這個人正是他們四個人中讀書本數(shù)最少的一個(他們四個人對這十部書閱讀本數(shù)各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人讀書本數(shù)由少到多的排列是(　　) A．乙甲丙丁 B．甲丁乙丙 C．丙甲丁乙 D．甲丙乙丁 答案　D 解析　由題意可列表格如下： 甲 乙 丙 丁 甲說 丁>乙 乙說 甲>丙 丙說 丙>丁 丁說 丙>乙 對于選項A，甲，丁說的都對，不符合只有一個人對；對于選項B，丙，丁說的都對，也不符合只有一個人對；對于選項C，乙說的對，但乙不是最少的，不符合；對于選項D，甲說的對，也正好是最少的，符合，選D. 8．已知在三角形ABC中，AB0得，t的最大值為3， 故判斷框應(yīng)填入的是t<4？， 即m＝4. 13．(2018湘潭模擬)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有倉，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛，問高幾何？”其意思為：“今有一個長方體(記為ABCD－A1B1C1D1)的糧倉，寬3丈(即AD＝3丈)，長4丈5尺，可裝粟一萬斛，問該糧倉的高是多少？”已知1斛粟的體積為2.7立方尺，一丈為10尺，則下列判斷正確的是________．(填寫所有正確結(jié)論的序號) ①該糧倉的高是2丈； ②異面直線AD與BC1所成角的正弦值為； ③長方體ABCD－A1B1C1D1的外接球的表面積為π平方丈． 答案?、佗? 解析　由題意，因為10 0002.7＝3045AA1，解得AA1＝20(尺)＝2(丈)，故①正確； 異面直線AD與BC1所成角為∠CBC1， 則sin∠CBC1＝＝，故②錯誤， 此長方體的長、寬、高分別為4.5丈、3丈、2丈， 故其外接球的表面積為 4π2＝π(平方丈)， 所以③是正確的． 14．(2018咸陽模擬)已知圓的半徑為1，A，B，C，D為該圓上四個點，且＋＝，則△ABC面積的最大值為________． 答案　1 解析　如圖所示，由＋＝知，四邊形ABDC為平行四邊形， 又A，B，C，D 四點共圓， ∴四邊形ABDC 為矩形，即BC 為圓的直徑， △ABC的面積S＝ABAC≤ ＝AD2， ∴當AD是圓的直徑時，△ABC的面積最大． ∴當AB＝AC 時， △ABC的面積取得最大值4＝1.