高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.7 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)學(xué)案 蘇教版必修4.doc

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三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 一、考點(diǎn)突破 知識(shí)點(diǎn) 課標(biāo)要求 題型 說明 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1. 會(huì)畫正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象。 2. 掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)。 填空 解答 三角函數(shù)圖象及性質(zhì)是高考的高頻考點(diǎn)，也是學(xué)習(xí)后面三角知識(shí)的基礎(chǔ)。 二、重難點(diǎn)提示 重點(diǎn)：正、余弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)及“五點(diǎn)法”作圖，以及正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)。 難點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，并會(huì)運(yùn)用性質(zhì)解決簡單問題。 一、正弦、余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì) 函數(shù) 正弦函數(shù)y＝sin x，x∈R 余弦函數(shù)y＝cos x，x∈R 圖象 定義域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 最值 當(dāng)x＝2kπ＋（k∈Z）時(shí)，ymax＝1； 當(dāng)x＝2kπ－（k∈Z）時(shí)，ymin＝－1 當(dāng)x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1； 當(dāng)x＝2kπ＋π（k∈Z）時(shí)，ymin＝－1 周期 2π 2π 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 單調(diào)性 在[2kπ－，2kπ＋]（k∈Z）上是增函數(shù)； 在[2kπ＋，2kπ＋]（k∈Z）上是減函數(shù) 在[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上是增函數(shù)； 在[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上是減函數(shù) 對(duì)稱軸 對(duì)稱中心 二、正切函數(shù)的圖象及性質(zhì) 函數(shù) y＝tan x 圖象 定義域 {x|x≠kπ＋，k∈Z} 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)性 在（kπ－，kπ＋）（k∈Z）上都是增函數(shù) 【核心突破】 ①正切函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，但不能說函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)。 ②函數(shù)其定義域由不等式得到，其周期為。 ③正切函數(shù)是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是；不是軸對(duì)稱圖形，沒有對(duì)稱軸。 示例： 函數(shù)y＝2cos（2x－）的對(duì)稱中心為 。 思路分析：本題主要利用正、余弦函數(shù)的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸坐標(biāo)再結(jié)合整體代入的思想求解。 答案：y＝cos x的對(duì)稱中心為（kπ＋，0）（k∈Z）， 由2x－＝kπ＋， 得x＝＋π（k∈Z）； 故y＝2cos（2x－）的對(duì)稱中心為（＋π，0）（k∈Z）。 技巧點(diǎn)撥：牢記y＝cos x的對(duì)稱中心為（kπ＋，0）（k∈Z），且對(duì)稱中心是點(diǎn)，不要寫成x＝kπ＋（k∈Z）。 例題1 求函數(shù)y＝cos2 x＋2sin x－2的值域。 思路分析：對(duì)于內(nèi)外兩層的復(fù)合型函數(shù)常采用換元法將其拆分成基礎(chǔ)函數(shù)模型。故可令t＝sin x，化成關(guān)于x的二次函數(shù)求解。 答案：令t＝sin x（x∈R），則由－1≤sin x≤1， 知－1≤t≤1， ∴y＝cos2 x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1 ＝－t2＋2t－1 ＝－（t－1）2（－1≤t≤1）， ∵－1≤t≤1，∴－2≤t－1≤0， ∴0≤（t－1）2≤4， 即－4≤y≤0， 故函數(shù)y＝cos2x＋2sin x－2的值域?yàn)閇－4，0]。 技巧點(diǎn)撥： 1. 求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c（或y＝acos2x＋bcos x＋c），x∈D的函數(shù)的值域或最值時(shí)，通過換元，令t＝sin x（或cos x），將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可，求解過程中要注意t＝sin x（或cos x）的有界性。 2. 求最值時(shí)要注意三角函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)求值域，尤其要注意題目中是否給定了區(qū)間。 例題2 比較tan 1，tan 2，tan 3的大小。 思路分析：把各角化歸到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較。 答案：tan 2＝tan（2－π），tan 3＝tan（3－π）， 又∵＜2＜π， ∴－＜2－π＜0， ∵＜3＜π， ∴－＜3－π＜0， 顯然－＜2－π＜3－π＜1＜， 且y＝tan x在（－，）內(nèi)是增函數(shù)， ∴tan（2－π）＜tan（3－π）＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 1。 技巧點(diǎn)撥：比較三角函數(shù)值的大小時(shí)，若函數(shù)名不同，一般應(yīng)先化為同名三角函數(shù)，再運(yùn)用誘導(dǎo)公式把它們化到同一單調(diào)區(qū)間上，以便運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較。 重視數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用 【滿分訓(xùn)練】函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是 。 思路分析：該題是圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，從“圖形”的角度加以解決。即畫出函數(shù)圖象解決。 答案： 如圖，則的取值范圍是。 技巧點(diǎn)撥：方程的根的個(gè)數(shù)和圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一類問題，解決這類問題從兩個(gè)角度解決。第一從方程的角度解決，即解方程，方程有幾個(gè)根即有幾個(gè)解或幾個(gè)交點(diǎn)。如果方程不會(huì)解或方程含參數(shù)不好解，這時(shí)采用第二種方法，構(gòu)造函數(shù)，從圖形的角度解決問題。在構(gòu)造函數(shù)時(shí)，往往參變分離，使其一個(gè)函數(shù)為定函數(shù)，另一個(gè)函數(shù)為簡單的“動(dòng)”函數(shù)。