江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)與平面向量 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案.doc
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第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) [考情考向分析] 1.以圖象為載體,考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對稱性、周期性.2.考查三角函數(shù)式的化簡、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值,重點(diǎn)考查分析、處理問題的能力,是高考的必考點(diǎn). 熱點(diǎn)一 三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式 例1 (1)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,若它的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),則tan=________. 答案 -7 解析 由角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,若它的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),可得x=2,y=1,tan α==,∴tan 2α===, ∴tan===-7. (2)已知曲線f(x)=x3-2x2-x在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的傾斜角為α,則cos2-2cos2α-3sin(2π-α)cos(π+α)的值為________. 答案 解析 由f(x)=x3-2x2-x可知f′(x)=3x2-4x-1, ∴tan α=f′(1)=-2, cos2-2cos2α-3sincos =(-sin α)2-2cos2α-3sin αcos α =sin2α-2cos2α-3sin αcos α == ==. 思維升華 (1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問題(如鐘表、摩天輪、水車等),常常借助三角函數(shù)的定義求解.應(yīng)用定義時,注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān),與終邊上點(diǎn)的位置無關(guān). (2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的符號;利用同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡的過程要遵循一定的原則,如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等. 跟蹤演練1 (1)在平面直角坐標(biāo)系中,若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P,則sin(π+α)=________. 答案 - 解析 由誘導(dǎo)公式可得, sin=sin=-sin=-, cos=cos=cos=, 即P, 由三角函數(shù)的定義可得, sin α==, 則sin=-sin α=-. (2)已知sin(3π+α)=2sin,則=________. 答案 - 解析 ∵sin(3π+α)=2sin, ∴-sin α=-2cos α,即sin α=2cos α, 則= ===-. 熱點(diǎn)二 三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例2 (1)(2018江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)函數(shù)y=cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的圖象向右平移個單位長度后,與函數(shù)y=sin的圖象重合,則φ=________. 答案 解析 y=cos(2x+φ)的圖象向右平移個單位長度后, 得到y(tǒng)=cos=sin ∴sin=sin, ∴-+φ=2kπ+,k∈Z, 又φ∈[-π,π],∴φ=. (2)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)閇-1,2],則θ=________. 答案 解析 由函數(shù)f(x)的圖象可知, A=2,=-=,解得T=π, 所以ω=2,即f(x)=2sin(2x+φ), 當(dāng)x=時,f=2sin=0, 又|φ|<π,解得φ=-, 所以f(x)=2sin, 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象, 所以g(x)=2sin=2cos 2x, 若函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域?yàn)閇-1,2], 則2cos 2θ=-1, 則θ=kπ+,k∈Z,或θ=kπ+,k∈Z, 所以θ=. 思維升華 (1)已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象求解析式時,常采用待定系數(shù)法,由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A;由函數(shù)的周期確定ω;確定φ常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個點(diǎn)求解,其中一般把第一個零點(diǎn)作為突破口,可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個零點(diǎn)的位置. (2)在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換,還是先周期變換.變換只是相對于其中的自變量x而言的,如果x的系數(shù)不是1,就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度數(shù)和方向. 跟蹤演練2 (1)將函數(shù)y=3sin的圖象向左平移個單位長度后,所在圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為________________________. 答案 y=3sin 解析 把函數(shù)y=3sin的圖象向左平移個單位長度, 所得圖象的解析式是y=3sin =3sin. (2)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則ω=________;函數(shù)f(x)在區(qū)間上的零點(diǎn)為________. 答案 2 解析 從圖中可以發(fā)現(xiàn),相鄰的兩個最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,-,從而求得函數(shù)的最小正周期為T=2=π,根據(jù)T=可求得ω=2.再結(jié)合題中的條件可以求得函數(shù)的解析式為f(x)=2sin,令2x-=kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z),結(jié)合所給的區(qū)間,整理得出x=. 熱點(diǎn)三 三角函數(shù)的性質(zhì) 例3 已知函數(shù)f(x)=4cos ωxsin(ω>0)的最小正周期是π. (1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)求f(x)在上的最大值和最小值. 解 (1)f(x)=4cos ωxsin =4cos ωx =2sin ωxcos ωx-2cos2ωx+1-1 =sin 2ωx-cos 2ωx-1 =2sin-1, 因?yàn)樽钚≌芷谑牵溅?,所以ω?, 從而f(x)=2sin-1. 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z), 解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), 所以函數(shù)f(x)在(0,π)上的單調(diào)遞增區(qū)間為和. (2)當(dāng)x∈時,2x-∈, 2sin∈, 所以f(x)在上的最大值和最小值分別為1,-1. 思維升華 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)及應(yīng)用類題目的求解思路 第一步:先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式; 第二步:把“ωx+φ”視為一個整體,借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求y=Asin(ωx+φ)+B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題. 跟蹤演練3 (1)(2018江蘇泰州中學(xué)調(diào)研)若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,且在y軸右側(cè)的第一個極值點(diǎn)為x=,則f=________. 答案 解析 由題意得f(x)為奇函數(shù),∴φ=0, 又f=1,∴ω=(ω>0), ∴ω=3,∴f=sin=. (2)已知x∈,則函數(shù)f(x)=-cos 2x-sin xsin+cos2x+的最小值為________. 答案 解析 因?yàn)閒(x)=-cos 2x-sin xsin+cos2x+, 所以f(x)=2sin2x-sin x+cos2x+ =sin2x-+=2+1. 設(shè)t=sin x,則y=2+1. 因?yàn)閤∈,所以≤t≤1. 又函數(shù)y=2+1在上單調(diào)遞增, 所以當(dāng)t=時,y=2+1取得最小值, 且ymin=2+1=, 即函數(shù)f(x)的最小值為. 1.(2018全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=2sin x+sin 2x,則f(x)的最小值是________. 答案?。? 解析 f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1) =2(2cos2x+cos x-1)=2(2cos x-1)(cos x+1). ∵cos x+1≥0, ∴當(dāng)cos x<時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)cos x>時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增, ∴當(dāng)cos x=時,f(x)有最小值. 又f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x), ∴當(dāng)sin x=-時,f(x)有最小值, 即f(x)min=2=-. 2.(2016江蘇)定義在區(qū)間[0,3π]上的函數(shù)y=sin 2x的圖象與y=cos x的圖象的交點(diǎn)個數(shù)是__. 答案 7 解析 在區(qū)間[0,3π]上分別作出y=sin 2x和y=cos x的簡圖如下: 由圖象可得兩圖象有7個交點(diǎn). 3.(2018江蘇)已知函數(shù)y=sin(2x+φ)的圖象關(guān)于直線x=對稱,則φ的值為________. 答案?。? 解析 由題意得f=sin=1, ∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z. ∵φ∈,∴取k=0,得φ=-. 4.(2018全國Ⅲ)函數(shù)f(x)=cos在[0,π]上的零點(diǎn)個數(shù)為______. 答案 3 解析 由題意可知,當(dāng)3x+=kπ+(k∈Z)時, f(x)=cos=0. ∵x∈[0,π], ∴3x+∈, ∴當(dāng)3x+的取值為,,時,f(x)=0, 即函數(shù)f(x)=cos在[0,π]上的零點(diǎn)個數(shù)為3. 5.(2018江蘇溧陽中學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,f=-,則f(0)=________. 答案 解析 由題圖知=-=, ∴T=,∴ω=3. 又f=A,∴cos=1, ∴+φ=2kπ,k∈Z,可取φ=-, ∴f=Acos=-,∴A=, ∴f(0)=cos==. 6.如圖,函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ) 與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)P,Q,R滿足P(2,0),∠PQR=,M為QR的中點(diǎn),PM=2,則A的值為________. 答案 解析 由題意設(shè)Q(a,0),R(0,-a)(a>0). 則M,由兩點(diǎn)間距離公式,得 PM==2, 解得a1=8,a2=-4(舍去), 由此得=8-2=6,即T=12,故ω=, 由P(2,0)及|φ|≤,得φ=-, 代入f(x)=Asin(ωx+φ),得f(x)=Asin, 從而f(0)=Asin=-8,得A=. 7.(2018江蘇海安高級中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,M,N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),橫坐標(biāo)分別為1,7.記點(diǎn)P(2,f(2)),點(diǎn)Q(5,f(5)),則的值為________. 答案?。? 解析 由題圖知T=12,∴ω=, 又f(1)=2,∴sin=1, ∴+φ=2kπ+,k∈Z. 又|φ|<,∴φ=, ∴f(x)=2sin, ∴f(2)=,f(5)=-1,∴P(2,),Q(5,-1), ∴=(1,-2)(-2,1)=-4. A組 專題通關(guān) 1.點(diǎn)P從(1,0)出發(fā),沿單位圓x2+y2=1逆時針方向運(yùn)動弧長到達(dá)Q點(diǎn),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為________. 答案 解析 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y), 則x=cos=-,y=sin =. ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為. 2.已知tan α=-2,且<α<π,則sin α+cos α=________. 答案 解析 因?yàn)閠an α=-2,且<α<π,sin2α+cos2α=1, 故sin α=,cos α=-, 所以sin α+cos α=-==. 3.若函數(shù)f(x)=sin(ω>0)的最小正周期為π,則f的值是________. 答案 解析 ∵T==π,∴ω=2, ∴f=sin=sin =. 4.(2018南通市通州區(qū)模擬)將函數(shù)f(x)=2sin的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度,若所得到圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則φ的最小值為________. 答案 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度得g(x)=2sin, 所以2φ-=kπ(k∈Z),所以φ=+(k∈Z), 因?yàn)棣?0,所以φmin=. 5.已知函數(shù)f(x)=sin ωx-2cos2+1(ω>0),將f(x)的圖象向右平移φ個單位長度,所得函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示,則φ的值為________. 答案 解析 ∵f(x)=sin ωx-2cos2+1 =sin ωx-cos ωx=2sin, 則g(x)=2sin=2sin. 由題圖知T=2=π, ∴ω=2,g(x)=2sin, 則g=2sin=2sin=2, 即-2φ=+2kπ,k∈Z, ∴φ=-kπ,k∈Z. 又0<φ<, ∴φ的值為. 6.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),f(x1)=2,f(x2)=0,若|x1-x2|的最小值為,且f=1,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________________. 答案 ,k∈Z 解析 由f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值為, 可知=,∴T=2,∴ω=π, 又f=1,則φ=+2kπ,k∈Z, ∵0<φ<,∴φ=, ∴f(x)=2sin. 令-+2kπ≤πx+≤+2kπ,k∈Z, 得-+2k≤x≤+2k,k∈Z. 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. 7.(2017全國Ⅲ改編)設(shè)函數(shù)f(x)=cos,則下列結(jié)論正確的是________.(填序號) ①f(x)的一個周期為-2π; ②y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱; ③f(x+π)的一個零點(diǎn)為x=; ④f(x)在上單調(diào)遞減. 答案?、佗冖? 解析 因?yàn)閒(x)=cos的周期為2kπ(k∈Z), 所以f(x)的一個周期為-2π,①正確; 因?yàn)閒(x)=cos圖象的對稱軸為直線x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,②正確; f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z), 得x=kπ-,當(dāng)k=1時,x=, 所以f(x+π)的一個零點(diǎn)為x=,③正確; 因?yàn)閒(x)=cos的單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z), 單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z), 所以f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,④錯誤. 8.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x-π)=f(x)-sin x,當(dāng)-π- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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